Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1. Преооразование Лапласа по начальным условиям справа, Если в выражении (7.34) нижний предел интегрироваяия стремится к нулю, оставаясь положительным (а 0), то в изображении производной (7.26) следует брать начальные условия при г = + О, т. е. для момента времени, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий.
В этом случае л (1" (г)) = р"р (р) — р"-1 (+О) —... — 1"- (+О). Для использования последней формулы необходимо знание начальных условий справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по ,формулам $ 7.3. Заметим, что даже в тех случаях, когда до прилол."ения з 7.41 пгковглзовлния Фузьв, ллпллсл и клэсонл хввислйдл 18т воздействия система находилась в покое, начальные условия справа могут быть ненулевыми и полинам О (р), как правило, отличен от нуля. Кроме того, если рассматриваемая функция времени 7 (с) имеет при с = 0 особенности типа б-функции, то ато обстоятельство не будет учтено в найденном иаображении. Так, например, изображение самой 6-функции и ее производных оказывается при этом равным нулю: ОЭ Э +э 6(~) е ы й= ~ бпо(г) е "'й=О.
+е 2. Преобразование Лапласа по начальным условиям слева. Если в формуле (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а ( 0), то в выражении для изображения проиаводной (7.26) следует брать начальные условия при ~ =- — О, т. е. для момента времени, который будет непосредственно предшествовать моменту приложения воздействия. Такие начальные условия называются также иредиачалькылси. В атом случае .6 у" (е)) =- р"К (р) — р"- 1 ( — 0) —...
— 6"- ( — О). Расчет получается более простым, так как предначальные условия должны бъггь известны всегда и никаких дополнительных операций.'здесь не требуется. В частном случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, предначальные условия нулевые и выражение (7.33) приобретает вид Х(р) =,"ц" Р(р)= И(р) Р(р). (7.35) Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции )У(р) как отношение иаображений входной и выходной величин при нулевых предначальных условиях.
Кроме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а ( 0), позволяет учитывать наличие в рассматриваемой функции при г = 0 особенностей типа 6-функции. Так, например, изображение единичной 6-функции оказывается равным единице: ФО ~ 6(с) е ~Й=1, -а а изображение ее проиаводной п-го порядка бсю(Г) е э'с(е=р". -о Влияние особенностей ~ (г) и ее первых т производных, где и — порядок полинома У (р), на иаображение Ф (р) 7 (О в этом случае и проявляется в виде автоматического учета начальных условий, которые будут иметь место справа (при с' = + 0) в самом изображении У (р) г (р) беэ введения дополнительного члена )л, (р) при нулевых предначальных условиях или без его изменения при ненулевых предначальных условиях.
В связи с этим 6-функция иногда называется также функцией начальных условий. В дальнейшем излоя<ении под преобразованием Лапласа будет пониматься именно этот случай (а 0). Зная иэображение искомой величины Х (р) в виде (7.33) или (7.35), можно найти оригинал х (О. Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32). 182 постРОВПНВ кРивои пеРехОднОГО пгоцессА (гл.
7 Для отыскания оригинала л (с) по его изображению Х (р) можно пользоваться таблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разложения, которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов х (р) —.- — "'"', == х,(р) ' то при отсутствии нулевых корней знаменателя (7.36) (7.37) А.= С где рь — некратные корни знаменателя (7.36). Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет нулевой корень (р,=-О), то изображение надо представить в виде х(р)= ""'. РХз (р) Тогда оригинал может быть найден по формуле (7.38) Хс (О) чс Хс (рл) рс ХЭ (О) лл Рахл (РА) А=С (7.39) Аналогичным образом теорема разложения может быть ааписана и для преобразований Карсона — Хевисайда. Так, например, если изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух поли- номов Рс' (Р) = Х (Р) =- Х ( ° х, (р) (7.40) то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет определяться выражением (() хс (О) с асс с ~РА~ Рьс (7.41) Х (О) Р Хс(РА) А=С (7.42) х (р) = х, (р) х, (р), Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображения Лапласа (7.38) и Карсона — Хевисайда (7,40) отличаются на множитель р.
Использование изображений часто называют также оьераторнъслс методом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хевисайдом, оказывается полностью аналогичным использование только преобразований Кареока — Хевисайда (7.21) и (7.22). Метод использования изображений обладает тем преимуществом, что в нем полностью сохраняется лишь одна операция — вычисление корней характеристического уравнения (знаменателя изображения).
