Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Постамоака задачи. Известны структурная схема йестзционзрной одномерной системы или ее дифференпизльное урзайснйе. Из Вход системы поступает нестадиоизрный сиГйал 1'(г» с автокоррелянион««ой фти«ч ией Я 'г г '» Яеоох«дим«» найти зависимости, опреаеляюгиие звтокорреляиионную фу««киню 11Х д 1 г«, Гт« и дисперсию Влх(И выходного сигнала %«1, и построить алгоритм корреляпиоййОГО анализа. О.1.1.1. Теоретические положенил: бедовал формула, устанаелиеаюи1ал салзь между корреллиионньгми функиилми ехидна«х и выходим» нро«1ессое и матричньгм оператором системы 1276). Положим, что рассчитан пооекпиоино-мзт««ичный О««ерзтор с~стены А, йайденйый с йспользоваийем структурных п1«еобразовайий йлй с по. мои«ью матричного представления аиффсрс«»»«изль««ого уравнения системы.
пхх нхх ... яхх 11 12 ''' И ,Нхх Пхх ., „яхх 21 с т 'г ~ (.«Р~)Х1Ь1дР ~~Х«1Ю~ЮЬ1 ь'О где С = (гх сх ... сх ~ — вектор-столбец козффнпиентов Фут рье сигнала Х(г), т.е. его спектральная характеристика в выбранном ОРтОНОРМИРОВаННОМ баЗИСЕ Ф(Г) = (1Ь1(Г) ттв(Г) ... „;1(Г) ) . Элементы спектральной характеристики (СХ) определяются соотношением т с,'":) Х(1)»ь,(г)ог, 1= ),Б Известна зависимость, связываюгиая спектральные характеристики входного У'(Е) и выходного Х(() сигналов системы и ее матричный оператор А: М,,СЛ (Сх)'1 =М(АС'(АС') ) = = м(АС (с')'А'1 —.
Ам(с'(с')')А, (Б.у) где М вЂ” оператор математического ожидания. Более подробно рассмотрим соотногпения, определяюпзне м(сх(сх)~) и м(ст(с")'). Имеем М(сх(сл')т1=МЦ х 4 ')т1,У 4 схц= TT ~ ~ йхх(Г«,Гз)уг(Т1)«в (Гз)йГ1йГТ = Снх", (5.3) где С «'« — матрица козффиииентов разложения автокорреляционной функиии ггхл(г1, гт) в двойной ряд Фурье по ОНБ Ф(г) х Ф(1), Таким образом, справедливо соотноп1еине тт М (С» (Сх) ~ = ~ ~,ЕГкх(41, Ьз) Ф (Е1) 1ьу(ст) 1(Г14ЕТ О О «„1 х1 Матрицу С"хх будем называть снектрольной характеристикой функции хтхх(гг,гт) в ОНБ Ф(г) к Ф(г).
Аналогично, тт м(ь~1с~) 1 1(х 1«11 «Р )хх«1 ~их 1 ьь" спектральная характеристика автокорреляинонной фуикпии Лтт(Г1, Гт) в ОНБ Ф(«) н Ф(«). ПОскольку имеет местО выражение м(с" (с" Д = Ам(с'(с')') А', м(ск(сх)'1 = с".; м1с'(с')т) = с" ЬЛ.з.2. Базовые формулы и алеоритм корреллциониоео аиалиав. Сформулируем основной результат: если известен митоичный онеротор системы А, то но известной мотрице С"'т козффициентов Фурье автокорреляционной функции Тг~ т(Г1,1т) входа г'(г) по формуле (5.$) молгно рассчитать матрицу Спхх козффициентов Фурье Овтокорреляционной функции Й» х (11, гт) выходного нроцессо Ввод нсходмый азиных: и» т(»); Втт(»». »з): дифференциальные уравнения и зканвзлентные матричные операторы злементов системы Расчет спектральных характеристик математического ожндакня н эзтокорреляцнониой функции сигнала У(»)» О"«гг и г л»т Печать результатов расчета п»х(»): Ялз(»». »Т)-, Охх(») )1пт(»», » ) = азг ~»»» »»лх(»»,»т)= Фт(»~)АС»"' А ч»(гз). Эта формула по своему содержанию является аналогом одной к» ««с.
