Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 40
Текст из файла (страница 40)
размерность | (1), умноженную на время. Если воздействие поступает в виде неединичного импульса, то в зти формулы вместо единицы необходимо подставить заданную величину импульса. Как видно нз (7.14), при воздействии в виде импульса, в отличие от скачка, даже для дифференциального уравнения вида ?) (р) х (2) = Ь ? (г) не будет равенства начальных условий для 1 = + О и С = — О, так как будет скачок в значении (и — 1)-й производной.
Скачок же первой производной х', т. е. перелом кривой, будет уже при т = и — 2, а скачок самой величины х — прит=п — 1. П р и м е р. Найдем реакцию системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях, т. е. функцию веса для дифференциального уравнения, приведенного в предыдущем примере (стр. 233). 176 [ж. 7 постговнив кгивои пкгкходного пгоцвссл Так как в рассматриваемом примере >и =- и — 1, то в соответствии с (7.14) получим х .—.-х + — 1=-0+ —" — — 10 сек-', 7>о ОЗ то"- -о ао ООО З> о 7 ОА х» о =х' о + — ° 1 — — (хоо — х о) =-О+= 1 — — ' ° 10=- — Г>0 сек '. ао ао -»о -о =- .
0 05 ' О ОО ' В соответствии с табл. 7.1 для п=-2 и комплексных корней х = (В соз 27+ С з|п 27) е-о>, где В=х =10 сек ', 7>г»о+к+о 4 70 — 00 10 -о — — сок Окончательно получаем функцию веса ю (7) = х (7) =- 10 (соз 27 — з(п 27) е ". Этот результат можно было получить также непосредственным путем для 7> (7), полученного в предыдущем примере, так как и> (7) = Ь' (7), 5 7.4. Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — Хевиеайда Как известно, периодическая функция времени, подчиняющаяся услови- ям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье: ~ (7) = Ао+ ~~ (Ао з>п йа>7+Во сов 7со>8), о=> 2к где й — порядок гармоники, а ю= —,— основная круговая частота.
7' Этот ряд может быть представлен также з коошлексной форме: +»'» 1()— о=- » где комплексный коэффициент Сд определяется выражением т +-- а Со = — ~ 7" (7) е->в" > а>7. 7 т г Таким образом, периодическая функция времени может быть представле- на в виде совокупности дискретпных гар>канин с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным основной частоте о>.
Непериодическая функция времени может рассматриваться как периоди- ческая с периодом, стремящимся к бесконечности. В этом случае вместо приведенных формул получаются два интегральных уравнения Фурье, связывающих оригинал, т. е. функцию времени 7' (7), и ее частотное изобра- жение Р (уа>), которое называется также преобразованием Фурьж Р()в) = ) 7'(7) е — >ям г(7, +» ~(7)= —, ~ р(рн)е 'д . (7.16) е 7.43 пРеОБРАВОВАния ФРРЬВ; лАплАОА и ИАРсонА — хеВисАйдА 177 В отличие от разложения в ряд Фурье здесь получается разложение в непрерывный спектр частот с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным бесконечно малой величине аш. Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числу несобственных интегралов и моясет применяться для так называемых абсолютно интегрируемых функций времени, т.
е. для функций времени, удовлетворяющих неравенству +60 ! ) (г) ~ аг ( со. Ф От етого недостатка свободно преобразонание Лапласа, связывавицее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями: ° 0 р (г) = ~ ) (г) е ~ сй, о с+гс )(т)= —. ) р(г)е* аг, (7.17) (7.18) вв ~У(г) ~е '!с(й(со Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в регулировании, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, т. е. с = О. Поэтому для этих функций преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье, если произвести подстановку г =- )ш. Уравнения (7.17) и (7.18) часто записывают в сокращенном виде: Р (г) =- ~ У (1)) ( Ф ) Г з ( р ( г ) ) (7.19) Иногда вместо буквы г применяется буква р, т. е. изображение Лапласа записывается в виде г" (р), но в этом случае р представляет собой не оператор дифференцирования, а комплексную величину: р == с + уш ').
В связи с этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны в виде (7.20) ") В дальнейшем изложении при использовании изображений функции времени комплексная величина будет обозначаться буквой р. Однако при атом веобходимо не о' путать зту величину с оператором дифференцирования р =- —, который применяется при использовании функции времени (оригиналов).
12 В. А. Бесекерсвва, И. П. Попов причем функция времени должна быть равна нулю (у (О = О) при г ( О. В отличие от преобразования Фурье здесь изображение функции времеви является функцией не частоты, а некоторой комплексной величины г = = с + )ю. Вещественная часть ее представляет собой так называемую абсцнссу абсолютной сходимости, которая выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство 178 псстго ник кгивои пкгнходного пзоцисса 1гл. т В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используется преобразование Карсона — Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа дополнительным умножением на величину р: СО ф(р) =р ~ 7'(1) е "' о(1, о с+ею ~(г)= — ) — 'А .
