Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Здесь она будет приведена без доказательства. Если Х ()о>) есть изображение Фурье функции времени х (Г), то суще ствует зависимость Х'(Г)»Г=- —., 5 !ХО' ) !'>("'=х — „! (Х(7' ) ! С) 1 Г . 1 0 хх й т. е. интогрировавие квадрата функции по времени в проделах от нуля до бесконечности можно заменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам. При нахождении интегральной оценки 1, соответствукццой реакции системы на входное задающее воздействие типа 1 (1), изображение Фурье исследуемого отклонения х (г)— :=.
у (Г) — у (со) будет где Ф (усе) — частотная передаточная функция замкнутой системы. Тогда 1 (" !>ВОы) — ц>(0) !',( (8.69) я а>а В астатических системах н статических системах с неединичной обратной связью или с масштабированием (см. т 9.3) установившееся значение у (оо) =. — — 1 и Ф (0) = 1. Тогда формула (8.69) будет иметь вид 7 1 ( !Фх(/ы)!а Ы (8. 70) я ) ыа о где Ф„(/о>):.— 1 — с1> ()е>) -- частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке. Аналогичным образом для входного зада>ощего воздействия типа единичного импульса б (Г), изображение которого равно 1, изображение Фурье исследуемого отклонения х (г) =- у (г) равно частотной передаточной функции замкнутой системы: Х (Во) =- Ф ()о>) ° 1.
В результате получаем хх 7' —... — ! Ф (Во) !а»е>, (8.71) Подобные выражения могут быть по- лучены и для входного возмущающего > воздействия, если вместо частотной пере- даточной функции Ф ()о>) использовать Рвс. З 26 передаточну>о функцию по возмущающему воздействию ФР Гуа>). Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса.
Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 8.21, имеют одно н то же значение квадратичной интегральной оценки (8.56). 229 т о.о< ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся ун<е при этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большу<о скорость процесса при подходе к установившемуся значению х =- О.
Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости. Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на рис. 8.22, а. Очевидно, что величина интегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем блнн<е будет кривая переходного процесса к ломаной линии АОВС.
Но приблнн<ение процесса к этой линии требует увеличения угла наклона кривой Рис. 8,22. в начальной стадии процесса (приближение части кривой 01) к отрезку ОВ). Увеличение же начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости. Поэтому применяется еще другой внд интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения х, но также и на скорость отклонения х.
Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид 1„—. ~ (хо+ Т'х') Ш, (8.72) о где Т вЂ” некоторая постоянная времени. Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы регулирования по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72). Для этого проделаем следующие преобразования: 1,= ') (х+Тх)'с<1 — ~ 2ТххМ = ~ (х+Тх)лй — Тх*~ = ') (х+Тх)о<11+Тх'„ о о о о х=хое т у=до(1 — е т) (8.73) где уо — — хо — установившееся отклонение регулируемой величины. где х, — начальное значение отклонения в переходном процессе.
Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия Тх + х =. (Тр + 1) х = О. Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид 236 ОЦКНКА КАЧКСТВА РКГУЛНРОВАННЯ Этот процесс изображен ка рнс. 8.22, б пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени Т, которая носит в атом случае название экстремали.
Из этих соображений можно заранее задаться определенной величиной Т. Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (8.56). Методика вычисления интеграла (8.72) сводится к тому, что правая его часть разбивается на два слагаемых: 1„--. ~ хо й+ Т' ~ х' о)г'. о о При входном воздействии типа единичной ступенчатой функции первое слагаемое последнего выражения соответствует интегральной оценке 1, а второе — Тз1'. Поэтому в результате получаем для этого случая (8.74) 1к — -- 1 + Т'1'. Улучшенная интегральная оценка 1к может также применяться в безразмерном виде аналогично (8.57) и (8.68): 1ко — з 1к Яо Сз (8.75) где воо — среднегеометрический корень характеристического уравнения, а С вЂ” некоторая величина, имеющая размерность у (з), напривзер статическое отклонение у (оо).
Недостатком приведенных расчетных формул для вычисления как 1. так и 1„является их выражение через определители, которые трудно бывает раскрывать в буквенном виде при высокой степени характеристического уравнения. В этих случаях можно использовать имеющиеся специальные приемы числовых расчетов. Сам определитель Л (8.62), как старший определитель Гурвица, согласно з 6.2 имеет вид —.. аз (агхг — а,аз) прил=3, =- аз (аз (а,аг — аоаз) — ава1! при п=-4, = — аз Ца,аг — аоаз) (окав — азаз) — (а,а, — аоав)') при и =-.
