Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда оказывается, что частотное изображение ф (усе) совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Ф (ую), а вещественная Рэ (сэ) и мнимая Я„(сэ) части в формуле (7.46) совпадают с вещественной Р (а) н мнимой 8 (сэ) частотными характеристиками замкнутой системы. К аналогичному результату можно прийти, если рассматривать реакцию системы на скачок внешнего возмущения. Тогда вещественная и мнимая части в формуле (7,46) будут совпадать с вещественной и мнимой частями частотной передаточной функции по возмущению Фэ (ую) =- Рг (сэ) + + уХ. (ю). К тому ясе частному случаю могут сводиться и другие задачи исследования переходных процессов в системах регулирования, например нахождение ошибки системы прн приложении скачкообразного внешнего возмущения, нахождение функции веса системы и др.
В этом случае существует ограниченное установившееся значение искомой функции времени х (у), которое можно получить, подставляя в ф (р) значение р = О. Учитывая, что Я„(0) = О, получаем х„„= — ф (0) =- Рр (0). Тогда подынтвгральная функция (7.45) моясет иметь однократный полюс в начале координат. Его можно устранить, рассматривая не саму величину х (г), а равность в 7.5) испОльзОВАние ВещестВенных ЧАстотных хАРАктеРистик 235 х ()) — х„,„= х (Г) — Рр (0), которой соответствует разность изображений ~Р (Р) — о7 (0) = ~Р (Р) — Рв (0). В РезУльтате ИРихоДим к слеДУювЦей инте- гральной зависимости: +ОР х (в) — Р (0) — ) .
е)"'йо т Оо7) — Р~ (О) 22з .) )и Используем формулу Эйлера е7ъе = соз овв + 7 з)п о77. Подставляя последнее выражение в (7.47), используя формулу (7.46) и отбрасывая мнимую часть, которая должна быть равной нулю, так как функция х (7) является, конечно, вещественной, получаем т г Р, (и) в)воя — Рв(0) в)о в77+8, (о7) сов о77 х (Г) — Р, (О) = — „~ йо. (7.43) Подынтегральное выражение представляет собой четную функцию частоты.
Поэтому интегрирование по всем частотам можно заменить интегрированием только по положительным частотам, а затем удвоить реаулътат. Так как Г Ро(0)в)эо77 Р (О) йо =-— Я В7 то в результате имеем Рв(0) 7 г Рв(а)вшоя х(8) = — + — 1 йо+— 2 а1 «7 я 'о М о Если принять нулевые начальные условия, то до приложения внешнего воздействия (при г(0)х(г)= — О. Заменив в (7.49) время г на — г, получим Р(0) ~ гР()М 7 7 аз(„) 0 = 2 — — ) йо+ ~ в йо. (7.50~ о Совместное решение (7.49) и (7.50) дает два выражения для нахождения искомой функции времени: Р х(г) =Р (0)+ — „~ „йо„ Рв (в7) в)с оз х (г) = — ) йо, о (7.5Ц.
(7.52) причем Р (0) .=- х „. Таким обрааом, можно отыскать оригинал х (в) по известной вещественной Р (о7) нли известной мнимой О (о7) частям частотного изображения «р ()о7) = )овХ ()о7). Обычно для этих целей используется вещественная часть изображения Рр (о7). Если входное воздействие представляет собой единичный скачок, то, как указывалось выше, частотное изображение 7р (7о7) совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Ф (уо7). Тогда в формулы (7.51) и (7.52) будут входить вещественная и мнимая части частотной передаточной функции замкнутой системы Ф (уев) = Р (о7) + )Я (о7).
Следовательно, в этом 186 постРоение кРиВОЙ пеРехОдного пРОцессх случае для построения переходного процесса, который будет представлять собой переходную функцию системы Ь (з), необходимо в формуле (7.52) положить Ре (го) =- Р (ег), где Р (ог) — вещественная характеристика систе- мы. В результате получим (7.53) о Аналогичным образом, при нахождении реакции системы на единичный скачок возмущающего воздействия необходимо использовать вещественную часть частотной передаточной функции по воз1г мущению. В дальнейшем изложении будем иметь в виду 1 случай, определяемый формулой (7.53), хотя методика построения переходного процесса остается единой и для общего случая (7.52).
Интегрирование выражения (7.53) представляет большие трудности. Поэтому обычно испольсс;1 гггсев зуется приближенное решение задачи. Для этой цели вводится понятие типовой единичной трапег4еидальной вещественной характеристики (рис. 7.3). Единичная трапеция имеет высоту, равную единице и частоту среза гви, также равную единице, точнее, 1 сек-'. Единичная трапеция характеризуется частотой излома, которая может быть задана в виде коэффициента наклона трапеции ма ыи Для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению (7.53) может быть вычислен оригинал, т. е.
функция времени. Эта функция получила название Ь-функции. В настоящее время составлены подробные таблицы Ь-функции для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах 0 с х -1 (см. приложение1). По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции может быть построена г7;7) функция времени Ь (г), где г — безразмерное вреР мя, соответствующее единичнои трапецеидальнои характеристике.
