Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 37
Текст из файла (страница 37)
й 6.6. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам Ц (1+21Р) И (р) = —," „'='„ Ц (~+тср) 2=-1 При подстановке р =-ув получаем Ц ~lг,- мвт; Ь(са) =-2019 —" Ц )2'~+вере 1-.= 1 (6.34) Фаза (аргумент) частотной передаточной функции и е ф (а2) = — г 90 + ~ агссйюТг — Я агс16юТ1. 2 1 1-1 Н В. А. Весекерскяа. Е.
П. Попав (6.35) Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.) разомкнутой системы. Построение л.а.х. производится по выражению ь (ю) = 20 1я А (ю) = 201я 1 и2 (ую) 1, где А (а2) — модуль частотной передаточной функции рааомкнутой системы (6.29).
Построение л.ф.х. производится по значению ф (ю) частотной иередаточной функции (6.29). Для построения л.а.х. н л.ф.х. удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.10. Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду 162 КРИТИРИИ УСТОЙЧИВОСТИ [гд. « На основании (6.34) и (6.35) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую л.а.х., для чего на стандартной сетке (рис.
6,25) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах еи сел ряс. 6.25. 1 1 в, = — и в, = †. Для определенности построения возьмем передаточнукг т, ' т,' функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде к, (1,-т,Р) РП+тгР) П+т»Р)' ' которой соответствует выра, кение для модуля в логарифмических единицах (6.36) Ь(в) =20)я — ' )/1+ г»»т, '(1 [- м»тгз) Примем, что выполняется условие Т~ ) Тз ) Т». Тогда для сопрягающих частот (рис. 6.25) будет выполнено условие вг ( в» ( в». Построение аси»штотической л.а.х. начинается с области низких частот Если частота меньше первой сопрягающей частоты: в ( вы то выражение (6.36) приобретает вид В (в) ж 20 1д — ", К„ которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящая через точку А с координатами в = — 1 сек ', Ь (в) = 20 1я К, и через точку В с координатами в = К„Т (в) = О.
Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В). Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (6.34), то необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, т. е. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (6.34), то соответственно необходимо «изломать» л.а.х.
на 20 дб/дек вверх. В соответствии с выражением (6.36) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вниз, в точке С вЂ” на 163 устойчивость и ЧАстотные хАРАктеРистики 6 6Ю 20 дб/дек вверх и в точке П вЂ” на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/бек.
Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной аснмптоты, который должен быть равен г.20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами 66 =- 1 сек ' и Ь (ю) = 20!я К, или по точке пересечения асимптоты с осью частот (осью нуля децибел), которая имеет координаты ю = у' К„и А.
(66) =.= О. Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид ф (66) =- — 90' — агсГя юТ, + агсгд ю Т, — 2 агой юТз ——— = — 90 +ф, +ф,+2ф,. (6.3Т) Каждый из углов ф„, фз, фз представляет, по сути дела, одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость ф, = — агсгд 66Т6 (см. рис.
6.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45'. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.37). Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (6.34).
Коли числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выра6кекиях (6.34) и (6.35) появятся члены, имеющие соответственно вид 2 "6Та 4/(1 — 666Т6)6 + 4~6Т6666 и агой ~~6 . В этом случае для построения л.а.х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содерябится колебательное звено, то вместо выражения (6.34) поясно записать [[ ~/Ь~ эгг и-г — з (/(4 мэТ6)6 + 4~~ Т66Р [[ (Г 4-Р АУТ( Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем.
Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4 18. Аналогичным образоэг строится л.ф.х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18. В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, построение л.а.х.
и л.ф.х. можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от 0 до +со. Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным л.а.х. и л.ф.х. Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива илн нейтральна. Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка. Как следует из рис. 6.16, 6.18 и 6.19, в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения ф = — 180' только при модулях, меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать — 180' четное число раз (два, четыре и т. д.).
П6 КРИТРРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Это позволяет легко определить устойчивость по виду л.а.х. и л.ф.х. разомкнутой системы. На рис. 6.26, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения л.а.х. с осью децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает аначения ф =- — 180' (точка 2).
В) (са) о» -/ВВ твВ и -аа Рас. 6.26 Рас. 6.27 На рис. 6.26, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения ф = — 180' дважды при модулях, больших чем единица (точки В и 4). На рис. 6.26, е изображен случай колебательной границы устойчивости и на рнс. 6.26, г — случай неустойчивой системы. Л.а.х. и л.ф.х., построенные в качестве примера на рис. 6.25, соответствуют устойчивой система.
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, а также для систем, имеющих астатизм любого порядка, требования к л.ф.х. всегда »южно сформулировать на основании вида амплитудно фазовой характеристики, соответствующей устойчивой системе. Так, например, для системы с 7. ~об астатнамом третьего порядка в случае устойчивой в разомкнутом состоянии свстгмы (см.
рис. 6.20) л.ф.х. должна проходить так, как зто изод бражено на рис, 6.27. Фазовая характеристика прн низких частотах начинается со значения фазового сдвига ф -=- — 270'. Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолготному значеи шо так, чтобы ф ) — 180'. Фазовая характеристика должна затем «обогнуть» точку пересечения л.а.х. с осью нуля децибел (точку 1), после чего фазовые сдвиги могут быть любыми по величине. Аналогичным образом можно сформулировать требования к л.ф.х.
и в других случаях. Иногда для определения устойчивости пользуются не л.а.х. и л.ф.х., а логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой систе- О огн двтмквныв систвмы с лнтисвммвтгичнымн свяаями 165 мы, построенной в координатах «модуль в децибелах — фаза» или «модуль в децибелах — запас по фазе» (см. рис. 4.12). Для устойчивой системы зта характеристика должна обогнуть справа точку с координатами Ь (в) = 0 и Ф = — 180' (или р =- 0).
На рис. 4.12 изображена характеристика, соответствующая устойчивой системе. з 6.7. Устойчивость двумерных систем с антнсимметрнчными связями В практике встречаоотся двумерные системы регулирования с автисимметричными связями. Структурная схема такой системы изображена на рис. 6.28. Она содержит два идентичных канала с одинаковыми передаточными функциями И', (р) =- И; (р) И'о (р) и антисимметричные связи. К такому Рко. 6.29. Рко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
