Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рнс. 7.2 тические расчеты; поэтому переходного процесса во м нкпосгкдствкннок гкшвнив исходного тглвнкппя 171 ближепными методами, а также применять вычислительные устройства непрерывного и дискретного действия. Для построения кривой переходного процесса часто используют численные и графические методы решения дифференциальных уравнений. Таких методов существует много. Применительно к задачам теории автоматического регулирования наиболее удобным оказывается численно-графический метод, разработанный Д. А. Башкировым (98, 121). Важным достоинством этого метода является то, что он без заметных усложнений может применяться к уравнениям с переменными во времени параметрами и к нелинейным уравнениям.
Кроме того, метод Башкирова позволяет с одинаковой простотой строить процессы регулирования при любых заданных внешних воздействиях, в том числе и заданных графически или в виде таблиц. Для получения переходных процессов с большим успехом и весьма широко применяются такн е вь|числительные машины. Различаются вычислительные машины непрерывного и дискретного (цифровые) действия.
Они строятся на электронных, полупроводниковых н электромеханических элементах. Для сложных автоматических систем в настоящее время атому методу отдается предпочтение. Важно отметить, что при использовании вычислительных машин часто можно обходиться без составления дифференциальных уравнений тех звеньев автоматической системы, для которых имеютсядействующие макеты. Тогда для остальной части звеньев набираются их дифференциальные уравнения на вычислительной машине, к которой подключаются имеющиеся действующие макеты.
Это свойство моягно использовать для испытания и настройки регуляторов в лабораторных условиях. Ниже будет рассмотрена часть наиболее распространенных методов построения кривой переходного процесса. К ним относятся метод непосредственного решения линейных дифференциальных уравнений или так называемый классический метод, использование преобразований Фурье, Лапласа и Кареока — Хевисайда, метод трапецеидальных вещественных частотных характеристик и использование вычислительных машин.
В дальнейшем изложении будем рассматривать построение переходного процесса для ошибки х (г). Однако методика остается единой и для других случаев построения переходного процесса, например для отыскания у (1) при а (г) ~ О. 5 7.2.
Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью (а,р" +а,р" '+... +а,,р+а„)х(Г) --.— = (Ьор™ + Ь!р" ' + + Ьт) 7 (г) (7 4) Для отыскания полного решения этого дифференциального уравнения необходимо найти частное нли вынужденное решение уравнения с правой частью х, (О и определить корни характеристического уравнения а,р" + а,р" '+... +а„,р+а„=-0.
Как указывалось выше, полное решение будет иметь вид х (г) = х, (г)+ С,ею'+ С,ага'+... +С„Ра'. (7.5) Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования С„..., С„, Для атой цели используются начальные условия: при 1 =- 0 х (О) = х, х' (О) =- х,',..., х'" " (О) =- х<", ". Начальные 172 постгокнив квивои пвгкходного пгоцвссл условия накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения (7.4).
Дифференцируя уравнение (7.5) по времени и — 1 раз и используя начальные условия, получают п алгебраических уравнений, куда входят и неиавестных постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений дает возможность определить искомые постоянные интегрирования Сы..., С„. Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравнений являются трудоемкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенными методами.
В связи с этим использование этого метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего. Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение.
Тогда частное решение равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид: х (~) =С,еж'+ С,еж'+... +С„е"»'. (7.6) В этом случае переходный процесс определяется только видом корней и начальными условиями. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы для получающегося переходного процесса при различных степенях дифференциального уравнения в (от 1 до 3) н корнях различного вида.
В таблице приняты следующие обозначения: Таблица 7Л аы аз, аа — абсолютные значения вещественных некратных корней; у и Х вЂ” абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; ха — начальное значение исследуемой координаты; х,' — начальное значения скорости изменения исследуемой координаты; х," — начальное значение ускорения.
О 7.3] СВЕДЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Н ОДНОРОДНОМУ 173 $ 7.3. Сведение неоднородного уравнения к однородному Для типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решение неоднородного уравнения (7.4) может быть сведено к решению уравнения без правой части переходом к другой переменной. Примем, что ~ (1) = 1 (~), причем единица имеет размерность переменной, стоящей в правой части (7.4). Тогда установившееся значение переменной х при з — со можно найти из (7.4), положив все производные равными нулю: х(оо) = х~~= — ° 1. Ь (7.7) вл Это установившееся значение представляет собой частное или вынужденное решение неоднородного уравнения (7.4), т.
е. х, (1) = х „. Введем новую переменную з (1) = х (1) — х, (1) = х (1) — х„„. (7.8) Решение неоднородного уравнения (7.4) для з (1) может быть записано в виде з (1) =х(1) — х)ч,=С,вон+С,еж(+... +С„ео ', (7.9) что подобно решению типа (7.6). Этому решеншо соответствует исходное дифференциальное уравнение без правой части (7.10) Нз уравнения (7.8) нетрудно определить связь между начальными условиями для исходной переменной х и новой переменной з при ~= 0: (и-1) (и-!) го — — хо — хт, со=хо,...,зо =хо После нахождения решения для переменной х по формуле (7.8) можно легко вернуться к исходной переменной х смещением решения на величину хчо ° Однако эти рассуждения пока справедливы для случая, когда степень операторного многочлена в правой части (7.4) равна нулю (т = 0) и дифференциальное уравнение (7.4) имеет внд В (р) х (1) = Ь / (О.