~~аг Метод построения кривой переходного процесса заключается в том, что построенную вещеКг гвгг ственную характеристику исследуемои системы (рис. 7.4) разбивают на ряд трапеций, заменяя хг= ~~ приближенно кривые линии прямолинейными отрезками так, чтобы при сложении ординат всех д трапеций получилась исходная характеристика. огаг Затем для каждой трапеции определяется коэфьггг фициент наклона. Прн известном коэффициенте наклона по таблицам могут быть построены Рис. 7.4. Ь-функции для каждой трапеции. Кривая переходного процесса могкет быть получена суммированием построенных Ь-функций с учетом правил масштабов. Правила масштабов заключаются в следующем. 1. Перед сложением ординаты каждой Ь-функции необходимо умножить на высоту соответствующей трапеции (см.
рис. 7.4), так как Ь-фуккция Рис. 7.3 $7.з) использовьпик ввщвстввпиых частотиых хагхктвгистик 187 построена для трапеции, имеющей единичную высоту. При этом необходимо учитывать знак высоты, считая высоту положительной для трапеций, расположенных выше абсцисс. 3, Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой Ь-функции, так как Ь-функции построены для единичной трапеции, имеющей частоту среза а, = 1 сев !. Измепекие масштаба времени делается в соответствии с теоремой подобия (табл. 7.2). Действительное время равно времени К приведенному в таблице Ь-функций, деленному па частоту среза соответствующей трапецеидалькой характеристики: При нахождении реакции системы па едикичную импульсную входную функцию, т.
е. функции веса в (!), можно пользоваться общей формулой (7.52). При этом Ро (в) должно быть вещественной частью частотного изображения искомой функции ч! ()а) = увХ ()а) = уаФ ()а)-1 = Ро (а) + + )Яр (в), где 1 представляет собой изображение единичной импульсной функции 6 (!), а Ро (в) ~ Р (в). Однако можно преобразовать формулу (7.53) так, что и при нахождении функции веса можно будет исходить иэ вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р (в). Для этой цели продифференцируем выражение (7.53) по времени: Ю и (!)=- = — Р(а)соэвгйо. еь(!) 2 г Ы! (7.54) Если разбить исходную вещественную характеристику на трацецеидалькые характеристики (рис.
7.4), то аналогично построению переходной функции выражение (7.54) мол'по представить в виде и ю и (!) ж — „~ ) Р!(а) соэвгйо, 2 г=! о где п — число трапеций, па которые разбита вещественная характеристика Р (а). Можно показать, что это выражение приводится к виду (,) 2 ~ч-! ( 1 зш вь! з!ай!! ) 1 1 где введены обозначения в!= 2 ' ав ье!= — „' в!, А!=И!Р!(О), (7.55) Следовательно, в данном случае искомая функция времени и! (1) приближенно определяется простым подсчетом ее ординат по формуле (7.55) для разпых г и последующим построением по точкам.
Для облегчения подсчетов мо!кпо воспользоваться готовыми таблицами значений зш !хЪ, которые имеются в справочниках. В заключение заметим, что при построении кривой переходного процесса по трапецеидальным частотным характеристикам наибольшие ошибки получаются в начальной части кривой, так как отбрасываемый охвостэ веществениой частотной характеристики замкнутой системы влияет главным образом именно на начальную часть кривой переходного процесса.
т88 постгоиник кгивоя ив»входного пгоцкссл Кроме изложенного здесь частотного метода В. В. Солодовникова существует еще предложенный А. А. Вороновым [281 апалогичвый способ построения кривых переходного процесса по треугольным частотным характеристикам. 5 7.6. Использование вычислительных машин За последнее время для исследования систем автоматического регулирования и управления и, в частности, для построения переходных процессов стали широко применяться вычислительные машины непрерывного и дискретного действия.
Наибольшее применение находят вычислительные машины непрерывного действия, относящиеся н классу моделирующих устаиовок электронного или электромеханического типа. Удобство моделирующих вычислительных машин заключается в том, что физическому процессу, протекающему в исследуемой системе регулирования, соответствует протекание в вычислительной машине (модели) некоторого другого «апалогового» процесса, описываемого теми же дифференциальными уравкениями, что и исходный процесс. Это позволяет изучать процессы в системах регулирования наиболее наглядно, так как каждой обобщенной координате в исследуемой системе соответствует некоторая переменная в вычислительной машине, например электрическое напряжение, ток (в электронной модели) или угол поворота (в электромеханической модели).
Моделирующие вычислителькые машины позволяют моделировать как всю систему в целом, так и отдельные ее части. Так, например, часто вычислительная машина используется для моделирования объекта регулирования, например самолета, корабля, паровой турбины, двигателя вкутреппего сгорания и т.
п., а сам регулятор может быть реальным. При «сопряжении» реального регулятора с объектом, в качестве которого выступает модель, получается замкнутая система регулирования, которая может быть исследована еще до того, как будет построен сам объект. Вычислительные машины целесообразпо использовать для исследования обыкновенных ликейных систем в тех случаях, когда последние описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка и их аналитическое исследование становится малоэффективным. Одпако наибольшее значение имеют вычислительные машины при исследовапии линейных систем с перемеипыми параметрами и нелинейных систем, поскольку для этих случаев пока еще мало разработано приемлемых для практики методов, а ипогда аналитические методы вообще отсутствуют.
Точность моделирующих вычислительных машип обычно пе превосходит нескольких процентов. В большинстве случаев этого оказывается достаточно для целей практики. Получение точности в десятые доли процента и выше связало со значительным увеличением стоимости машин. В этом отношении целесообразнее использовать вычислительные машины дискретного типа, которые сравнительно просто могут обеспечить высокую точность вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
