Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, у[ея<ащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Ксли устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, ленгащих в этой области. Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости.
Для границы устойчивости первого типа это будет равенство а„=- О. Для границы устойчивости третьего типа — равенство ао == О. Для получении условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости. Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ.
П-РАЗБИЕНИЕ 149 з влу устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: Л„, =- О. Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова, Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: В (уа) =- О, т. е. прохождение кривой Михайлова через начало координат. Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулированин А и В входят линейно в характеристический комплекс. Тогда для граяицы устойчивости колебательного типа уравнение АУ (уа, А, В) == О распадается на два уравнения: Х(а, А, В) =О, ( У(а, А, В) ==О. / (6.26) Здесь величина а дает значение чисто мнимого корня, т. е.
частоту гармонических колебаний системы. Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется УУ-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых В-разбиения, соответствующая границе устойчивости. Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых АУ-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства.
Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения а, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (6.26): дх дХ дА дУУ дУ дУ дл дУУ (6.27) Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр  — по осн ординат вверх.
В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 6.4. Для атой системы было получено характеристическое уравнение т,тк р* + (т, +т„)зр + р + К = О. Р (уа) =' К + уа — а' (Т +Та) — уа'Ттт . Уравнения, определяющие границу устойчивости, Х =- К вЂ” а' (Т, + Т„) =- О, у = ., азт,т„= о. Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Тн является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя Т..
Характеристический комплекс кРитеРии устойчивости [»л. 8 Решая их совместно относительно параметров К и Т, получим 1 Т = — „ тмм К вЂ” — —, + ТмО)а. 1 Тм Задаваясь затем различными значениями о1 в пределах от нуля до бесконечности, по этим формулам можно вычислить значения искомых параметров Таблица 6Л Рис. 6.12. и составить табл.
6А, одинаковую для положительных и отрицательных частот. По полученным данным строим кривую В-разбиения (рис. 6А2), Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами К = — при ю = 0 и Т» = 0 тм при ю -+ со. Для нанесения штриховки найдем знак определителя (6 27). Необходимые для этого частные производные будут при А =- К и В =- Т»1 дХ дХ вЂ” =- 1, — = — о1а, дК ' д», дУ ду — =- Π— = — 1о'Т дК ' дТ» Определитель получается равным 1 — 1оа и о137 Π— о1аТ Для отрицательных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от — оо до О, полученный определитель будет положительным.
Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх (от — ао до 0) необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой. Для положительных частот, т. е. Ири изменении частоты в пределах от 0 до + со, полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до + оо) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Снизу полученной кривой получится двойная нгтриховка. Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как параметры К и Т» должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей К и Т».
Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если 151 КРИТКРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА приравнять нулю свободный член, а„= О, что дает условие К = О. Это условие выполняется на осн ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при аь = О, что дает условие Т» = О. Это условие выполняется на оси абсцисс. Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и Тт получена окончательно.
Для лзобых значений К и Ту можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система, смотря по тому, попадает или не попадает точка, определяемая зтими значениями параметров, в область устойчивости. в 6.5. Критерий устойчивости Найквиста В главе 5 было введено понятие передаточной ' функции рааомкнутой системы. Эта функция может быть представлена в вида л<р> ь р.+ьр +...+ь (6.28) О(р) ар"+ р" '+" +ъ причем степень числителя не может быть вылив степени анаменателя, ж(п. При подстановке р=гю получается частотнаа передаточная функиия разомкнутой систелиа Ьр(1ю) = — () =А(а) е"мш=ТТ(ю)+ур(ю).
Оа ) (6.29) Частотная передаточная функция рааомкнутой системы представляет собой комплексное число. На основании рассмотренных в главе 4 частотных характеристик смысл ее можно объясвить следующим образом (рис. 6ЛЗ). Представим себе систему регулирования в разомкнутом состоянии в виде некоторого авена с передаточной функцией И"(р). Если на вход атого звена Ряс. баб. Ряс. б.14. подавать сигнал ошибки в виде гармонических колебаний х == Хм„з1п юь с амплитудой Х,„и частотой ю, то в установившемся режиме на выходе регулируемая величина будет изменяться также по гармоническому закону у = ища, з(п (вь + $) с амплитудой У „„ той х1е частотой ю и фазовым сдвигом ф Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величина А (а) = Хораз а аргумент — сдвиг фаз ф Если изменять частоту входного воздействия от — со до + сю и откладывать ~а комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место зтих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис.
6.14). Ветвь атой характеристики, соответствующая отрицательным частотам, является зеркальным отражением ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси. 152 кгитнгии устойчпвости На амплитудно-фазовой характеристике для удобства могут отмечаться точки, соответствующие определенным частотам, например оь, ем юа и т. д. Вдоль кривой иногда рисуют стрелки, которые нокааывают направление возрастания частоты ю (рис. 6.14).
В реальных системах всегда удовлетворяется условие т ( и. Поэтому при частоте, стремящейся к бесконечности, модуль частотной передаточной функции стремится к нулю и точка с частотой ю — ~ со попадает в начало координат. Сформулируем достаточные и необходимые требования к амплитуднофазовой характеристике разомкнутой системы, при выполнении которых система автоматического регулирования в замкнутом состоянии будет устойчивой.
Ограничим вначале задачу и будем рассматривать только такие передаточные функции (6.28), которые соответствуют статическим системам. Это Рнс. 6.15. значит, что знаменатель (6.28) не будет иметь в качестве множителя опера- тор р. Кроме того, будем пока рассматривать только устойчивые в разомкну- том состоянии системы. Это значит, что полюсы выражения (6.28), т. е. корни уравнения срр" +су" ~+... +с„-,русл =О, (6.36) лежат в левой полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