Что касается определения произвольных постоянных интегрирования, то эта операция отпадает, потому что начальные условия автоматически учитываются в процессе решения с самого начала (при нахолсдении иаобралсения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и его часто применяют в задачах теории регулирования. Практически важной для отыскания оригинала решения является еще теорема сверсвмлакил. Ока гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение испольэованнк вкшкствинных частотных хагакткгистик 183 ч 7.51 то оригинал выражается формулой с х (г) = ) х, (т) х, (т — т) Йт„ (7.43) о где т представляет собой вспомогательное время интегрирования.
В частности, пусть для некоторой системы с передаточной функцией И'(р) известна реакция на единичную импульсную функцию б (~) =.' 1, представляющую собой функцию веса и свяэанную с И' (р) преобраэовани~м Лапласа И" (р) = ~ ю(т) е ы6й. о Если на вход этой системы поступает некоторая функция времени ~ (Г), изображение которой Р (р), то иэображение выходной величины будет Х (Р) = )Р (Р) Р (Р). Тогда функция времени па выходе может быть найдена по интегралу свертывания (7.43), который совпадает с интегралом Дюамеля (4.9): 1 х(~) = ) ю(т) 7(г — т) дт.= ~~(т) ю(8 — т) Ыт. (7.44) о о Если входная функция определена только для положительного времени (прикладывается на вход в момент времени Г = О), то функция 7' (т — т) отлична от нуля только при т ~ т.
В этом случае верхний предел интеграла в формуле (7.44) может быть заменен на бесконечность и она приобретает вид (7.44') $7.5. Использование вещественных частотных характеристик Опишем метод приближенного построения кривой переходного процесса и автоматической системе (при воздействиях в виде скачка и импульса) по заданной вещественной частотной характеристике замкнутой системы, раэработанный В. В. Солодовниковым в 1948 году (121). Этот способ полезен иногда, когда расчет системы ведется с самого начала частотными методами. Он совершенно необходим, если известны уравнения не всех звеньев системы, а часть из пих задается экспериментально снятыми частотнымн характеристиками.
На основании интеграла Фурье (7.16) оригинал искомой величины может быть представлен в виде +О~ +сю х (Е) =- — ( Х ()со) е~"' сйо = — ~ чч ~ еэ"" сйо, 2и (7.45) где Х (ую) — изображение Фурье искомой функции времени х (г), а ~р (Рп) =- Р (в) + 78е (ю) (7.46) — частотное иэображение искомой величины, полученное иэ иэображения Карсена — Хевисайда х (р) подстановкой р — — - )ю. Однако использовать интегральную ~эависимость (7.45) можно только в том случае, когда все полюсы функции Х ()ю) лежат в левой полуплоскости.
с ° с постгокник кгивоп пкгвходного пвоцкссь 184 Тогда интегрирование может вестись по мнимой оси. Это значит, что для преобразования Лапласа (7.18) абсцисса абсолютной сходимости с = О и р = усэ. В действительности изображение Фурье Х (уса) даже для устойчивой системы, когда все полюсы передаточной функции системы лежат в левой полуплоскости, может иметь полюсы на мнимой оси за счет входного воздействия.
Так, например, пусть передаточная функция системы имеет вид ус С -,сср+у| с ' причем а ~ 0 и Ь ) О. Полюсы этой передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Если на вход поступает сигнал типа единичной ступенчатой функции х, (у) = 1 (у), изображение которого по Лапласу равно Х, (р) =-. —, то с изображение выходной величины будет ус О+ ь) Это изображение имеет однократный полюс в начале координат (р, = 0). Если на вход системы поступает сигнал типа х, (у) =- пг.
1 (у), изображение которого Х, (р) = — —, то изображение выходной величины будет иметь лз в начале координат двукратный полюс (рс —— — рз = 0). В связи с этим для использования интегральной аависимости (7.45) необходимо отделить от изображения Фурье искомой функции времени члены, содержащие полюсы на мнимой оси. Рассмотрим частный случай, когда иаображение Карсона — Хевисайда ф (р) = рХ (р) не имеет полюсов на мнимой оси.
К этому случаю сводится, например, задача нахождения переходной функции в устойчивой системе, если даны ее передаточная функция Ф (р), не имеющая полюсов на мнимой оси, и входное воздеиствне типа единичной ступенчатой функции б (р) = —. Тогда иаображенив по Лапласу выходной величины будет у( ) сз(Р) Р и соответственно ср (р) = РУ (Р) = Ф (Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
