Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Рассмотрим рец«ение той же задачи методом чатричных ОператО1«ОВ, Положим, что дифференциальное уравнение нестацноизрнон системы имеет Вид: 3 ~: "(1)Л'по(Г) = ( (1)) (П; (5.28) А=О Структурная схема, содержашая тОлько интеГраторы и Множительные злементы, может быть представлена так (рис.5.2).
Еозффициенты ДУ определяются зависимостью Построим яроскниоино-матричный оператор системы на коночном в!ммснном интервале !О.Т! прн 7' = 5с по системе ортогональная бзочно-имяульсных фчнкпий размерностью ! = 80, лля чего воспользуемся проекцконио"матричными операторами интегрирования и т~'.но женин Йз функции, ! 1усть А, — проекцнонно-матричный оператор интегрированна в базисе (д(!) ); А, (а,(!)). ! -- 0.4, — матричные операторы умножения нз коьффнцнеиты дифференциального уравнения (5.28).
Лля рассматриваемой задачи выгаспсречисленяыс проекцноино-матричные операторы опрсделя!отся слейукчцим образом (привозятся вырезы матриц !измором 6 и 6): Применяя аппарат структурнмх преобразований„получаем (см. ис,5.2) р А! = А„(1+ Ат(аз(1)) А„] Выполняя последователыю аналогичные структурные преобразова- Аз = А„Ат (1+ А„(,(1)) А.Ат) '; Аз = АьАз (1+ Ат (а!(Ф)) АьАз) А АьА4 (1+ Ат (ао(1)) АьАь) — проекционно-матричный оператор системы, ои имеет следующий вид (представлен вырез матрицы оператора размерностью б к б): 0,0003 0 О О О О О.ОО32 О.ОО(И О О О О О,О!59 0.0032 0,0016 О О О О,И26 0,0539 О,О!58 0,0032 О,ВЕЗ О 0„3173 0,1425 0,0639 0„0158 0,0032 О,ОООЗ 10 з Найдем рец!ение задачи статистического анализа системы, если автокорреляциониая функция случайного входного сигнала определяется выражением йтт(!!,1т) =Е З)ч И!.
О О 1.0694 О О 1,2962 О 0 О О О О О 0 0 О 1,5603 О О 1,866! 0,1002 О О 0,1227 0 О О 0 0 О О 0 о,оио о О 00)7! О 0 О 0 0 О О О О О 0 0 0 И92 О О О О 0,1800 0 О 0 0 02157 0 0 О 0 0.2569 О О О О О О О О 0,0207 0 О 0 0 0,0249 О 0 О О 0,0297 0 0 0 О 0,0353 Вйй(Ила) =- Ф(тч) С" 'Ф'(ет) = ,'~ ,'~ с,",""тз'(т~) ~у((а)' ~=)В=1 т" т с»'" ~ф" )(а р.~1рй~рпеам ВО с.а —.- 1 Лхх(~~,ет) ~' ~з' ец Ф ((~)ез((а) ~Ы1 у'"~ тае ! .Их-'1' . =-.
С" ' --:= А Сй" А, 1 ЧЗ=.! 5.2. Метод ееточно-Ввитричиых операторов коррблициоиноко йийлизз лииоЙных сиетле В преаыдупзем иалписеййй ппдрпбйп рассмптрейы й Обпснпвайы сетпчиые метпды математическптп Опйсайия и детермййирпваийОГО ВЙВ- айза яаи стацйпйарйыв, таи й йестапипйариых сйстем САУ, Опйсыааемых ДУ выспяпсп ппрядва а сиалярйОЙ и веятппйп-матричйпи фермах. Сетпчиые метпды Отличает ИВОстпта Вычислительйых схем. Налйчие тевретичесипсп Обпсипваиив, ввлвзчав Оцеиии ппсре~~пстй, иижеиерйая иаправлеиипсть и Ориейтация иа использпваиие ЗВйб.
