Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Если зависимость (5.55) переписать в виде 7(лх((~.ГЗ) = 2 с ( к(!~). ОЗ((~))с ( ц(ГЗ). От(гз)) г~„,' г~ т(гн гт) (5.56) то легко заклкчить, что при нестациоиарном воздействии г'(е) козффицненты разлОжения зависят От г1 н гт. Если нелинейная характеристика статического злемеита аппроксимируется полиномом Рз('г') -- Азу'з (5.57) следовательно, Ртх(1~,1з) = ,"~ с~„(ту(Г~), оу(П))сз„(гпу(1з), а~ (зз)) гну(ть гт,, (5.58) Если У(1) — стационарный случайный сигнал, то ту(П) = ту(гз) = гпу; ау(11) = оу(сз) = ау, (5,59) Тогда формула, определяющая автокорреляцнониую функцию выход- ного процесса„принимает вид С помощью приведенных выше выражений можно получить явные зависимости для коэффициентов разложения в формулах (5561 и (5.61).
Приведем формулы для расчета коэффициентов с„, и = О. 1,2,..., которые позволяют построить достаточно простые алгоритмы их расчета и создат~ их программную реализацию. Пусть Х(1) = Г()'(1)) и У(т) — нормальный случайный процесс, тогда 1 ~ ~~ — 2 УУ(т)Вне+Рта Ь.(В .гз г) = ех(з 2яозу 1 — гзуу(т) Введем в рассмотрение полнномы 3$ Н,„(р) = (-1)"е " Гз — (е " У"), и = О,!.2, Ир" Полииомы Эрмнта ..
И" Н„(р) =(-1)"е" — е " с(ри и Н„„(у) связаны соотношением 1356) Не„(р) = 2 "г~Н„(р/ъ~2); Н„(р) = 2" -Н„,(ну 2). Тогда зависимость, определяющая коэффициенты и„, и = 0,1,2... запишется так*. Формулы, определяющие коэффициенты с„.и. = О, 1,2, „., иа основе кот~р~х мокнут быть построены весьма конструктивные алгоритмы расчета коэффициентов при решении практических задач, приведены в табл.51 (47Я. Т а О л и ц а 5.1. Формулы, определявшие коэффициенты с, и = О. 1, 2, ... ПрееОлженйе тйбл З, ! 2 (24- !)и(-!! е4».» ~ ! ! А4 (! + 2)». 1»2 е2, =0.2=0,1,2,...
еп4(ту,42у) = А! ту! ем(ту,42у) = -А! 42у, е — Ою»2Р и*"4 Оъ' У4, у а=0,1,2... 2 Х ее» = (-!)'»22!24 '»'~; еем=О, О ,,-Щпе»»;* Их ч'2х хо,„ч(У4/оу).п > 2 2 е2» — 0; ее +4= ~! — ( — е1 ! х и =О, !.2, 44 = -А42Ф(У4!'ау): у Ф(У) = — ) е ' '444, Лх о 4 е"!у44Л4~! их 2 хН„„»(К~,»еу ).а И ! причем козффиииенты е 2(ту.42у) !!ля Й = О, ! апремляютея эавиеимеетнми'. 1. В=О: сее(ту,~ту) = Аз (туу+ Зтуе2у); е!2(ту» еу) = -ЗА2 (ту42у + 42у); е24(ту. (ту) = 6А2 ту422у; е22(ту, ау) = -ОАз о2у. 4 +О 2 2 +З 4), ем(ту.ау) = -4А4 (т2уау+ Зт! а2у); е24(ту, еу) = 12А4 (т2уа~2.
+ а4у); ~ял Схь Лз «ту + 1Отуа~у + 15туа~у); -5Аз «трау + бтубу + Зау) ~ 2ОАз (тзуа~у + Зту~ ~у); -6ОАа «туау + ау); 12ОАвтуау', — 12ОАа ау „ Тогда получаем окончательную зависимость Нхх(г) = 44ау «тугуу(г) + -аугуу(г)) 2 Если нелинейный влемент имеет релейнуаз характеристику -В, если — со<в~О; В, если О < р < зс, а гуу(г) =е "'"~, то Яхх(т) = — В «гуу(г) + -гуу(т)+ гуу(г) + — гуу(т) + ...) ° 2 3 з Ь г я 6 40 112 (5.67) Можно записать зависимости и для взаимной функции корреляции. йху(11.1т) ~: с~' (ту(1~), у(Юсху (ту(тт) ау(гт)) '' „,' (5,66) Для случая стационарных процессов Йху(т~.тт) принимает вид Нху(г) = туго(ту,а) )+(~с1(ту,иу) гуу(г)+ + )згз(ту.ог)г(у(г)+ ..., (569) 5.3.$, Алгоритм расчета ъквивалентных матричных операторов.
Лалее детально рассмотрим процесс построения зквивалеитного матричного оператора (276). Поскольку на вход нелинейного злемснта поступает математическое ожидание ~и1(г) и центрированный процесс 1'(~), то так же. как и в методе статистической лииеаризации, нелинейный злемент задаетея двумя инерционными линейными злементами с матричными операторами Аг и А'. Сигнал иа выходе линейного злемеита определяется формулой где С"" и С' — спектральные характеристккк ту(1) н 'г'(г) (рис.5.6).
