Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

6.2, а). 3. Чисто мнимые корни. В этом случае р, =. + 1() и рз =- — ф. Слагаемое, определяемое этими корнями в (6.10), будет представлять собой незатухающие колебания, т. е. колебания с постоянной амплитудой: С>е>З>+ С>а->В> = А а>п (рГ+ ф). Такой процесс изобрая'ен на рис. 6.2, г.

Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если >хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т. е. Система окажется неустойчивой. Корни характеристического уравнения можяо представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис.

6.3). Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, аа которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом Область устойчивости. Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую.

Границей перехода будет так называемая эра»и>1а устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: 1) пулевого корня; 2) пары чисто мнимых корней; 3) бесконечного корня. Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, т.

е. выполняется условие рь — — О. Это означает, что в характеристическом уравнении (6.9) будет отсутствовать свободный члеп а„— — О. Дифференциальное уравнение (6.5) В этом случае может быть записано в виде (аор" ' + а,р"-' +... + а„>) ру (1) =- (Ьар + ° . ° + (>я) й (>) и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее скорости изменения ру. Величина же отклонения регули- 136 кгиткгии устойчивости <гл « руемой величины мон<ет принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины.

На граница устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 6.2, г). Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости з правую, проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое Сае»< в выражении (6 10) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу.

Это будет при а, == О. Граница устойчивости третьего типа встречается сравнительно редко, и в дальнейшем будут рассматриваться практически только первый и второй типы границы устойчивости. Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеарпзации реальных характеристик и уравнений. При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми. Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова.

1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы. 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с полон<ительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, т. е.

малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой. 3. 11ри наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда дан<е качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Опираясь в своих линейных расчетах на ати теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, т.

е. в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая СВ мало отличается от прямой С<О (см. рис. 3.2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Во-вторых, все это относится только к описанному выше способу линсаризации уравнений — разлоя<ению нолинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу л инва ризации. К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к нелинейностял< релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы.

Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, «вторая метода» Ляпунова, которые будут изложены ниже, в главе 17. Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются критериями устой шеости. 139 КРитВРий устончиВОсти ГРРВицА % зл] Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, т. е. в этом случае выполнить указанное выше требование. Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (6.9) в виде произведения аэ (р — рс) (р — рз)...

(р — р„) = О, где р„..., р„— корни характеристического уравнения. При этом будем считать, что а, ) О. Зто всегда можно выполнить умнолсением уравнения на пикус единицу. В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т. е. рс —: — ас, рз = — аз и т. д. При этом получим пз (р + ас) (р аэ) ° ° ° (р + а„) = О. Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (6.9), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая положительные величины а, )О, аз )О и т.

д., нельзя получить отрицательных величин. Прн наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например р, з =- — а ~ 1(1, результат не изменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь внд (р + а — 1()) (р + а + 1()) =- (р + а)' + ()з, Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положителысости Всех коэффициентов характеристического уравнения. Пмея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения. 5 6.2. Критерий устойчивости Гурвнца Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Зта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью. Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения аадачи, использование его в практике является неудобным.

Характеристики

Список файлов книги