Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Многомерный объект описывается системой уравнений, которую удобно представлять в матричной форме. Введем одностолбцовую т-мерную матрицу регулируемых величин 120 СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСтвы РЕГУЛИРОВАНИЯ [лл. Ь Если регулируемые величины имеют разную физическую раэмерность, то переход от матрицы-столбца к вектору в принципе может быль сделан и в этом случае, если ввести в матрицу-столбец весовые коэффициенты, уравнивающие размерности отдельных составляющих. Однако такой переход не является единственным, а имеет бесчисленное количество вариантов.

Аналогичным обрааом при равенстве физических раэмерностей отдельньтх составляющих матриц-столбцов управляющих величин и возмущений может быть введен вектор упраелен е и вектор воэмущения. При равных физических раэмерностях отдельных составляющих матриц-столбцов переход к вектору воэможен, но не будет единственным. Лняеариэованные уравнения движения многомерного объекта могут быть записаны в матричном виде; Ч (Р) у (8) = г (Р) и (8) + 8 (Р) 7' (8).

(5.67) Здесь введена квадратная матрица операторных коэффициентов Ч (Р) Ч[8 (Р) ° ° ° Ч (Р) Чм (Р) Чм (Р) ° ° ° Члт (Р) Ч (Р) = !! Ч[ (Р) ~1 (5.68) Чт! (Р) Чтл (Р) ° ° ° Чтт (Р) ! и прямоугольные матрицы операторных коэффициентов (Р) ( ) (Р) !'и г8! (Р) гы(Р) ы (Р) ' !" (Р) = ~~ Г[! (Р) [[тка= (5.69) гт! (Р) г з(Р) гть (Р) 8Н (Р) 8а (Р) ° ° ° 8[! (Р) эм(, ) 8 (Р) ... 88[(Р) 8 (Р) — !! 8[! (Р) И !— (5.70) эт[(Р) этэ(Р) ° ° ° эт!(Р) ~! Если в выражениях (5.64) — (5.70) перейти к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, то матричное уравнение (5.67) может быть записано для изображений в следующем виде: [Ул(Р)=![РУ[[[[тла= )0(Р)( (Р) а Я(Р) (5.73) [',! 0') г (Р) = 8[ (Р) с! (Р) + О (Р) Р (Р). (5.71).

Здесь г (р), 0' (р) и Г (Р) — матрицы-столбцы изображений регулируемых величин, управляющих величин и воэмущений. В уравнение (5.71) входят также квадратная матрица Ч (Р) = ~~ Ч;! (Р) [[т„т и прямоугольные матрицы 8[ (Р) = [[ гя (Р) [!т„А и Я (Р) = = И 8Е (Р) И .[- Если матрица 0 (Р) неособая, т. е. определитель ! Д (Р) 1 Ф. О, то, умножив левую и правую части (5.71) слева на обратную матрицу [,!ы (Р), получим 1' (Р) = И'о 0) (7 0) + %[ (Р) Р (Р).

(5.72) Здесь введены матрицы передаточных функций объекта для управляющих величин мнОГОмеРные системы Регулиговгния и для возмущений %г (Р) =% И'11 (Р) !! 1= ~ О ( ) ~ 3 (Р) О(Р) (5.74) В (5.74) символом 1',1 (Р) = Е (1;1(Р) ~~ „ обозначена матрица, присоединенная для матрицы Ч (Р), а Ч21(Р) — алгебраическое дополнение определи° ° ~Е(Р) ~. Формулы (5.72) — (5.74) позволяют получить связь между регулируемыми величинами и управляющими и возмущающими воздействиями. Так, например, если 2я = 3, 12 =- 2 и 7 = О, то мз (5.72) и (5.73) можно получить для изображений ~1(Р) = И 11(Р) ~'2(Р)+ И 12 (Р) ~'2 (Р) 1 2 (Р) = И 21 (Р) г21 (Р) + И зг (Р) (~2 (Р) (5.75) Уг(Р) =И'21(Р) 211(Р)+И2зг(Р) 212(Р). Если в матрвце передаточных функций объекта (5.73) или (5.74) для каждого элемента матрицы (частной передаточной функции) найти обратное преобразование Лапласа (оригинал), то будет получена так называемая матрица Коши (матрица весовых функций).

Запишем ее, например, для управляющих воздействий: ю1! ( ) э'12 (О ' э'1» (~) в221 (г) э'22 ( ) ' ' ' э'2» (2) . 1~ Э1 Ц1(1) иг 2(2) Эг»(1) ) (5.76) и20 (1) = Если в момент времени 2' = О на все входы поступают управляющие воздействия и1 (Г), где ~ = 1, 2, ..., я, то изменение у-й регулируемой величины может быть записано посредством интеграла Дюамеля — Карсона (4.9) на основании принципа суперпозиции: у1(с) = Я ~ и1 (т) э271 (1 — т) гхт. 1=1 Ъ На рис. 5ЛЗ изображена условная структурная схема замкнутой многомерной системы регулирования.

На схеме все указанные символы соответствуют матрицам: д (г) — задающих воздействий, у (2) — регулируемых величин, х (2) — ошибок для каждой регулируемой величины, и (2) — управляющих воздействий, 1 (г) — возмущений, И', (Р) — передаточных функций для управлений, И21 (р) — передаточных функций для возмущений. Кроме того, введена прямоугольная матрица передаточных функций регулирующего устройства И'Рг, (Р) = Й Й~1 (р) ~~»„, которая определяет используемые законы регулирования. Она дает связь между изображениями управляющих величин и ошибок: "11 (Р) й12 (Р) ° ° Я1ш (Р) ~ ' Л1 (Р) йм (Р) йгг(Р) ° ° 122т(Р) ' 2(Р) й»1 (Р) й»2(Р) ... й»„(Р), Х„(Р) 1'1 (Р) 5'2 (Р) ~(Р)= ~~» (Р) Уравнения многомерной системы (рис.

