Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 30
Текст из файла (страница 30)
"г На рис. 6.1, б изображен другой случай, Аг А, ~г когда положение шара оказывается неустой1 ! чивым. Рис. 6.1, в соответствует случаю без- а) различного положения равновесия. Можно ввести понятия о невозмущен~ом состоянии равновесия, соответствующем точке Аз на рис. 6.1, а, и возмущенном состоянии равновесия (точка А,). После прекращения действия внешних сил шар возвратится в точку А, или А,. Условие устойчивости здесь можно сформулировать так: система называется устойчивой, если из ! возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, Рис. 6А. окружающую невозмущенное состояние равновесия.
Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами х, (г), х, (г), ..., х„(1). Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат: хм (г), хг„(г),..., х„з (Е). Аналогично случа|о равновесия положения заданное движение можно назвать яевогмуи1еняым 'движением.
Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного: х1 (г) ~ хю (г), хг (г) ~~ хгз (г) и т. д. Это двихгенне будет возмущенным. Заданное певозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних снл, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область: ~ х~ (г)— — хм (г) ~ ~ е~ (1 = 1, 2,..., я).
Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Пусть система регулирования описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в 101 !и!. о К1'ИТВРНН УСТОЙЧИВОСТИ форме Коши — ' —,' =-Р1(х„..., х„) (1 =1, 2, ..., и). (6.1) Если пРи Г = 1о заДаны начальные значениЯ х;о (! = 1, 2,..., и), то решение может быть представлено в виде хг = х! (х,о, ..., х„о), где 1=-1,2,...,п. Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами х'„ х",, ..., х"„. Введем также отклонения координат Лх; = хг — т! (1 = 1,..., и), характеризующие отклонения процесса от установившегося.
Систему уравнений (6.1) перепишем для отклонений: здт ' =-)! (Лх„Лх,„..., Лх„), где ~! — некоторые нелинейные функции. Эти уравнения называются уравнениями возмущенного движения. Их тривиальные ре1оения Лх',:.--- 0 соответствуют невозмущенному движению, так как при этом хг = х',. Начальные значения отклонений Лх,о носят название возмущений.
Решение системы (6.2) для некоторых начальных отклонений Лх; = = Лх; (Лх1о,..., Лх„о, 1) представляет собой возмущенное движение. Л. М. Ляпунов [82) дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение (при Лх,' =-. О) называется устойчивым по отношению к переменным хк если при всяком заданном положительном числе А', как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число й' (А') пгак, что для всех возмущений Лхго, удовлетворяющих условию ~1 )11Лхм <Хо, 1-О (6.3) возмущенное оеижение (6.2) будет для времени г> Т удовлетворять неравенству ~~ р!Лх! (Ао.
(6 А) 1=О Здесь ра — некоторые весовые коэффициенты, необходимые для уравнивания физических размерностей величин Лхг. Геометрическая интерпретация этого условии заключается в следующем. В пространстве координат ргЛх1 построим две сферы с радиусами й и А. Система будет устойчивой, если при возмущениях, не выведших изображающую точку ЛХ (Лх1о,..., Лх„о) из пределов сферы Х, возмущенное движение будет таково, что, начиная с некоторого времени т ) Т, изображающая точка Л (Лх„..., Лх„) будет в пределах сферы А.
Если с течением времени изображающая точка стремится к началу координат, т. е. 11шЛх! ==0 (1=-1, 2,..., и), 1 то система асимптотически устойчива. Несколько другое изложение атой теоремы будет дано нин1е в З 16А. Нерейдем теперь к вопросу устойчивости линейных, а точнее, линеаризованных систем регулирования. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины у (О при наличии управляющего воздействия у ф и при равенстве 135 в вл1 ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ нулю возмущающих воздействий: (а„р" + в,р" ~+... + п,,р+ ав) у (В) =-- =(Ь„р +Ь,р '+...+Ь ич+Ь )у(В).
(6.5) наг гп-1г гг ав — „+а,- „, + ..+а„,— +и„у=О. (6.7) Общее решение ищется в виде у, (г) = уев„(г) = Сс". Дифференцируя это выражение и раз и подставляя в (6.7), получаем после сокращения на общий множитель Сев' авб" + а16" ' -г .. + а„,б + а„=- О. (6.8) Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Корни его бы..., б„будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть (6.8) полностью совпадает с левой частью (6.5). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (6.5) нулю: авр" + айэ" т +...
+ а,р + а„= О. (6.9) Коэффициенты ав,..., а„и Ь„..., Ь представляют собой постоянные а величины, а оператор р =— ви Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать и для возмущающего воздействия. В этом случае левая часть (6.5) останется без изменения, а правая часть будет иметь иной вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени 7' (В). Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (6.5).
Поэтому для определения качественной картины переходных процессов является практически безразличным, записать лн исходное дифференциальное уравнение для управляющего илн возмущавощего воздействия. Уравнение (6.5) может с равным успехом быть записано для ошибки регулирования х (О. При этом левая часть уравнения (6.5) полностью сохраняет свой вид.
Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (6.5) с правой частью и общего решения уравнения (6.5) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю: у (в) = учасгн (г) + уовш (В).
(6.6) В случае уч„,„(Г) =- сопев это будет установившееся значение. Первое слагаемое (6.6) называют также вынужденным решением у, (г), а второе слагаемое — переходной составляющей у (г). Тогда формула (6.6) может быть записана в виде у(в) = у,(в) + у,(О. Система будет называться устойчивой, если с течением времени при — оо переходная составляющая будет стремиться к нулю: у„(г) — ь О. Найдем эту составляющую из (6.5). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение без правой части 166 кгиткгпн устоичивости Однако здесь буква р = б означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения. Так как в решении характеристического уравнения содержится и корней, то переходная составляющая может быть записана в виде где ры..., р„— корни характеристического уравнения, С,,..., ф— постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.5). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой. так и правой частямп исходного рис.
еть дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (6.5) и окределяетсн только характерястическим уравнением (6.9).
Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой. Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассгготрим эти случаи. 1. В е щ е с т в е н н ы й к о р е н ь. Пусть один из корней, например рм является вещественным. Если он отрицательныи (р, =- — а~), то слагаемое, определяемое этим корнем в (6.10), будет представлять собой экспоненту С,е ш'. Очевидно, что при г — оо этот член будет затухать. При р, = -'; п, получится пе затухающий, а расходящийся процесс (рис.
6.2, а). 2. К о м п л е к с н ы е к о р н и. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корин, например р~ и рю будут иметь вид р,,з =- -- а -~- )(). В этом случае слагаемые, % ви) ПОНЯТИЕ ОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ 137 определяемые этими корнями в уравнении (6.8), могут быть >тродставлены в виде С>а-1" 1>>>к+ С,е 1" ж>'=: Ле "'а>п (р>-';- >)). где А и >)> — новые постоянные интегрирования. Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня р представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а а — показатель затухания, определяющий затухание огиба>ощей к кривой переходного процесса (рис. 6,2, б). При положительной вещественной части Р>,з =-. + а -+ )Р колебаниЯ бУДУт не затУха>ощими, а расходящимися (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
