Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ь фазоВых ЕООРдинат х = з хатха... хо 'з может быть отождествлен вектоР СОСТОЯНИЯ х =- е~х~ + езхз +... +е„х„. (5.89) Длины векторов базиса ~ е; ~ (~ =- 4,..., и) играют роль весовых коэффициентов в переходо от матрицы-столбца фазовых координат к вектору состояния. Заметим, что в общем случае, когда рассматриваются абсолют ные, а не относительные значения фазовых координат, их физические размерности не совпадают н длины векторов базиса не могут считаться единичными. Аналогичным образом моясет быть введено векторное пространство управления„ возмущения и выходных величин. При введении векторов х, и, г' и у исходные уравнения системы могут быть ааписаны в векторной формо: — =. Ах+ Ви+ Е/, у=Сх, и =Вх. (5.90) Фазовыо координаты, а также составляющие управления, возмущения и выходных координат могут быть получены как проекции соответствующих векторов на оси, определяющие выбранные векторные пространства.
При использовании относительных (безразмерных) величин в качестве базиса может приниматься совокупность ортогональных векторов единичной длины, т. е. обычное п-мерное евклидово пространство. й 5.6, Управляемость и наблюдаемость Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов: А = ЛАЛ ', В = ЛВ С == СЛ ', В .= ВЛ ' и Е = ЛЕ. Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования х = Лх приводит к эквивалентным системам различной структуры. Рассмотрим и-мерное пространство состояпин Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки„ определяемое значениями фазовых координат х| (~ =- $,..., и).
Пусть в пространстве состояния Х заданы два множества Г, с:. Х и Гз с:. Х. Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое УпРавление и (г) = 9 игиз... ЕА ~~', опРеДеленное на конечном интеР- вале времени О ~~ Е ( Г, которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти Г~ в подобласть Г,. Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояния Х в начало координат.
Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле. От пространства состояния Х перейдем к другому пространству Х посредством неособого преобразования х = Лх, причем ) Л ~ ~ О, где Л— матрица коэффициентов и х и. Тогда вместо (5.87) будем иметь ех — = Ах+ Ли+ Ы, Й у =- С х, (5.91) и== Бх. 125 упРАВляемость и НАБлюдАемость При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величии не входит в некоторые дифференциальные уравнения (5.91) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у.
В первом случае система будет не полностью управляемой, а во втором — не полностью наблюдаемой. В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения (5,87) могут быть представлены в виде ееь — *,, =Апх'+Лмх +Ви, ехе — = Азехт ,й (5.92) у=Сх, и= Вх. Это иллюстрирует рис. 5А5. Набор фазовых координат х' соответствует управляемой части фазовых координат, а набор х' — неуправляемой части. !и х,' а) е ххм ь ! хе ) Рис.
5.16. Рис. 5.15. Р. Калманом (50) был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность т управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений (5.91), совпадает с рангом матрицы (Т=))В, ЛВ, (А)'В (А)" 'В))ьхь . (5.93) При у = и система полностью управляема, при О ( т ( п не полностью управляема и при т = О полностью неуправляема. На рис.
5А6, а изображен простейший пример. Если рассматривать выходную величину у (1) при ненулевых начальных условиях, то можно записать у (1) = уе (1) + С,е " + Сте ~1-'- Сае ", где а =- Т,', Ь = Т,' и с =- Т,', С„С, и Сз определяются начальными условиями до приложения входного сигнала и, (1), а у„(1) — вынужденная составляющая. Система устойчива при а )О, Ь )О и с О. если начальные условия до приложения и, (1) были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции (1+Т1р) (1-~-Тьр) (1 '-Тзр) (1 РТьр)(1+Тьр) ' В этом случае по интегралу Дюамеля — Карсона у (1) = ) и, (т) и, (1 — т) Ыт — — -уь(1)+Сее м+Сее ". (5.96) о 126 состлвлвник исходных тглвнкний систвм гкгтлнговлния 1хх.
з Как следует иа выражений (5.95) и (5.96), система во втором случае описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при а - О. Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, что и = 3, а т = 2. При введении второй составляющей управления иг (1) система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточных функций по управлению 1 (Р) = 5 хзз (Р) Иг (Р)!1= )~ (1 у Г) (1+у ) 1+у ( ) В случае ке полиостью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде ахз — = А„х'+ В,и, <Й вЂ” „= А„х'+ Аггхз+ Вги, (5.97) у = С,х', и=- В х'.
