Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Широкий спектр задач теории упраВлення ЧОжнО сформулнровать в постановках, фундамент которых — парзметрнческая оптимнзацня. Как указано В (469). Можно утверждать, что теория конечномерной оптнмнзацин является основным алгоритмнческнм фундаментом совре. неинОЙ теОрин управлення Специфика Возникаюцгих В теории )чфааления оптимизационных проблем отражает обгцую ситуацню, возникаюцгую прн регценнн практически любых реальных зада~.
Прн этом необхолнмо учитывать, что Обычно представленные В учебной лнтературе универсальные хбнблиотечные. Методы нелннейного программирования часто Оказывается малоэффективными и требуют адаптацни прн пра~т~~еской реализацнн. Кроме того. Важнейюее апач~И~с прнобретают элементы сопутстауюгцнх вычислительных технологий, связан. »ых с формалнзацней к~Икре~ной прнкладной проблемы н разработкой сценария оптимизации. Степень эффективности применения методов параметрической оптимизации определяется. ° степенью совершенства алгоритмической теории управления; а наличием созданных прикладных программных систем.
Опыт показывает, что невозможно при создании прикладных программных систем эффективно использовать универсальное алгоритмическое обеспечение нелинейного программирования .в чистом виде из-за !и.'зкого пОиижения склгрости сходимОсти пОискОаых процедур. Весьма иерги1тнги! Оказывается хорошо знакомая специалистам ситуация позиои Остановки 1«заклинивания«или «затипания«) алгоритма мшгимизации долевого функционала задолго до достижения искомого оптимума. Основной фактор сложности — случай явления плохой ооусловленности, когда целевой функционал имеет «жесткий» или -овражный. характср. т.е.
резко возрастает по одним направлениям и слабо изменяется вдоль других. Высокие степени ткесткости возни- квот не в исклю1игельиых случаях. а отражают обычную ситуацию при решснии п)жктически любой прикладной ~ада~и параметр~~еск~Й оптимизации (469). Явление «овражности.
Изучалось А. А. Фельдбаумом, И. М. Гельфандом, М Л. Цейтлином, Л. А. Расгригиным и др, авторами. В теорию п.эохо обусловленных экстремальных задач значительный вклад внес !О В. Ракитский. Несх1отри на важность полученных указанными выше авторами результатов.
проолсма ими нс исчерпалась. И. Г Черпорудкий в (469) я известной мере восполнил этот пробел. Примерами задач параметрической оптимизации в теории управления являются: ° идентификация нелинейных детерминированных объектов; в идеитифика11ия стохастических Объектов; ° идентификация нестациоиариых объектов; ° задачи»кстрсмальиого ре1 улироваиия; в задачи синтеза адаптивных систем автоматического управления; ° задачи синтеза статистически оптимальных САУ; ° задачи оптималыюго проектирования. Ключевой в задаче синтеза систем.
относяшнхся к классам сложных САУ. Таким как стационарные и иестацнонарные линейные н нелинейные автоматические системы, является проблема формализакни конкретной задачи синтеза, Ре1пение именно этой пробтек1ы в форме. позволяюшей использовать проблемно-ориентированное алгоритл1нческое и програх1мное обеспечение, учитывалошсе специфику задач синтеза, структурные осо. бепности применяемых на практике критериев качества, факторы слож1юсти. такис как невыпуклость минимизируемых функционалов. нх негладкость. а в ряде случаев — высокую размерность вектора варьируечь1х параметроа, определяет степень эффективности всего алгоритма синтеза. Содержание метода, в основе которого лежит процедура параметрической оптимизации, изложим применительно к решению конкретной задачи.
Пример 3.1. Синтез и исслсдовю1ие системы, оценка результатов. Рассмотрим систему управления каналом крена ракеты (262,271). Передаточная функция системы управления каналом крена определяется формулой И"(.) = 0 2. (3.40) аз+ 2ф,зэк+ мло Воспользуемся матричным описанием системы.
Имеем: 5,000 2,500 О 1,250 О О О 0,625 -2,500 О 1,250 О О О 0.625 0 О -!.250 0 0 О 0,625 О О -1,250 О О О 0,625 О О О 0 О 0 -О,625 0 0 О 0 О 0 -0,625 О О 0 0 О О -0.625 О О О О О О -О,625 ΠΠΠΠΠΠΠ— проекционно-матричный оператор Бубнова-Галеркина интегратора в базисе функций Уолша: С' и С" — спектральные характеристики входа и выхода в указанном базисе. Запишем ограничения, накладываемые на переходную характеристику, в следующем виде: " ~ а ' " .Округ:52- (3.41) и„= < 1; с = ~ — (1 — 14'(з))1 ~ = — < 0,3.
(3.42) 4./à — с~ г( 1~ 2с 2я4 . г(а з л«лз Теперь задачу можно сформулировать следуюшнм образом: необходимо определить ло, С из условия минимума функционала (3.39) и выполнения ограничений (3.41), (3.42). При проведении расчетов удерживались 64 элемента базиса.
Интервал исследования равен (О, 10! с. Функционал„подлежащий минимизации, имеет следующий вид: Г(рг,рз...,,рт) = ~ (Х,(Г) — Лр(Г,!П«РК „,.р,))»11, (3.43) где р1, рз,. „, р„— изменяемые параметры. Для реализации процедуры минимизации необходимо знать формулу, определяюшую хр (г,клв, С), где ..к,,лтл;„л;л;«тт,; 1 1тт,,,тк'к,'к тл. Для рассматриваемой системы имеет место редкий случай, когда, с одноЙ стороны, параметр~ переходного пронесся ана~ити~ес~и связаны с параметрами 'лу н 1. а с другой — имеют место явно выраженные через параметры ограничения.