ионных зависимостей статистической динамики систем управления: Ял х( ~) = 11»(у ')И»(-Зь»)Ятей( ~) = )И«(у )1~5» и( ~) = Аа(»)5тг» '», Однако последнее выражение спрзвелливо лишь для класса линейных устойчивых стационарных систем, работающих в установившемся режиме при стационарном случайном возлействик. Зависимость (5.61 справедлива кзк для классз стационарных, тзк н нестацнонарных см.
стем, 3 воздействия мОГут быть кзк стационарными, тзк и нестациоиари ь» м и. Аналогичные формуль» можно ззписать относительно математического Ожидания: С-х =АС": (5.7) »пл(») = (С'мм)* А'Ф(1). (5.8) Из (5.6) легко получить выражение. Определяющее дисперсию выхода: Формулы (5.5)-(5.8) являются ключевыми. состзвлякнцммн содержание метода проекцнонно-матричных операторов корреляц»юнного исследования линейных одномерных стациоиармых и иестационзрных систем автоматического управления.
Укрупненная структурная схема алгоритма расчета математического ожидания»пл(») и звтокорреляционной функции Вхх(1»,(з) приведена из рис.5,1. Пример 5Л. Рассмотриы простой пример — систему, описываемую уравнением первого порядка: где а»(») = 0,1»+ 1,5; ао(1) = 0,1»+ 1,4. Поло~~и, что статистические характеристики входного случайного процесса определяются зависнмостнмн; гдеа»=1:3=2. з Если воспользоваться нзвестныын формулами, то для данного случая математическое ожидание и дмсперсня выходного снгналз принимают внд (252): .«~ »»»л+» 4» тх(») = ~ е "'"КК 12,25+0,йт+0,01тт|С з'»(т; о" " ,,у Флайт»з,» В»с(») = е к к »» е «« к» +»з " з»п И(0.1.+1.5)(О„.,+,.5) ": Из последних выражений видно, что даже для простейшей нестзционармой системы (системы первого порядка) выражения для стати.
стмческих характеристик случайного проц~сев Х(т) являются весьма сложными. Расчет матричного оператора системы с использованием аппарата структурных преобразований н спектральных характеристик выходного сигнала Слзт Рнс. 5.1, Структурная схема злгорнтча корреляционного знзлнзз САУ х»столом проекнно»»»»о-чзтрк гкых операторов тпх(») =~»г(»,тЯ(т)4т, Продолжим рассмотрение вопроса исследования иестациопарйых систем для обшего случая, котла ДУ системы имеет вид Ял х(»п»т) = ~ ~ Й(»ьг»)$(»т, тт))»кт(ты тт)»»т»4тт.
(5.121 еа В зависимостях (5.1Ц и (5.12) Й(», т) — импульсная переходная функция системы. Импульсные переходйые фуйкцйй линейных йес*ацйойзрйык систем являкпся ключевым звеном при решении основных задач расчета н проектирования систем с переменнымн параметрами, Рассмотрим алгОрнтм пОстроейия нормальных импульсных переходных функций линейных систем в соответствии с классическим подходом. Рзссмотрйм две лййеййые йестзцйойарйые сйстемы, опйсывасмые соответственно уравнениями К оь(») ""'(») р(»).