1 Гис. 5.17 ххг — =Апх +А„х +А„х +Амх + В и, з 4 аз Ихг —:= Аггхг+ Агзхз+ Вги, — з = Аззх + Аззх ж Ыхз — =. А х', ез у =- Сгх'+ С,х', и =.,0 хз + В хз. (5.99) Эти уравнения отличаются от (5.87) тем, что фазовые координаты группы х' не входят ни в выражения для у и и, нн в первое уравнение, куда входят только фазовые координаты группы х'. Группа фазовых координат хз относится к ненаблюдаемым. Это иллюстрирует Г 1 рнс. 5.17.
з хг Р. Калманом (50] показано, что порядок первой группы уравнений и совпадает с рангом (1) матрицы У Т'=~/С' А С (А )'С' . (А )" 'С Цххиаа. (5 98) У При т =- и система полностью наблюдаема, хо з прн О -' т ~ и — не полностью наблюдаема и при и — — О полностью ненаблюдаема. На рис. 5.16, б изображен простейюий пример. Для него легко показать, что в формировании выход» участвуют только две фазовые координаты. иа трех. В общем случае система может содержать четыре группы фааовых координат: управляемую, но ненаблюдаемую часть х', управляемую и наблюдаемую часть х', неуправляемую и ненаблюдаемую часть хз и неуправляемую„ но наблюдаемую часть х'.
Исходные уравнения системы (5.87) в этом случае можно для самого общего случая записать следующим образом: уэьвнения следящей системы Левая часть характеристического уравнения (5.88) системы в атом случае содержит четыре сомножителя: '114 В1П4 — л — вп ЛЗ1 гр — А„ †.=~гР— Л„~.~гР вЂ Л В,П,~.~гР Л„) )гр Л„~ =О.
гр — Ам — А1г — В1Пг о гр — л,„-в,вг О О О О ~ гр — А — ВР ) =- (5ЛОО) Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть аатруднена наличием помех.
Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть непосредственно намерены датчиками различных типов. й о.7. Уравнения следящей сястемы Рассмотрим следящую систему, принципиальная схема которой изображена на рис. 5Л8. Задающим устройством является командная ось г(О, вращаемая извне по пронзвольному закону 61 = 61 (~). Этот угол должен повторяться на управляемом объекте УО, ось которого является исполнительной осью ггО. Мощность, требуемая для вращения командной оси, Рас. 588. ничтожна, так как с командной осью сцеплен только движок потенциометра П1.
Мощность, которую может потреблять для своего вращения управляемый объект, аначительно выше и обеспечивается установкой двигателя Д' соответствующей номинальной мощности. В этом, а также в дистанционности управления заключается смысл использования подобной следящей системы воспроизведения угла поворота. Сравнение углов поворота командной и исполнительной осей осуществляется при помощи двух потенцнометров П1 и П,. Коли углы поворота командной н исполнительной осей не равны, 61 ~ Фг, то возникает напряжение рассогласования и, которое поступает на вход первого электронного усилителя. Далее усиленный сигнал после прохождения через два электронных усилителя подводится к обмотке возбуждения генератора ОВГ, привод которого не показан па схеме.
Якорь генератора Г соединен с якорем двигателя Д, обмотка которого (ОВД) подключена к постоянному напряжению. В результате при появлении рассогласования б = 01 — бх двигатель начи- нает вращаться в сторону уменьшения ошибки до согласования двух осей. Задающим воздействием здесь является угол поворота 0~(г). В качестве возмущающего воздействия рассмотрим момент нагруаки М (г) на оси управ- ляемого объекта. Для улучшения динамических качеств следящей системы в ней пре- дусмотрена отрицательная обратная связь по напряжению тахогенерато- ра (ТГ).
Будем считать, что все звенья системы линейны, за исключением электро- машинного усилители (генератора), у которого злектродвижущая сила е связана с током возбуждения 1, нелинейной кривой намагничивания генера- тора. Однако и здесь при сравнительно небольших напрялхениях якоря (примерно до половины номинального) можно зависимость между е и ю', считать также линейной. Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость липеарнзации и можно сразу приступить к составлению уравнений.
Для этой цели разобьем систему на динамические звенья и найдем их передаточные функции, Чувствительный элемент. Напряженно на выходе первого потенциометра в будет и, == к,б, и ка выходе второго ив = — й~бв, где к, ( — 1 — крутизна, рад ! или коэффициент передачи потепциометра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
