Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Регулируемая величина может быть найдена из выражения у (г) =- 1у, (р) и (2) + И', (р) 1 (т), (5.8) где И'р (р) — передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, И'1 (р) — передаточная функция регулируемого объекта по возл»ущающему воздействию 7 Й). Ка»» и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или ва систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие г (2). Прн наличии неснольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет пРосУммиРовать члены виДа И'„(Р) 1а (2), гДе Г„(1) и И'к (р) — возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению. Подставляя (5.7) в (5.8), получаем у (л) — (Р) (») + лт» (р)» () (~ 9) Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы И (р) -- И „(р) И „,(р) =- — ", (О.10) где В (р) и»1 (р) представляют собой некото- Рис.
5.1. рые полиномы от р. Нередаточну»о функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущалощих воздействиях, равных нулю: И (р) =- — "", Х (р) ' (5.1 1) где р = с + рм — комплексная величина. Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) — (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину у (1) с ошибкой я (») в разомкнутой системе: у (т) =- И' (р) (1), (5.12) где р = — — алгебраизированный оператор дифференцирования.
»2» Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде с (р) у (2) = 17 (р) (г) (5.13) Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции. Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом.
При этом можно записать так называемое уравнение замыкания: я (т) = а (2) — у (С). (5.14) Решая (5.9) и (5 14) совместно, получаем для регулируемой величины (5.15) 106 состлвлкпис исходных кглвнкнии скотам гкгглнговлнпя [т. 5 н для ошибки (5.16) Выражение Ф р =-.- ) с-)» (р) Я(р)-, 0(р) (5.17) называется передаточной фунщией замкнутой системы или глаеныл» опера- тором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регу- лируемой величиной и задающим воздействием прн равенстве нулю возму- щающих воздействий: (5.18) Выражение Ф (р) =--, у (р) (5.21) а передаточную функцию по ошибке — как отношение изображений ошибки Х (р) и управляющего воздействия 6 (р): Ф,(р) = —, х (р) й(р)' (5.
22) также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений. Из формул (5.15) и (5Л6) видно, что введение автоматического регулирования «уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в (1 + И' (р)) раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует. Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р.
В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), а также (5.5) и (5.15) видно, что полиномы г( (р) и ~) (р) в выражении (5.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе. Полипом (5.23) называется характеристическим. Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое ураенение системы: П(р) В(р)+О(р) (5.24) 0 (р) Ф" (Р) = 1 Ф (Р) '= ( 5 и (р) = н (р) ( о (р) (5. И) называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке.
Оно дает связь между ошнокой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий: х(г) -. Фл(Р) з П) =( (5.20) Как и ранее, формулы (5.15), (5Л6), (5ЛЗ) и (5,20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изобра»кений регулируемой величины У (р) и управляющего воздействия С (р) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений: 107 ссм ЗЛКОНЫ РКГРЛИРОВЛНИЯ Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15) или (5,16): 1+ И (р) =0, (5.25) так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю.
Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение длн ошибки и регулируемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы. Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звопьев (см.
ниже, т 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями: по передаточной функции замкнутой системы (5.17) ш (г) (Р) 1 — сп(Р) ' по передаточной функции для ошибки (5.19) Ис ( срх (Р), шк (Р) по дифференциальному уравкеннкс для ошибки (5.2) или по дифференциальному уравненнк1 для регулируемой величины (5.5) И'(р) —. ~") 0") =''(Р) — 1=- (5.28> Е (Р) = 0 (Р) (Р)- и (Р) ' (5.27) й 5.3. Законы регулирования Под закаколс регулироваяия или — в более общем случае — законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействие и (с). Зта зависимость может быть представлена в виде иИ==Р(х б 7) (5.29) где г — некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающего воздействия д и возмупьасощего воздействия 7, а также от их проиаводных и интегралов по времойи.
Формула (5.29) обычно может быть записана следующим образом: и (с) = Рс (х) + кз (з) + Ес (7). (5.30) Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (прннцип Ползунова — Уатта), второе и третье — регулированию по внешнему воздействию (принцип Понселе). Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее устройство вырабатывает величину и (() в функции ошибки в соответствии с линейной формой и(с)=)с,х+)с„.~ хсзр(+)с, ~ ~ хссс'+...
+ксх+/ссх+... (5.31) или в операторной записи п(С) =)с,х+ — 'х+ — 'х+... +Сссрх+ссс,~ах+... (5.32) Регулировавие по внешнему воздействию будет рассмотрено в з 9.2. 108 состав!!Ен!ук исхОдных уРАВненни систем !'ГгулиРОВАнпя нп ь Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившомся состоянии между регулируемой величиной и управляющим воадействием существует пропорциональная аависимость, вытекающая из (5.8) при равенстве нулю возмущающих воздействий: руат = )Сеиуст где 1ео --- И', (О) — коэффициент передачи объекта. 1. Пропорциональное регулирование. В случао пропорционального регулирования выражение (5,7) длн простейшей безынерционной цепи регулирования (см.