Это дает возможность проиллюстрировать применение методов математического программирования для решения поставленной задачи. Приведем соответствуюшне формулы: оьуГ- сз „г "кг 4ьу) - бу 2я1 Задача заключается в иахоукдеиии таких ьц н 1 системы управления каналом крена ракеты„ чтобы выполнялнсь следующие ограничения: Рнс. 3.12, Структуриая схема системы Для системы (рис.3.12) справедливы зависимости с(г) = р(1) — л(г); л(г) = А,и(Г); и(г) = А„„е(С). е(а) = У(к) АаАкуФ) прн этом реальный выходной сигнал был близок в известном смысле к эталону. В качестве эталонной переходной характеристики выберем следующий процесс: )г,(г) = ) — е лсозд,т, — + 26ар — +.
Ох(г) = ы~р(г). де,г(г) г)л(г) «(тт г(Г (3.47) Оледуюший этап — алгебраизация. Воспользовавшись матричным оператором интегрирования Бубнова-Галеркина. выражение (3.47) чожно записать в виде (1 + ж; ОАк + 'отА„) С" =- ~~А~С", (3,43) гзе 1 — единичная матрица; А„— оператор интегрирования в выбранном базисе Ф(г). Запишем фоРМУЛУ дла РеальнОГО выхОЛИОГО сиГиала хр (Г, Р~ в которой л„(г.рн,...р„) явно зависит от параметров регулятора ро Гп...,, рк.
Рассмотрим структурную схему (рис. 3.) 2), на которой Аку — оператор регулятора, А, — оператор объекта. Положим. что варьируемыми параметрами регулятора являются ГУнрм ...,р„и, таким Образом, можнО записать Акк(рнрз.....рк) =- Аку4(р). е(т) + АаАкуе(Ф) : (1+ А,А„,„) е(г) = р(С). Отсюда находим с(г) = (1+ АаА„у) р(г).
Поскольку л(1) = АаАкуе(Г) = АаА,у (1+ АаАк„) Р(Г), то для оператора замкнутой системы справедлива формула А(рмрз. -,р.) =А А у(р|,рт," .р )(1+АаА.Т(рырз. ",р.)) Таким образом. если А„у(рнрт„,рк) и Аа — линейные днффереипиальиые или ннтеГральные Операторы, тО формула, Определяюшая хр(г,рн ...,р,), имеет вид лр(г.рнрт.""р.) = =" АаАку(РИРт ""Р ) (1+ А Аку(Р) Рз. -'Р )) Рк(Г) (349) Отсюда следует вывод: для реализапни рассматриваемого подхода. когда в (3 49) имеют место дифференциальные нлн интегральные операторы, необходимо знать обратный оператор замкнутой системы, явно зависящий от параметров регулятора. Это — весьма сложная задача, решение которой, как указывалось выше, возможно лишь в простейших случаях, не представляющих интереса для инженерной практики.
Метод матричных операторов даже прн решении задач синтеза сложных автоматических систем значительно упрошает ршоенне указанной проблемы. а,(1). Лф) АТОН 4. со« 0.4 где (О = 0,5; ыоо = 1, Рис. 3.14. Структурная схема системы где А„— матрица оператор~ интегрирования (числовая матрица, именно зто приводит к упрощению рещення задачи). Отсюда находим 7(4, О) =-~(х (1) — ая(1,4, О)) сй ~сз(1,4,НЪ) 41= = ~ (С" (4,ьъ)) Ф(1) Фт(1)Сс (4,иъ) й = причем С" ~ (0,9751 -0,0248 -0,0248 -0,0249 -О,(ь)52 -0,0252 ...) .
Если С'(С, Ъ) =(с1(С. ~) 4(С,Мд ". с((С, О) ), ~сз(1,4. ъ) й =(С' Ы.ьхд) С'(4, ъ) К (с'(4,мд)~ (352) О м=! Далее воспользуемся процедурой параметрической оптимизации. В качестве стартовых значений искомых параметров были взяты Прн стартовых значениях функционал (3.52) равен 25,175496; ограничения (3.45) имеют следующие величины: 7; =8>2; Т„,„с=3,627>07; (3.53) а = 16,3033'А > 15%; нс = 1,1026 > 1". с~ -- 1 > 0,3. Минимизируя функционал (3.52) с учетом ограничений (3,45) с ис. ПОЛЬЗОВЗННЕм функции 1пн)псоо НЗ пакета 14ат)аЬ. Найдены следующие Оптимальные значения параметров канала «' правления креном ракетно 0 1 2 3 4 5 6 7 а 0 10 сс Рнс.
3.13. Графики перехохных характеристик На рис.3.13 представлен график переходной характеристики при оптимальных значениях С н мо и для сравнения приведена зтзлонная переходная характеристика. Недостаток рассмотренного подхода — рещение оптимизационной задачи невыпуклой функции, поскольку находится обратный оператор, зависящий от Р|.рз, ...„Р„. Указанный недостаток легко устрзняется, если воспользоваться следующим подходом. Рассмотрим систему (рис, 3.14). Перейдем к описанию объекта в форме матричных операторов: А„= (А') А".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
