Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении системы в этом режиме меняются во времени. Это объясняется тем, что при движении по гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения системы, а следовательно, одновременно будет меняться направление действующих в системе сил сухого трения. Этот случай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным системам регулирования. Рассмотрим ошибку, определяемую только первым слагаемым выражения (5.16): х г+1у(р) (8.13) В ликеаризованной системе при гармоническом задающем воздействии (8.12) ошибка в установившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой ша.
х = х,в з(п (еаза + аг). (8.14) 'Точность системы в атом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена из (8АЗ) на основании символического метода подстановкой р = уша. ) хшвх — ' ~ 1+ ~~р(, ) ~ ° (8.15) Так как предполагается, что ампли- Оа туда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия: х ,„ « я ,, то, следовательно, модуль знаменателя (8.15) значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выражение (8.15) заменить приближенным б) ~ „аа1 Яях вшах вшах (8 16) 9 шах хшах ~~~ ( )~ = 1(, ) ° ) шаа где А (ша) — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при ш =ша. Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся режиме.
Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы. Формула (8.16) широко используется также при расчете системы методом логарифмических амплитудных частотных характеристик (л.а.х.). В этом случае модуль А (ша) в децибелах, т. е. Л (ва) = 201я А (юа), равен ординате л.а.х. при частоте ш = ша (рис. 8.2, а). 208 ОценкА кАчествА РегулнРОВАния Простота вырви<ения (8.16) позволяет легко решить обратную задачу, т. е. сформулировать требования к л.а.х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в установившемся режиме была не болыпе заданной.
Для этого необходимо по заданному значению амплитуды задающего воздействия я,аао и допустимой амплитуде ошибки х,„вычислить требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах: 1 (эз~) =- 201я А (оао) .= 201я Хм'* (8.17) з 8.3. Коэффициенты ошибок Рассматриваемый метод может применяться как для задающего я (г), так и для возмуща|ощего ~ (г) воздействий. Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только задающее воздействие. Если функция времени Р (1) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в том смысче, что через некоторое время существенное значоние имеет только конечное число ш произ- водных нд Ф~. Рг ло' шо'''''ш то ошибку системы можно определить следующим образом. Из формулы (5.20) можно нанти изображение ошибки Х (р) Ф (р) 0 (р) (8Л8) где Ф„(р) — поредаточная функция замкнутой системы по ошибке, 6 (р)— изображение задающего воздействия.
Разложим передаточную функцию по ошибке в выражении (8.18) в ряд по возрастающим степеням комплексной величины р: Х(р) .=( со+ сон+ —,', р'+ — „,", ро+...16(р), (8.19) сходящийся при малых значениях р, т. е. при достаточно больших значениях времени д что соответствует установившемуся процессу изменения регулируемой величины при заданной форме управляющего воздействия. Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки Из 0) ао Год (о), -~об(~)-( со, +2,,эо +..
(8.20) Величины с„с„сз, ... называются коэффио лентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам са (Фх(р))э-.о со= ~,~ 1 ~ ' ' '' са~ ~ ю Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке при частоте управляющего воздействия аз = ооо.
Полученная точка АА (рис. 8.2, б) обычно называется контрольной точкой для л.а.х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения хм,, л.а.х. должна проходить ие ниже контрольной точки АА. Если л.а.х. пройдет через эту точку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Если л.а.х. пройдет ния'е точки АА, то ошибка будет болыпе допустимого значения. 1 в.з1 коэач ипивнтытошивок Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно- рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (8.19).
Коэффициент со может быть отличным от нуля только в статических системах и то только в тех случаях, когда не принимаются меры по устранению первой составляющей статической ошибки посредством масштабирования или использования неединнчных обратных связей (см. э 9.3). В системах с астатизмом первого порядка с, = О, а коэффициент с, связан с добротностью по скорости соотношением сг =— Ке (8.2з) В системах с астатизмом второго порядка се = 0 и сг = О, а коэффициент с, связан с добротностью по ускорению соотношением сг 1 (8.22) 2 К, Д7 / Кс 'Р)= р(1+т,р) О+т,р) ' Передаточная функция по ошибке ф 1 тгтгрс+ (т + тй р'+ р 1+1"е" (р) т т р +(т,+Т ) р'+р+К, Деля числитель на знаменатель, получаем ряд Сравнение этого ряда с (8.19) дает О, Ф Ке т, т„ Ке Кз э Т~Тг тз+ Тг 1 — — 2, — + —, Ко Кз' сс с,= сг 2 сг с 14 в, А.
весекерсккэ, я. и. покое При исследовании ошибки от возмущающего воздействия можно получить все коэффициенты не равными нулю при астатизме любого порядка, так как астатизму по задающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению. Коли задающее воздействие К (1) имеет ограниченное число производных, то ряд (8.20) будет иметь ограниченное число членов. Предположение, что коэффициенты ошибок представляют собой постоянные числа, обусловливает применение этого метода для сравнительно медленно меняющихся входных воздействий К (1) или Т" (1), когда можно пренебречь влиянием переходной составляющей процесса и рассматривать только вынужденное движение системы.
П р и м е р. Определим первые три коэффициента ошибки по задающему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид 210 оценкх ккчестВА Ркгулпгования Так, например, если задающее воздействие в этой системе меняется по закону з!! У (!) ЙО-Г «0! 1 8 1 то установившаяся ошибка оудет У« — 'М 6 хнп к + л! [(7 !+ 7 з) йк 1] У Ю $8,4.
Определение запаса устойчивостк и быстродействия по переходной характеристике Оценку запаса устойчивости и быстродействия моя!но произвести по виду кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования при некотором типовом входном воздействии, которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие.
В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику системы (рис. 8.3). Она может строиться для регулируемой величины у (1) 8 или для ошибки х (!). У Склонность системы к коле- баниям, а следовательно, и запас ~ гну[' ) устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины у, й 8 или так называемым перерегулиЪ~ роваиием ! и о% «мкк (, 100% (8,23) ~м 1 у( [ где у (ао) М 0 представляет собой Рвс.
8.3. установившееся значение регули- руемой величины после заверше- ния переходного процесса. Допустимое значение перерегулирования для той илн иной системы автоматического регулирования может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина перерегулирования не превышает 10 —: — 30%. Однако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, т. е. был монотонным; в ряде других случаев может допускаться перерегулирование 50 —: 70%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