5 23) могут быть получены действиями, аналогичными одномерному случаю (з 5.2). 122 сОстАВление исхОдных уРАВнении систем РегулиРОВАния игл. з Матрица передаточных функций разомкнутой по всем каналам системы И~ (Р) — И"„, (Р) )Р, (Р). (5.78) Характеристическая матрипа системы представляет собой квадратную матрицу размером т х ьм 4~(Р) =--7+И'(Р) =НА;(Р)!1, . (5.79) Здесь 7 — единичная матрица размером В< Х э<, т, е. квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальиые— нулю. Характеристическое уравнение системы получается приравниванием нулю определителя характеристической матрицы: ! 1) (Р) ! — -- ! 7 + И'( ) ! = О. (5.80) Заметим, что в случае, ко~да многомерная система представляет совокупность э< независимых одномерных систем, характеристическая матрица Рас. ВНЗ.

(5.82) ~! х<(р) ~', ( Хз(Р) ', =' Ф (р) <'(р) Фг (Р) г (Р). х (р) = ) ~Х (э) (5.84) будет диагональной и Определитель системы тогда равен лроизведени<о частных определителей каждой из систем, т. е. ! Й (Р) ! = — ! Й< (Р) ! Х ° ° ° ... х ! Х>„< (р) 1. В этом случае общее характеристическое уравнение распадается на т независимых характеристических уравнений ! П< (Р) ! = О, < = 1, 2,... В<. Матрицы передаточных функций замкнутой системы, замкнутой системы по ошибке и замкнутой системы по возмущениям при условии, что матрица .О (р) неособая, что означает независимость исходных дифференциальных уравнений, могут быть определены из выраэкений Ф (Р) = А) '(Р) РУ (Р) = !,1(Р)! РУ (Р) (5.81) ~в( О (Р) Ф<(Р) — А< (Р) И'<(Р) — ~д( ~ <тт(Р).

(5.83) Здесь Л (Р) = Ц Рг< (р) (/', — матрица, присоединенная для матрицы Р (р), а Рт< (р) — алгебраическое дополнение определителя ~ П (Р) /. Получеяные выражения для матриц передаточных функций замкнутой системы позволяют использовать формулы, аналогичные формулам з 5.2, но записанные уже для матриц-столбцов ошибок и регулируемых величин. Так, например, для матрицы изображений ошибок имеем 123 МНОГОМНРНЫВ СНСТВМЫ РБГУЛИРОВйння На рис. 5.14 изображены для иллюстрации некоторые структурные схемы двумерных систем регулирования. Схема на рис.

5.14, а соответствует так нааываемому сепаратному регулированию объекта с двумя входами н двумя выходами. Матрица передаточных функций регулирующего устройства в этом случае получается диагональной. Матрицу изображений управлягощнх величин для этого случая можно представить в видо 6', (Р) !йп (Р) О Х, (.Р) С (р) = УУР . (Р) Х (Р) = ~ О й ( ) 1 Х 1 Х, (р) . (5 85) Схемы на рис. 5.14, б и е соответствуют комбинированному регулированию.

В этом случае (Р) (Р) сг (Р) г (Р) ~ Сг(Р) 1 "гг(Р) ьгг(Р)~ Хг(Р) ~ (5.86) Исходные дифференциальные уравнения многомерной системы регулирования могут быть также представлены в форме Коши в матричной записи: уг У вЂ” = Ах+ Ви+ Е(, (5,87) у =Сх, и=Рх. где 1 — единичная матрица и х и, Векторная запись исходных уравнений. Введем в рассмотрение п-мерное векторное пространство состояния, которое определяется базисом (набором векторов) е = у е,ег... е„ц так, что с матрицей-столбцом уг В этих выражениях х = ~(х; ~('гкп— матрица-столбец фааовых координат системы, п — порядок дифференциаль- у, уг ного уравнения, у,= ~~ у; ~~г„— матрица-столбец регулируемых величин, и = 5 иг 'Э",„г — матрица-столбец управ- а, лЯюЩих величин, 7' = )! 7'; ((,'„г — ма- У, р1 + У~ трица-столбец возмущающих и задающих воздействий, А = 5 ал ~(„„„— квадратная матрица коэффициентов, В == у, РУ се = (! Ья !)п.ю С = )~ с~4рп.п~ Р = ~~ г(п ~(г.п аг и Е = ~! еп ((„„г — прямоугольные матрицы коэффициентов.

сяс. 5А4. Величины хг (г = 1, 2,..., и) представляют собой некоторые абстрактные величины, задание которых полностью определяет текущее состояние , системы. Эти величины называются фазовыми координатами системы. Состояние системы может быть также отождествлено с положением изображающей точки в п-мерном пространстве, которое носит название пространства состояния. При переходе к иаображениям и совместном решении система уравнений может быть приведена, например, к виду (5.84). Характеристическое уравнение, соответствующее системе (5.87), имеет вид !Ур — А — ВР ! =О, (5.88) Т24 СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ 1го.

Характеристики

Список файлов книги