рис. 5.1) приобретает вид и (~) .=- И'Р,„(Р) х (!) ==: й!х (!). (5.33) Передаточная функция И'р„, (р) может иметь более сложный вид, например: И рте(Р) -- к! и(, .4 (р) где Л (р) и В (р) — некоторые нолиномы от оператора р. Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулирования представляет собой позиционное (статическое) звено и при р — ~- 0 передаточная функция И"р„„(Р)-~ й„где й! — коэффициент передачи цепи регулирования ').
В связи с изложенным здесь и далее ради облегчения анализа рассматривается упрощенное выражение (5.33), которое является справедливым, по крайней мере, для медленных изменений величины х. Передаточная функция разомкнутой системы И' (Р) =-' И ! г (Р) И о (Р) = ус! И о (Р) В установившемся состоянии передаточная функция стремится к значению )пп И' (Р) --- ) !)са =- К. (5.34) Р а Эта величина называетсн общим коэффициентом усиления разомкнутой системы.
Коэффициент усиления является безразмерной величиной, так же как и передаточная функция разомкнутой системы. Это вытекает нз соотношения (5.11). Коэффициент усиления разомкнутой цепи (рис. 5.1) физически представляет собой отношение установившегося значения регулируемой величины к постоянному значению ошибки х .— "- ха, если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом рассматривать как некоторый усилитель, на входе которого действует сигнал в виде ошибки х, а на выходе — усиленный сигнал у. Таким образом, для коэффициента усиления мои!но записать Ууст К=— ха Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающем воздействии д= Ка из формулы (5.16) моясет быть получено следующее соотношение: х, = — +— Уа хг Уст !+К !+К (5.35) где х „— установившаяся (статическая) ошибка, ху „„вЂ” установившееся значение ошибки от возмущающих воздействий в объекте без регулирования.
') Заметим, что режим р О соответствует установившемуся режиму, так как приравнивание оператора дифференцирования нулю овначает приравнивание нулю всех производных. 109 $5. 3) ЗАКОНЫ РВГУЛИРОВАНПЯ Таким образом, пропорциональное регулирование позволяет уменьшить установившиеся ошибки в объекте в 1 + К раа. Регулирование в атом случае получается статическим, так как при любом конечном значении коэффициента усиления цепи установившаяся ошибка будет отличной от нуля. Передаточная фупьцня разомкнутой системы (5.10) для этого случая может быть представлена в виде гг (1+нт-~Р+ ° ° ° А норм) (5 30) (-РС„,Р+...
+С,Р к (Р) 5„.~- ь,р+....(. 5ор~ 0 (Р) ее+ее-ор+ т горе где К=.—. Ьм ее 2. Интегральное регулирование. При интегральном регулировании осуществляется пропорциональная зависимость между скоростью изменения регулирующего воздействия и ошибкой: — = Ьх; (5.37) при этом регулирующее воздействие получается пропорциональным интегралу от ошибки по времеви: и =- )гз ~ х пг. (5. 38) В операторной форме зто можно записать в виде н — И' рег (Р) х Р (5.39) Интегральное регулирование может быть осуществлено при помощи каких-либо интегрирующих звеньев, которые были рассмотрены в главе 4.
Аналогично изложенному выше (при рассмотрении пропорционального регулирования) передаточная функция цепи регулирования может иметь более сложный вид, например: ье А (р) И рег (р)— р в(р) ' Однако существенным вдесь является то, что цепь регулирования представляет собой или имеет в своем составе интегрирующее звено. Поэтому выражение (5.39) будет справедливым по крайней мере для медленных изменений ошибки х. Передаточная функция разомкнутой системы регулированн(г )У(р)=И„„(р)И.(р)= — '- УУ.(р). (5.40) В установившемся состоянии (р = О) передаточная функция стремится к бесконечности: И'(р) - оо. В результате первая составляющая ошибки (5.16) при д == йо =- сопз( обращается в нуль.
Вторая составляющая, определяемая наличием возмугцающнх воздействий, может не обращаться з нуль, так как в установившемся состоянии числитель ее может также стремиться к бесконечности. Поэтому должен быть найден предел выражения при /:: — Ро = совам )5 Г (Р)! о хт,о — -- )пп (5.41) который может быть как равным нулю, так н отличным от нуля. Таким образом, при интегральном регулировании получается система, астатическая по отношению к задающему воздействию.
Она может быть при этом как статической, так и астатической по отношению к возмущающим воздействиям. 110 состАвление исхОдных урАВнеиий систнм регуги[РОВАе!ия [та. ь Передаточная функция разомкнутой системы для случая интегрального регулирования может быть представлена в ниде ту Кс (1'~ Р[т-[Р [ ° ° ° [ сторсй р (1 . С„ .р - ... †, — Сор" ') ' (5.42) Г11 где К„~~ — 1 — коэффициент усиления разомкнутой системы. Физически - ~ ссз1 он представляет собой отношение установившейся скорости изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибке х =.- хо =- сопз[ е разомкнутой системе (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
