Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию И'~ (р) — 1-~- И' (р) (6.31) где числитель )) (Р) — ' сер + п~р" ~ +... + а„у + аа представляет собой характеристический полипом системы. Сделаем подстановку р = )ю и найдем комплекс (6.32) И', (ую) =— .0 0ы) =ЕВ )' (6.33) Будем теперь изменять частоту от — оо до + оо и изобразим получившуюся амплитудно-фазовую характеристику И'~ Цю) на комплексной плоскости (рис. 6 15, а). Рассмотрим результирующий угол поворота вектора И', ()ю) прн иамененни частоты от — оо до + ос. Этот угол представляет собой изменение аргумента (6.33), который по правилу деления комплексных чисел равен рааностн аргументов числителя ф~ и анаменателя фа.
(53 $ ел) КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИАЙКВИСТА Числитель (6.33) представляет собой характеристический комплекс. Если все корни характеристического уравнения лежат в леной полуплоскости, то при изменении частоты от — оо до + оо «ргумеят Э ()в) язмеяится яа величину ф = пп, где и — степень характеристического полииома. При построеяии кривой Михайлова реаультирующий угол поворота был равен ф, = и —, яо там частота изменялась от 0 до +ос. Знаменатель (6.33) представляет собой комплекс той я<е степеии и, причем по предположению все корни (6.30) лежат в левой полуплоскости. а) Рис. зяб. Поэтому результирующий угол поворота вектора ч ()в) при измеяеиии частоты от — оо до +ос будет равен фз =- пп. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае результирующий угол поворота вектора И', (1в) будет равен нулю: ф = ф1 — фз = О.
Зто озиачает, что для устойчивой в замкнутом состоянии системы годограф вектора И', ()в) не должен охеатмеать начала координат (рис. 6 15, а). Частотная передаточная фуккция И' ()'в) отличается отвспомогательяой функции И~) ()в) па единицу. Поэтому можно строить амплитудно-фааовую характеристику разомкнутой системы по выражеиию (6.29), что проще. Но в этом случае амплитудяо-фазовая характеристика',не должна охеатыеать точку с координатами ( — 1, )0). Зто является достаточным и необходимым условием того, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии (рис.
6.15, б). При определении устойчивости достаточно построить амплитудяо-фазовую характеристику только для положительных частот, так как ее ветвь, соответствующая отрицательным частотам, может быть легко получена зеркальвым отображением отлосителько оси вещественных. На рис, 6.$6, а изображен случай так кззываемой абсолютно устойчиеой системы. Зтот термин озпачает, что система остается устойчивой при любом уменьшепии коэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функция разомкнутой статической системы может быть представлека в виде И;( ) )сП+д~-~р-1-".+пор ) ~+с„,р+...-~с„р 161 кгнтгвпн устоичявостл 1гл, В Нетрудно видеть, что уменьшение общего коэффициента усиления К приводит к уменьшению модуля (6.29), а это в случае, изображенном на рис.'6.16, а, не может привести к охвату годографом точки ( — 1, 70).
На рис. 6.16, б изображен случай так называемой условно устойчивой системы. Здесь система будет устойчивой при значении общего коэффициента усиления, лежащем в некоторых пределах. Как увеличение, так и уменьшение общего коэффициента усиления К мехмет привести к охвату годографом точки ( — 1, 10), что будет соответствовать неустойчивости системы в аамкнутом состоянии. На рис. 6.16, в изобраяген случай, когда система находится на границе устойчивости.
Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытекает из того, что при некоторой частоте, при которой годограф пересекает точку ( — 1, 10), имеет место равенство Иг(1ю) = — 1 + )О, что может быть записано в виде 1 + И' ()ю) = О. Последнее выражение представляет собой характеристическое уравнение, которое обращается в нуль нри подстановке р = ую. Таким образом, чисто мнимый корень является решением характеристического уравнения. 8 На рис. 6.16, г изображен случай неустойчивой системы.