(5.14) Вторую систему будем называть укороченной, Известно, что импульсная переходная функция я„(»,т) системы (5,14) является решением соответствующего Однородного дифференциального уравнения: и ) аь(») — й, (»,т') = 0„ (5.15) ела причем »ь 1 ~е-» —,йк(»,т)~ =0; й=6,п:2. — „,й (»,т)1 =1. Поскольку ь"„(», т) — решение однородного уравнения (5,15), то тле Ф(») = (хь(»)),',', — фундаментальная система решений однородных дифференциальных уравнений (5.13) и (5,14). Если построено решение ьк(», т) однородного уравнения (5,14), то решение иеОднородкого уравнения К оь(»,)хнп(») = р(») (5.18) х(») = )»к„(», т) р(т) дт. (5.19) Лля нахождения фундаментальной системы решений Ф(») зададимся невырожденйой матрицей Первый злемент фундаментальной системы х»(») рассчитывается посредством решения Однородного уравнения Й пь(») х»"'(») -0 (5,20) ьжо при начальных условиях »" — ьх»(»)~ = па+к».
й = О,п-1, (5.21) ~жа Аналогичная процедура позволяет найти хт(»).,х„(»). Если матрица А является елиничной, то соответствуюшая фундаментальная системз решекйй называется нормальной. Учитывая условия (5.16), лля нахождения неизвестных козффициентоа с~(т)„... С„(т), определяющих частное решение к„(», т) в форме »ск(»,т) = ~ сь(т)хь(»), (5,22) где сь(т) — неизвестные козффициенты, а хь(т) — злементы фундаментальной системы, составим функциональную систему линейных иеодиорОдиых алгебраических уравнений: с~ (г) х» (г) + сз(т) хз(г) + ... + С„(т) х„(т) = 0; с|(т)х',(т) + о»(т)хт(т) + .„ + с„(г)х'„(г) = 0; с|(т)х, (т) + ст(т)х, (т) + .„ + ~."„(т)х„ '(т) =- 1.
х«(т) хт(г) . Л„(т ) х', (т) х,.',(т) х'„(т) х!««(Т) хт«(т) х„м(г) Рис, 5.2. Структурная схена Гистемы Будем искать решение системы (5,24) на конечном интервале т ~ 10. Т), Для расчета дискретных значений с,(т,). « = 1, и, у = ГУ. необхо(ь! димо найти х, (т), «:= 1,п, й = 1.п-1, т.е. посредством численного дифференцирования рассчитать для каждого злемеита фуидаменталь* иой системы производные до (и — 1)-го порядка включительно. После нахождения необходимых производных следует решить 1т" систем линейных алгебраических уравнений х«" ''( з) хт" "(тз) " х"" "( у) «аким образом, построение импульсной переходной функции системы (5.14) Й„(1, г) в соответствии с формулой (5.25) приводят к дискретно- му варианту Соо~ношение (5.26) определяет дискретное представление ИПФ укороченной системы. Для построения импульсной переходной функции 1Г(г,т) системы, поведение которой описывается уравнением (5.13), необходимо в конечно-разностной форме реализовать диффереицизльное соотношение ~н 4ь й(«, т) = ~ (-! )' — (Ьь(т))г„(Г.
Г) ) . (5.27) (ть Реализация всех зтапов вышеизложенного алгоритма построения импульсной переходной функции Линейной нестационарной системы предстаВАяет собОИ Весьма сложнук«задачу. Кроме очевидных трудностей, связанных с тем. что й!«. г! Находится в дискретной форме й(Г,„Г,). Неп!«нотой задачей япляется апп!юксимаиия ее некого!«Ой аналитической завис«ии«остью.
Гго чжто требуется лля решении зала*«, о««1«еле;«иеь«ых комплексной постановкой ««!«ОГО«е««««. Су«««сстзсии«Ас по* грсшности вносит операция числсш«ого дифференцирования элементов фундаментальной системы решений Ф(«1 при построении системы ал«ебраических уравнений (525) Следует отметить, что применение классического метода для построе««ня импульсных переходных функ««нй линейных нестациоиарных систем высоких порядков (О > 41 нс ВОВГла приводит к получеии«о приемлемых результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