5. 1з =-- Л„ 1в =- 1в„ йк 1к ~ ( + Тзх -)- Тз -з) й. о (8.76) Несколько сложнее вычисляется только определитель гв,к, когда первый столбец Л (8.62) с одним элементом ак заменяется столбцом (8.63) с двумя элементами а„, н а„. Все остальные определители оказываются проще. Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи.
В принципе возможно использование более сложных выралоений, чем (8.72), в которые кроме первой производной от отклонения будут входить вторая, третья и т. д. проиаводные. Так, например, ограничившись при подаче ступенчатого воздействия д (Г) или 1 (О) отклонением х, первой проиаводной х и второй производной х, получим интегральную оценку в виде 231 з з.в) интегглльные оценки Эта оценка будет характеризовать приближение переходного процесса к зкстремали, определяемой решением дифференциального уравнения ТЙХ+ Т1Х+Х =.'= О. Экстремаль в данном случае будет соответствовать более сложной кривой, чем экспонента, что позволяет точнее задать желаемый вид переходного процесса.
Однако нахождение интегральных оценок вида 1„.—.:1+ Т',Г + Т',1", к которым сводится вычисление интеграла (8.76), сопряжено со значительными трудностями, что ограничивает их применение. Определение минимума интегральной оценки, Пусть требуется, исходя нз минимума какой-нибудь интегральной опенки, выбрать два каких-нибудь параметра а и () заданной автоматической системы. Указанные два параметра входят в коэффициенты дифференциального уравнения системы.
Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражение соответствующей интегральной оцонки. Это выражение, если все параметры системы заданы, кроме а и р, имеет вид 1 — 1 (а, (3). Для определения значений а н р, соответствующих минимуму 1, вычисляем частные производные по а и () и приравниваем их нулю. В результате получаем два уравнения: Н(а, б) зб с двумя неизвестными а и р. Отсюда и определяются искомые значения параметров а и р. Чтобы убедиться в том, что это действительно минимум, а не максимум, можно вычислить значение 1 при полученных значениях а и (), а затем при каких-нибудь соседних.
Последние должны оказаться болыпе. Аналогично монсно поступить и при выборе нескольких параметров по минимуму интегральной оценки. Функция 1 (а, р) не всегда обладает минимумом по рассматриваемым параметрам. Тогда нужно выбирать их по наименьшему аначению интегральной оценки 1 внутри области, назначаемой из других соображений.
Важно также иметь в виду, что выражение интегральной оценки через выбираемые параметры системы в буквенном виде может в ряде случаев оказаться сложным для исследования в общем виде. В таких случаях можно поступить иначе: задавать несколько числовых значений одного из выбираемых параметров (при жестко заданных всех остальных) и вычислять для каждого нз них значения 1 (или 1„).
В результате будет видно, при каких значениях данного параметра получается 1юш (можно для наглядности построить график величины 1 в аависимости от выбираемого параметра). Аналогично нужно поступить и с другими выбираемыми параметрами системы. В конкретных расчетах всегда надо учитывать, что одновременно с таким выбором параметров нужно, во-первых, обеспечить хорошие статические свойства системы и, во-вторых, проследить, чтобы оптимальная точка не оказалась слишком близкой к границе устойчивости, так как всегда надо иметь некоторый запас устойчивости. Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение третьего порядка (8.77) (а,р' + а,р' + азр + а,) у(Π— Ьэф (~), 232 1Га.
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ где зр (2) — входное задающее или воамущающее воздействие. Пусть входное воздействие ф (Г) .= Г (~). Тогда изображение по Лапласу регулируемой величины будет У (р)— ора~-а~рз разр-2 аз р Установившееся значение регулируемой величины здесь будет у (оо) = зз =-С= —. аз Вычислим для этого случая интегральную оценку 1. Так как и = 3, а т = О, то в соответствии с формулой (8.6Г) имеем 1 (' 23 Взаз Ъ Далее по выражению (8.62) находим определитель 0 = а, (а,аз — аза,). — а, а, Для нахождения Лз необходимо первый столбец определителя Ь заменить на (8.63): — о а2 аз аз '— "= а2 (ага2 азаз) + аза~ ° 0 — аз По формуле (8.64) находим единственный коэффициент Вз==Ь,*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