Рис. 5.8. Струк, урные схемы нелинейного тленента (а) и его лииеккого зккк- калента (61 а форме матричных операторов Таким образом, линейный вквиаалент е матричным оператором А" имеет отиопзение только к процессу отработки математического ожидания воздействия, а с матричным оператором А' — к отработке центрированной составляющей входного сигнала. Позтому можно говорить, ~то нелинейный безынерционный злемеит заменяется двумя матричными операторами: по математическому ожи.
даниж с опера~ором Аг и по случайной пснтрированиои соетаалякицей с оператором А'. Структурные схемы нелинейного клемента и его статистически зк. вивалектиого линейного злемента представлены на рнс. Ь.9. Операторы Аг к А' называвтея акаиаалеижиыгки матричными операгпора.ии соответственно по мажемауяическомй ожидачикз и по яеиицРироааийой соспгаилякицеи. Рис. 5.9.
Схема замены нелинейного элемента статистически эквивалентным .тииейиым элементом Рассмотрим решение важненшего вопроса, связанно~о с расчетом эквивалентных матричных операторов Аа и А' В замкнутой системе автоматического управления. Так же как н в методе статистической лннеаризацнн, идея нето а основана иа приближенной замене нелинейных преобразований гро- цессОВ, происхОляшнх В системе, статистически экВивалентнычн нм линейными преобразованнях1И. прн этом статнческнн нетинейиый мтемент заменяется статистически эквиватентным линейным ьтементом.
в общем случае инерционным. В результате такой замены система в целом лниеаризуется, н для ее исследования можно применять аппарат матричных ОператорОВ. Далее рассмотрим методы расчета эквивалентных матричных операторов применительно к задачам вероятностного исследования замкнутых нелинейных нестацнонврных систем, Матричный Оператор Аа находится из ус.товия, в соответствии с которым математическое ожидание на выходе НЭ н эквнватентного ему линейного звена с матричным оператором Аа должны быть равны. т,е. Отсюда сразу же можно записать соотношение.
определяющее матрич- ный оператор Аг: Аг = А, ~ — ', ) -- А, ~ —, ~ 7 ~й) 72 (р1г)р ~. гпх(2) т ! п~(1.' ' гн, где А, — оператор умножения на функцию, которая приведена в скобках. Из сказанного следует, что матричный оператор Аа находится достаточно просто, поскольку он порождается переменным коэффициентом тснления )хо(т) = — ' кит(т) (5,73) пг(ц' Достаточно сложным является расчет эквивалентного матричного Оператора А". Вьнпе получено решение задачи нахождения функции автокорреляцин на выходе нелинейного статического элемента для общего случая (и. 5.3.2 н п.5.3.3) и для случая, когда предполагается, что для У(т) имеет место нормальное распределение. Для этого случая справедлива зависимость т уг(ты гт) Дхх(тыг ) = )„"сь (тпнМ,ОТ(2~))стч(пт~ (22)тгг(22)) "~„,' (5,74) Таким образом, в общем случае автокорреляционные функции иа Входе статического нелинейного элемента Лнг(тыгт) и на его выходе Йхт(ты 22) МЗВЕСТНЫ.
Для раечста ЭканвалЕНТНОГО маТрнчиоГО Опарато ра можно воспользоваться базовой формулой статистического анализа где А — матричный оператор линейной системы. Для расчета А на первом этапе по известным функциям рассчитываются матрицы ~си)иу ~ 1 (~ ~ тхет'(2$ ° 22) 9Ъ~ (2!) Чхт(22) Ф~(22 ) 'ОО / м,и~а.$ Тт С"" = 1с~".,а,'~ = (~ ~ ))хх(2ы 22) ла,(2~) Фа,(22) 2(2~ (221 'Оа у а,а, 1 1 а реализация второго этапа, т.е, решение системы нелинейных алгебраических уравнений Спха Ахси,.г (Ат)т (5.76) позволяет построить эквивалентный матричный оператор А" по иентрнроввнной ~остав~яющей.
Соотношение (5,76) с целью расчета А' можно упростить, если воспользоваться следующей зависимостью: Отсюда следует формула, Оп(н!деляющзя соответствующий алгоритм: Очевидно, применительно к рещению задачи расчета матричного оператора А', если известны матрицы С""' и Сг"', соотношение (5.78) значительно проще зависимости (5.77). Здесь уместно отметить, что последняя зазисимосгяь можегя слу.
лгигяь основой для посжроенил алгорилгмов иденгяификайии ихирокосо клдссо Обвекгков Цпровленил. Реализация алгоритмов, в основе которых лежат приведенные формулы. требует Вдумчивого подхода, поскольку анализ сразу ке позволяет сделать выводы о возможнык вычислительных проблемах (неустойчивость вычислительных схем).
Подробно рассмотрим один нз ключевых вопросов, связанный с по. строением злгорнтмОВ расчета эквивалентных матричных ОператорОВ статических нелинейных элементов в контуре сложной замкнутой зв томатической системы. Трудно преодолимые проблемы порождаются тем фактом, что в основе алгоритмоя расчета лежит метод последовательных приближений, который В инженерных кругах оценивается как наиболее конструктивный, поскольку с вычислительной точки зрения нтерациониая процедура позволяет построить простой цикл расчетов А это основополагающее голоженне предполагает возможность нз каж- ЛОЙ итерации рзссчнтыВать статистические характеристики (В дзц!юы случае корреляционные функции) как на входах нелинейных элечентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
