Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 33
Текст из файла (страница 33)
6.6. например р„является вещественным и отрицательным, т. е. р, = — аы где а~ ~О. Сомножитель в выражении (6.21), определяемый этим корнем, будет тогда иметь вид (и, + )ю). Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении ю от нуля до бесконечности (рис. 6.6, а). При ю = 0 вещественная часть Х .==- аы а мнимая У =-= О. Этому соответствует точка А, лея ащая на оси вещественных. При ю:гь 0 вектор будет изменяться тан, что его вещественная часть будет по-прежнему равна а, а мнимая часть У: — — ю (точка В на графике). При увеличении частоты до бесконечности конец вектора уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки.
Результирующий угол поворота вектора ф =- + —. 2 ' КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА е 6.31 2. Пусть теперь корень р1 является вещественным и положительным, т. е. р, =- + а„причем а1 е О. Тогда сомножитель в (6.21), определяемый этим корнем, будет иметь вид ( — м1 + )ео). Аналогичные построения (рис. 6.6, б) показывают, что~результирующий угол поворота будет е(11 = = — — — . Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке. 3.
Пусть два корня, например рз и р„представляют собой комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью, т. е. рз,е —— = — а -1- 7р. Сомножнтели в выражении (6.21), определяемые этими корнями, будут иметь вид (а — )р + )ее) (а + у(1 + )а).
При ео =- О начальные положения двух векторов определяются точками Ае н Аз (рнс. 6.7, а). Первый вектор повернут относительно оси вещественных по часовой стрелке на угол у = агс Фд — а, второй вектор — на тот же В Рис. 6.7. угол против часовой стрелки. При увеличении ео от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху з бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых.
РезУльтиРУюдий Угол повоРота пеРвого вектоРа е(1з = — + У. РезУль- 2 тиРУюЩий Угол повоРота втоРого вектоРа е(1о = — — У. ВектоР, соответ- 2 ствую1ций произведению (и — )'р + Рм) (а + Я + 7'ео), повернется на угол Ф~+ер =2 2. 4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т. е. Ре, = + а -1- 7Р. ПРоводЯ постРоениЯ, аналогичные пРеДыДУЩим (рис.
6.7, б), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомнолеителей, будет ф, + е(ее = — 2 2 . Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь 1 корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были ати корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная — 1 — '. Всем же остальным и — 1 корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (и — 1) — .
В результате общий угол поворота вектора А) ()ее) при изменении ю от нуля до бесконечности, согласно формуле (6.22), будет ф --= (~ — 1) —, — 1 — =- — — 1я. (6.23) 10 В, А. Бесекерскиа, Е. П. Покое (кь з КРИТКРШ! УСТОЙЧИВОСТИ Этим выра!пением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова н знаками вещественных частей корней характеристического уравнения.
В 1936 году Л. В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка. Для устойчивости системы и-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор П (1е!), описывающий кривую Михайлова, при изменении !е от пуля до бесконечности имел угол поворота !Р =- и —, 2 ' Эта формулировка непосродственно вытекает из (6.23). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т. е. должно быть ! -= О.
Ото!ода определяется требуемый результирующий угол поворота вектора. Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность Рис. 6.8. Ркс. 6.9. в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения и (рис. 6.8). Число квадрантов, большее чем и, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора () ()!е) оказывается меньшим чем и — (рис.
6.9). 2 Сказанное выше позволяет сформулировать критерий Михайлова в несколько измененном виде. Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно и квадрантов. Поэтому корни уравнений Х (е!) = = 0 и У (!е) = 0 должны чередоваться. Так как кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на оси вещественных (рнс. 6.8), где мнимая часть обращается в пуль: У (!э!) =-- У (0) =- О, то при постепенном увеличении частоты от нуля до бесконечности должна обратиться в нуль сначала вещественная часть: Х (!ем' = О, затем мнимая: У (!ез) = — О, затем опять вещественная: Х (!е!) = 0 и т. д., причем 0 = — !е! ( !ез ( !ез е!! (...
( !е!! По кривой Михайлова можно судить о том, сколько корней с положительными вещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивой системы. Для нахождения искомого числа ! должна использоваться зависимость (6.23). Если известны результирующий угол поворота вектора !(! ( и — и степень характеристического уравнения и, 2 то в уравнении (6.23) неизвестным будет только й При подсчете результирующего угла поворота ф следует иметь в виду, что при четной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконеч- 147 КР11ТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА 1 6.31 ности параллельно оси Х и при нечетной степени — параллельно оси У.
Это видно из выражений (6.18) и (6.19), так как при четной степени наивысп1ая степень с1 будет стоять в выражении Х, а при нечетной — в выражении У. Так, например, для кривой, показанной на рис. 6.9 и соответствующей и =. 3, результирующий угол поворота Отсюда имеем — — = 3 — — 1я в 2 и число корней в правой полуплоскости 1 =- Наличие границы устойчивости всех трех по кривой Михайлова следующим образом. В случае границы устойчивости первого ствует свободный член характеристического Михайлова идет из начала координат (рис. 6.10„а).
При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, т. е. характеристический полинам, обращаетсн в нуль при подстановке Р =- 11еа: 2. типов может быть определено типа (нулевой корень) отсутполинома а„ = 0 и кривая В ()ю~) —. Х (1о~) + (У (о)~) =- О, (6.24) откуда вытекают два равенства: (Р 2г У(100) =О. ,С1 У и .О (р) =- Г Т„р' + (Г„+ Г ) р' + р + Х Это значит, что точна 1о =- 1с, на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис.
6.10, б). Рнс. 630. При этом величина ас есть частота незатухающих колебаний системы. Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, как показано на рнс. 6.10, в. При этом коэффициент а, характеристического полинома (6.16) будет проходить через пулевое значение, меняя знак плюс па минус. Необходимо помнить, что все остальные корпи характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.
Графически зто вырая1ается в том, что в первых двух случаях после малой деформации кривой Михайлова Около начала координат (рис. 6.10), а в третьем случае при малом аа -1 О кривая Михайлова должна удовлетворять критерию устойчивости. Применим критерий Михайлова для определения устойчивости рассмотренной в предыдущем параграфе следящей системы (рис, 6.4). Из полученного характеристического уравнения определяем характеристический полипом 148 КРИТЕРИИ УСТОНЧИВОСТИ [гл. о и характеристический комплекс ту ()[о) = — К + [Оэ — ю (Ту + Тл) — )и ТуТИ.
Вещественная и мнимая части: Х (ю) =. К вЂ” юз (Ту + Тя), У (оз) = ю — юзТУТ, . Примерный вид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 6.11. Найдем условие устойчивости из требования чередования корней О =-. озз ( озз ~ юз. Корень озз находится из уравнения Х (ю) = О: К Отсюда имеем первое условие устойчивости: К О. Корень вз находится из уравнения У(оз) ==О: 1 з'= Рас. 6.11.
вие озз ( озз, получаем Подставляя эти значения в требуемое условторое условие устойчивости системы 1 К( — + —, т, т„ ' которое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица. $ 6А. Построение областей устойчивости. 1Э-разбиение При расчете и проектировании системы автоматического регулирования иногда бывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров ка устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т.
е. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построепие областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров, Ниже будет рассматриваться только построение областей устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