Это происходит потому, что, вообще говоря, необходимо различать начальные условия, которые существовали в системе до приложения возмущения, т. е. при времени 1 = — О, и непосредственно сразу после его приложения, т. е. при времени 1 =- + О. Остановимся на этом вопросе более подробно в случае приложения возмущения типа ступенчатой функции. Для простоты расчетов для времени 1 — —. — 0 почти всеуда принимают нулевые начальные условия, т.
е. х о = О, х', = О, х, = 0 )а т. д. В дальнейшем под нулевыл(и начальными уеловияли будем понимать именно эти равенства. Начальные условия, которые будут иметь место непосредственно после приложения ступенчатой функции, т. е. при ~ = + 0 (обозначим их хею х,'„ х"„ и т. д.),можно определить из исхрдного дифференциального уравнения (7.4). Не останавливаясь на доказательстве, приведем конечные результаты. Для первых п — э) начальных условий имеют место равенства х+о х-01 х+о =- х-о, (7.11) (и-т-1) (в-т-1) х+о = х-о 174 (ги.
7 постРОение БРиВОЙ пеРеходного пРОцессА Таким образом, для самой координаты и первых (и — т — 1) производных нулевые начальные условия сохраняются и после приложения ступенчатой функции. Для остальных начальных условий выполняются соотношения (и-т) (и-т) Ьо х+а =х о + —.
аз (и-т+1) (и — т+1) Ь( а( (и-т) (и — т) х,а = х-о ' + — 1 — — [хто — х-а ао аа (и-иг+2) (и-т+3) Ь аг (и-т) (и-т) хео = х-а + — "- ° 1 — — [х+о — х-о !— аа ао (7.12) а(, (и-т-<-1) (и-т+1) — — [х+а — х о ! аа (и-1) <и-1) Ьги-1 ат-1 (и. т) (и-т) х+а =-х а + — ° 1 — = [хго' — х а ! — ° ° ° ао аа .— — '[ха-а — х о ! ао Зги формулы показывают, что только при )я =- О, т.
е. для дифференциального уравнения 7) (р) х (1) --- 5„7'(1) прп скачке 7 (1), начальные условия при Г = + 0 соответству(от начальным условиям при Г = — О. В формулах (7.12) множитель 1 имеет размерность величины 7' (г). Если воздействие прикладывается в виде скачка, не равного единице, то вместо 1 следует поставить величину скачка. П р и и е р. Найдем реакцию системы на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях, т. е. переходную функцию, если дифференциальное уравнение имеет внд (0,05рг + 0,4р + 1) х (г) = (0,5р + 1) ~ (1).
Для простоты примем, что переменная х является безразмерной величиной. Решая характеристическое уравнение 0,05р'+ 0,4р + 1 = О, находим корни: рп г =- — у:Ь 1[< .— — — 4 "= )2. Согласно ааданным условиям х, == 0 и х', =- О. Так как в данном случае п = 2 и лг = 1, то начальные условия для г == + О, в соответствии с (7.11) и (7 12), будут хга =х-о=О Ь 05 х,+ о.1 — О+ — =10 " '.
ао 005 Определяем установившееся значение искомой координаты: Ьт Хгаг = аи Введем новую переменную з (1) = х (г) — 1. начальные условия для новой перев(енной: ага = х+а — хт =- Π— 1 ии — 1, з+о = хао = 10 сее 1, На основании табл. 7.1 для п=-2 и случая комплексных корней имеем з = (В соз М + С ьбв 7,1) е-т(, где В=в+о — — — 1, Сии . = ' 3. тгио+ г~ао — 4+ 10 173 о пз) СВКДЙНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ Таким образом 2 = ( — соз 22 + 3 з)п 2() е 4'. Возвращаясь к исходной координате, получаем переходную функцию Ь (2) =- х (1) =- 1 + 2 (1) =- 1 — (соз 22 — 3 з?п 2() е-44. Лналогичныь( образом можно осуществить переход от неоднородного дифференциального уравнения (7.4) к уравнению без правой части при воздействии типа импульсной функции.
В этом случае установившееся значение х „= О, так как в случае 1(1) =-. 6 (() при г —. Оо будет 7 (оо) =- О. ??Оэтому нет нужды вводить новую смещеннук) величину з (1) и задача заключается только в отыскании начальных условий при г =- + О. Так как единичная импульсная функция является производной от единичного скачка 6 (1) = — 1' (1), то формулы пересчета начальных условий можно получить нз (7.11) и (7.12), если заменить в пих т на т + 1 и полон<ить Ь„, =- О. Тогда вместо (7Л1) для первых и — т — 2 начальных условий получим хио =- х-о х-Ьо =- х-о (7.13) (и-т-2) (и-т-2) х,.о =х о и вместо (7Л2) для всех остальных начальных условий (.-т-1) (.---О, Ьо 1 х+о =х о +— ао (и-т) <и — т), Ь< „а<, (и-т-1) (и-т-1)! х+о = х-о + — 1 — — (х+о х — о а< ао (и-т+1) (и-т+1), Ьо ао ° (и-т-1) <и-т-1), х+о = х-о + — 4 — — (хто — х-о ао ао (7 Л4) а< (и- и) (и-т) — — (х+о — х-о ! ао х+о =х о + — 1 — — (х+о — х о !— ( -1) < .-!) Ь,и а, (и- 4-1) (и- $-1) ао ао а< (и-2) (и-2) ° — — (х+о — х-о ! ао В формулах (7.14) единица имеет размерность импульса величины 7' (2), т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