х Обратимся теперь к передаточной функции разом- 3 кнутой системы, соответствующей астатизму первого ,Ь порядка. В этом случае передаточная функция может Ю быть изображена в виде Ит г ~о (1+ )) я+... + 2)е Ф") х Р(1-~-С„-,Р+... +Сел" ~) Будем предполагать, что все корни знаменателя передаточной функции (кроме нулевого корня р = 0) 3 лежат в левой полуплоскости, т. е. в разомкнутом состоянии система является нейтрально устойчивой. Лмплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке ю =- О. В этой точке модуль Л (0) -~- сю, а фаза делает скачок на 180'.
Для получения определенности в ходе амплитудно-фазовой характеристики необходимо отяести нулевой корень знаменателя передаточной функции И'(р) либо к левой, либо к правой полуплоскости корней (рис. 6.3). Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя И' (р) будут расположены в левой полуплоскости. Для выполнения сказанного поступают следующим образом. При изменении частоты от — оо до +со происходит движение на плоскости корней вдоль оси мнимых снизу вверх (рис.
6.17). В начале координат расположен нулевой корень. Обойдем этот корень по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева. При движении по этой полуокружности против часовой стрелки независимая переменная р меняется по закону р .= Рей, где р -~ 0 представляет собой радиус полуокружности, а р — аргумент, меняющийся от — — ', до + — '. При этом передаточная функция И' (р) 2 ' 2 ' может быть представлена в виде И' (р) — е — Е-)Ч = ДЕЯ-Э1, Р Р где Л -~- оо, а аргумент ( — ~р) меняется в пределах от + — ' до — — ', 2 2 ' 155 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАИКВИСТА в 6,5) Таким образом, во время движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной П я) плоскости пв часовой стрелке на угол, равный я (от — до — — ), что соответствует полуокружности бесконечно большого радиуса.
На рис. 6.18 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы с астатиамом первого порядка. Характеристика начинается в начале координат при в) -~- — оо и затем уходит в бесконечность при со — ~ 0 (верхняя ветвь). Далее характеристика дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы вектор Н/ ()э) повернулся по часовой стрелке на угол и. Нижняя ветвь характеристики соответствует изменению частоты от 0 до +со. Нетрудно видеть, что характеристика не охватывает точку ( — 1, 10), и система в замкнутом состоянии будет устойчивой.
Амплитудно-фазовые характеристики для условно устойчивой системы, для случая колебательной границы устойчивости и случая неустойчивой ,Р \ / Рис. 6Л9. Рис. 6.18. системы будут похожими на изображенные на рис. 6.16, б, в и г кривые, за тем исключепЬем, что при е) -+- 0 характеристика будет уходить в бесконечность в соответствии с нижней ветвью характеристики, изображенной на рис. 6.18. Аналогичными рассуждениями можно показать, что для системы с астатизмом второго порядка, имеющей передаточную функцию вида д/( ~ Ас (1+оп-)Р+,, + ВСР)~ Рз (1 + с„гР+... + ссР =в) ' при обходе двойного нулевого корня в начале координат (см.
рис. 6.17) передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена вектором бесконечно большой длины, поворачивающимся по часовой стрелке на угол 2я. На рис. 6.19 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка. Так же как и ранее, здесь мо)кпо получить условную устойчивость (рис. 6.19), колебательную границу устойчивости, если характеристика пройдет через точку ( — 1, 10), и неустойчивость, если характеристик» будет охватывать точку ( — 1, )О).
Обобщая проведенные рассуждения, получаем, что для определения устойчивости системы с астатизмом любого порядка достаточно построить только одну ветвь амплитудно-фазовой характеристики, соответствующую кгиткРви устойчивости бл з положительным частотам, которая должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса.
При этом для устойчивой в замкнутом состоянии системы зта ветвь вместе с частью окружности, ааключениой между поло~кительной полуосью вещественных и амплитудно-фазовой характеристикой, соответствующей положительным частотам, не должна охватывать точку ( — 1, )О) в соответствии с рис. 6.20, Из рис. 6.20 следует, что абсолютная устойчивость может быть получена при степени астатизма г 2. При большей степени астатизма может быть получена только условная устойчивость. Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной функции разомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит Рвс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