Ппстаипвка задачи сфпрмулирпвайа а предыдуаем параграфе. Если нестаципиариаЯ ЕАа ОпиеываетсЯ дифферейциВльным уравйением Вида Хпп + ~ а,4~)ХЦ':(~) -- ~ Ь„(т)упп(ц еле с=в ВХОдйпб СаучаййЫй Сйсйаа СйСТЕМЫ; Х(с) — ВЫХОдйОЙ Прпцесс), иптпрпму зиаивалейтип ийтетралвйпе уравйеййе Вплвтерра 2-ТО рвла О О Азй~т О рн ж ( ))ь ~ь й,(т,т) = ~ —,—, ~й,(т)(т — т)"-'~, (5,32) (и — 1)) а.гь Т и то, используя квадратуриую формулу ~ Дт) (т = ~; А,У(гД, (5.29) можо 1~$ но переписать В следующем виде: Оператор А, = (з+ Аф) Атм — оператор Эйлера — будем на- 3 ь сет маягр мм Ротор м, Т о Вная формула принимает вид (276) Из НОследней зависимости получаем ОснОвную расчетную формулу, аналогичную той, которая имеет место в случае применения проекци- ОНИО-матричных оператороа: Ихх(гьтф;у, =А, Нет(г;,тз)~;», Ат (5.35) Формулы (5.33) н (5.35) позволяют рассчитывать автокорреляционную функцию выходного процесса системы Х(Г) с той лишь разницей, что В с~учае применения проекцнонно-матричных операторов гтхх(Т1„гз) находится в форме разложения по выбранной ортонормнрованной системе, а прн использовании сеточно.матричных операторов— В форме сеточной функции Вх.т (Г;, Г,).
5,3. Метод эааиаалентиых матричных операторов статистичесаото исслеаоаания нелинейных нестацноиариых систем $.3.1, Общие полозкеимя. Широко применяемый прн решении инженерных задач метод статистической лниеаризацин (М(:Л) требует учета ряда положений, таких как: ° МСЛ Особенно зффективен прн щгалнзе стациОнарнОГО режима работы САУ; е поскольку спектральный состав случайного процесса на выходе НЭ изменяется в сторону его Обогащения как более высоко 1а. стотнымн, так и низкочастотными гармониками, МСЛ не отражэ.
ет достаточно полно указанный факт. т, е, не отражается истинная физическая картина преобразования случайных сигналов НЭ (при статистической линеариэацин учитывается изменение только амплитуды п)эоцесса н не иэмщ1яется его спектр); ° предполагается, что на входе НЭ имеет место случайный процесс. имеющий нормальный закон распределения. В связи с отмеченнымн обстоятельствами.
Погрещность а определении статистических характеристик случайных процессов в нелинейной системе при применении метода статистической лннеариэации может Оказаться значительной. К. А. Пупков предложил метод эквивалентной передаточной функции, позволяющий учитывать искажения спсктралыюй плотности нелинейным элементом (356). По аналогии с этим методом ниже рассматривается метол эквивалентных матричных операторов. Он позволяет уменьщить влияние некоторых из указанных факторов на точность расчетов, в частности, при исследовании контуров наведения в классе стационарных н нестационарных нелинейных систем. Одним из важных п~лож~ний прн реализации и~тол~в статистического исследования является нормальность закона распределения на вхОде НЭ.
При аналитическом рассмотрении вопроса ЙОжнО воспользоваться следующими положениями. 5.3.2. Прямой метод вычнслвння корреляционных функций выходных сигналов неннерцнонных нелинейных элементов, Пусть 7~.(р, Т) — одномерный дифференциальный закон распределения (ДЗР), соотве~ствующий двумерному ЛЗР ~т (д1.дт, (1,тт) процесса ка входе НЭ. Построим ортонормированный базис, удовлетворявший УСЛОВИЮ ~ Ьтн(р,~)Т1. (р,с)УТ(у*а)Ф = ' ' (535) ( О, П1 Ф П. Воспользуемся разложением ~т (р1, рэ, Т1, гэ) по ортонормированному базису Р(р,э) = Ыь(р,с): й = ), 2, "-) ° (5.37) которое имеет вид (270) ~'„,(11 гэ) = ~ ~ Ь'(р1, рэ, г1.