ф (г) !2п,) р е †(7.21) (7.22) Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсона — Хеви сайда существует соотношение СО Ю ') ~'(г) е мог — — е з'7(г)~ +р ~ 7(г) е "'оо=рР(р) — 7(0), (7.24) о о где г" (р) — изображение самой функции. Аналогично для второй производной Ь [1" (г)1 -= роР (р) — р1 (О) — 1' (О) и для производной любого порядка Ь (1" Р)) = р:Р (р) — р"-У (0) —... — 1"-' (0). При пулевых начальных условиях 7, У" (1)) =- р"Р (р) (7.25) (7.26) (7.27) или ~оп (Г) ' нр( ) (7.28) т.
е. операция дифференцирования оригинала заменяется для изображения умножением на комплексную величину р. ф (Р) Р (Р) (7.23) Преобразование Карсона — Хевисайда нашло распространение наряду с преобразованием Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первым для решения дифференциальных уравнений был использован так называемый операторяый метод Хевисайда, который, по сути дела, испольэовал преобразования (7.21) и (7.22).
Кроме того, удобство преобразования Карсона — Хевнсайда ааключается в том, что изображение постоянной величины А, точнее, ступенчатой функции А 1 (1), равно самой постоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (7.21). Поэтому во многих случаях преобрааование Карсона — Хевисайда сливается с операторной записью дифференциальных уравнений Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа н Карсона— Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.
В табл. 7.2 приведены основные формулы и свойства изображений Л апласа и Карсона — Хевисайда. Изображение Фурье может быть получено нз изображения Лапласа подстановкой р .= 7ю. Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала даны для случая нулевых начальных условий. Для ненулевых начальных условий из (7.17) можно получить изображение по Лапласу производной оригинала (е заменено на р): 1 7.4! пРВОВРАЗОВАния ФУРье.
лАплАсА и ВАРсОнА — хеВисАИЛА 179 Таблица 7.2 Преобразования Лапласа и Парсона — Хевисайда Изображение Лаезаса Изабражевве Карсава Хеввсаада Нзвмеиеванве Орвгввел Свойство линейности АР (р) рс (Р) + рз (Р) а Р(р) А) (с) сс (с)+Яс) Теорема подобия Теорема аапаздывания с (ес) ! (с — то) е с(с) Теореиа смещенняв комплексной плоскости Правило дифференцирования при нулевых начальных ус- ловиях Р( +Л) р (р) Пж (с) Р (Р) Р» 1пп рр (р) Р-а О 1сш РР (р) Р а 1 ~ ') ~ ...с (с) а» т Ф(Р) Р» Нп ~Р(р) о Пщ Т(р) Р а Р Правило интегрирования при нулевых начальных условиях Теорема о конечном значении (( ) Теорема о начальном значения Единичная импульсная функ- ция 6 (с) Единичная ступенчатая фуяк- ция 1 (с) А 1(с) Пеединичная ступенчатая функция с» 1(с) е " 1(с) — а! — (1 — е ) 1(с) з Р(Р+з) л рз+ Лз Р рз+ лз (р+у) +л- р-"- у (Р-'У)з+ ' Р(Р» У) (Р + 7)'" —.
Лз (Р + у)з + Лз Аналогично для преобразования Кзрсоиа — Хевисайда с'(с) ы рр(р) — р((о), у( )(с) ы р" р(р) — р")(о) —... - р)("-11(о). При нулевых начальных условиях (7.29) (т.зо) (("'(с) = р р(р). 12» Степенная функция Экспонента Смещенная зкспонента Синусоида Косннусоида Затухающая синусоида Затухающая косииусоида щпЛс 1(с) соз Лс 1 (с) е з!пЛс ! (с) а созлс 1(с) 1 Р .4 Р »! Р»ас 1 Р-1 о АФ(р) Оас (Р) , срз(р) (И е ср (р) —,Л Ф(р+Л) р»,р (р) »1 Р» Р рл-е 1 рл- о Ло рз+ Лз Рз рз л ЛР 180 постговнив кгивой пвгкходного пгопвссл (гл.
7 Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции времени: ~~() — ( (р)+7 (7.31) где 1,' представляет собой аначение интеграла, находящегося в левой части (7.31), при с=О: 1,-' = ~ ~ у ( ) (г1,, Для нулевых начальных условий выражение (7.31) упрощетсяа: (()11 . Р(г) Р т. е. интегрированию по времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р.
Рассмотрим теперь использование изображений для решения дифференциального уравнения с) (р) х (г) = )р (р) 7 (г) (7.32) па примере преобразования Лапласа. Перейдем в левой и правой частях (7,32) к изображениям Лапласа. д При этом оператор дифференцирования р = — в полиномах Й (р) и Л' (р) и заменяется на комплексную величину р = с + )ю, а вместо оригиналов л (() и 7 (Г) появляются их изобрая<ения Х (р) и г (р).
В результате полу- чаем В (р) Х (р) — 7), (р) = Л (р) Р (р), где 1)э (р) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия. Отсюда находится изображение искомой величины: Х( )— ~(р) (7.33) Последнее выражение требует некоторых пояснений в связи с различными возможными трактовками понятия начальных условий. Интегральное преобразование Лапласа (7.17) следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене в на р): ь г" (р) = 1!ш ~ ~(г) е "'й. о э (7.34) Ь а Это дает возможность введения двух несколько отличающихся понятий преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Парсона— Хевисайда).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