Тт) Р (р1, (1) тт,(з1э, гт) 1(р11(рэ (5.38) Можно построить такой ОНБ, что будет выполнено условие (270) 3,"„=О при Тогда справедливой является зависнмостьс Ь(р~.рэ,«.гэ) = Уи(рыэ1)Ух(рз.ээ) ~: с,',"(г1,гэ)т-(р1 Т1) вх (рэ.гэ); (5.4О) ~."(Т1,гэ) = ~ ~ Хг(р1,рэ.э1,ээ)тъ(р1,Т1)э.(р,тэ)йр1(р. (54)) Пусть известна характеристика НЭ н двумерный ДЗР уг(р1. Ръ Т1 гэ) случайного процесса на его входе (рис.5.7). Ряс.
$.7. Нелинейный статический элемент йхх(~1. Тт) = йт (.г (У(г1)) Е(У(гэ))1 = — ~ Р'(р1)Р(рэ)УуЬ1, рэ. Т1, ээ) 1(р1т(вэ. (5.42) Подставляя (5.4О) в (5.42) н разделяя переменные интегрирования, пОлучаем гтхх((1* гт) = ~' с~ (Т1) с~(ет) сй (г!* гэ). (5.43) Ь Ь1,рт,т1,аэ) = =,Ь(р1,(1)Ь (р,сз) ): Х: 4'.(Г1.ТЭ) уЪ(р1.Г1) Э ч (рз,зт), (535) ж=о ~=Π— коэффициенты разложения функции Р'11) по ОНБ Р(р, г), имеющему весовую функцию Эг(р.1) $.3.3.
Лйетод коитурпззх интегралов, Для нахождения функции корреляции иа выходе нелинейных неииерцнонных злементов можит воспользоваться методом контурных интегралов. Характеристики некоторых ИЭ допускают представление с ПОМО" щью контурного интеграла вида (270) дОц) = ~ Р(у)е-~з" (.. (5.46у Если подставить (5.45) в (5.42), то, меняя порядок интегрирования. можно найти соотношение И (з ° гз) 1 1 яОи1)уоцз) х С, С, х ~ ~,уг(уи уз, Ти Тз) ез(к"'+""')Иу~Иут, Ни~й», (5.47) Юз(цниз,гн1з) — двумерная характеристическая функция процесса на входе нелинейного злемента.
Поскольку функцию 92(цыиз,г$,1ъ) можно разложить аналогично (5.40) в ряд дз(ии цт, ты гз) = = 91(ннг~)и~(цзЛТ) ~ Ь„(ь „Гз)Л7„(иьГ ) Лу (из,тз), (546) то зависимость, определяющая функцию корреляции иа выходе ИЭ. принимает внд Н„(Ц; — — ) у(уи) Лу„(и, г) 9~(и, ~) Ф. 1 (5.50» 2я С Особенностью ряда (5,49) по функциям Ь,(~~.гз) является то. что Ь,„(~ь 1з) зависят только от корреляционных характеристик процесса на входе и нс зависят от вила нелинейности. Если сигнал нз входе ИЗ является стационарным„то 9~(ц,() не зависит от т, а Ют(ц,.кз,(иге) зависит только от т = гз — гч н тогда (5.23) принимает вид Ь„(г): ~ ()т(ць нз, т) Л)„(и~) ЛР„(из) йц4из, (5.52) с( = — ~ а((ц) ЛА,(н) А~(и) ~( .
1 (5.53) 5.3.4. Алгоритм расчета коррелациоимой функции взаходного сигнала иеииерциониого нелинейного влемеита при условии„что входной процесс имеет нормальный запои распределеиин. Учесть искажения спектральной плотности выходного сигнала ИЗ, а также факт обогащения его спектрального состава можно относительно просто как с теоретической, так и с практической точек зрение. Имеем Последняя зависимость Определяет автокорреляционную функцию процесса иа выходе нелинейного статического злемента в виде ряда по ст~~~~ям нормированной автокорреляционной функции случайного входного скгнала при условии, что входной сигнал НЗ У(З) имеет нормальный закон распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
