Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В. Солодовникову, приведем ряд кривых переходного процесса у, (8), ус (1), у, (1), у, (1) (рис. 8 11, б), которые соот- 215 ч 8.г] когиввыв метОды ветствуют вещественным частотным характеристикам аамкнутой системы Р, (ю), Р, (ю), Р, (ю), Рг (ю), изображенным на рис. 8Л1, а. Наилучший переходный процесс у, (О соответствует характеристике Рг (ю), а наихудший у, (1) — характеристике Р, (ю), обладающей наибольшими пиками. $8.6. Корневые методы Как было сказано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в системе автоматического регулирования. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид а,р" + а,р" 1 + ...
+ аьр"-" + ... + а„,р + а„ = О, где Р = с + !ю — комплексное число. Используя понятие гргднегеометричегкого кормя (8.25) г, а.-~-"'~~р, ~.~=-~г —'.",, (8.26) где Рм Рю..., Є— коРни хаРактеРистического УРавнениЯ, в фоР- муле (8.25) можно перейти к новой комплексной величине д путем подстановки р = 1гг7. В результате получим уравнение д" + А,уа-' +... + Аьр"-" +... + А„,7 + 1 = О, (8.27) в котором безразмерные коэффициенты Лю Аю..., Аю..., А,, опреде- ляются выражением аа о Па-а Аь = 3 ао (8.28) а его корни равны д1= —, да=- — ' и т д. ш гго гго Исходное характеристическое уравнение (8 .25) при возвращении к прежней комплексной величине получает вид р + Л 1Фор" а + + Аа()о "р"-" + + ()о = О.
(8.29) Среднегеометрический корень (га может служить мерой быстроты протекания переходных процессов. Если в уравнении (8.29) увеличить 1)ю например, в 10 раз, то на основании теоремы ~одобия (табл. 7.2) переходный процесс, оставаясь подобным сам себе, будет протекать в 10 раз быстрее. В связи с этим можно рассматривать (8.27) как некоторое нормированное характеристическое уравнение, которому соответствует переходный процесс, построенный для безразмерного времени га = й,п Если качество переходного процесса является приемлемым с точки зрения допустимого запаса устойчивости, определяемого, например, перерегулированием (рис. 8.3), то требуемая быстрота протекания переходного процесса может быть обеспечена соответствующим выбором величины 1)а.
Для увеличения величины Ию как следует из (8.26), необходимо увеличивать свободный член характеристического уравнения а„.Напомним, что в статических системах а„= 1 + К, а в астатических а„= К, где К вЂ” общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи регулирования. Следовательно, повышение быстродействия может осуществляться за счет увеличения общего коэффициента усиления. 216 сгл.
З ОценкА г(Ачествл РеГугс»!РОВАння Для оценки быстродействия системы может использоваться понятие степени устойчивости '). Под степенью устойчивости т) понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 8.12). Здесь могут быть два случая: когда ближайший корень является вещественным (рис. 8.12, а) и когда к оси мнимых а,! !т и,) ближе всего расположена пара Р комплексных корней (рис.
8.12, б). — (р ( '«' р (»ории характеристического х ! уравнения, расположенные ближе всего к оси мнимых, т. е. иыею- О Ю щне наименьшую по абсолютной х ф величине вещественную часть, дают в переходном процессе (7.3) члены, которые затухают наиболее медленно.
В большинстве случаев переходный процесс мон но считать закончившимся тогда, когда затухнет член, определяемый ближайшим к мнимой оси корнем. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то составляющая в переходном процессе, определяемая этим корнев«, будет иметь вид хи (!) = Сие и'. Полон(ив в конце переходного процесса хи (г,) =- с»Си, где св =- 0,01 —: —: — 0,05, поясно получить приблинсеняую зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса: гя — 1п — .
! и (8.30) Так, например, если принять Л=-0,05в, то время пеоеходного процесса составит 3 ги =- — 1п= т! 0,05 т! ' Если ближайшей к оси мнимых является пара комплексных корней — т( ~ у(), то составляющая в переходном процессе, определяемая этими корнями, будет х, (г) =- С„е и' з(п (рг + т(в). Положив в этом случае хи (г) =-- ЬС„, нельзя в общем виде определить время переходного процесса, так как для этой цели потребовалось бы решить трансцендентное уравнение.
Однако можем найти верхнюю границу переходного процесса, положив в этом уравнении звп ((вг + т(т) =- 1. Тогда получим выражение г„л 11пс. и (8.31) Таким образом, и в это»! случае величина степени устойчивости будет в какой-то мере определять быстроту затухания переходного процесса. Волее строго связь между видом переходного процесса и величиной степени устойчивости может быть определена для случая, когда исходное дифференциальное уравнение системы имеет вид (а«ра + а,р"-' +...
+ а„) х (!) = 1 (Г). (8.32) Тогда можно показать (611, что при всех вещественных корнях или одной паре комплексных корней для переходной функции справедливо !) Термин «степень устойчивости» ве является удачным, и его, вообще говоря, следовало заменять герыяпоч «степеяь быстродействия».
Это объясяяется тем, что «степгяь устойчлиосгя» пикал яо связала с удалевяем системы от границы устойчивости, определяемым по склонности сястемы к колебаниям. Однако этот термин используется в литературе, и мы буде»! его лридержяваться. г в.о) когнввые мктоды 217 неравенство (8.34) 1 + и (т), г) >Й(г) ~ 1 — и (т), г), (8.33) где 1 + и (т(, т) — функция, ограничивающая й (г) сверху (мажораыта); 1 — и (т), г) — функция, ограничивающая й (г) снизу (миноранта). Вспомогательная функция и (т), г) определяется из выражения и (т(, г) --= е- зт [ 1 + т)г+ — +... -; (ттт)о, (тр)о-т 2! ''' ' (и — ()! Миыоранта совпадает с переходной функцией, если характеристическое уравнение имеет корень р, -= — т) кратности и, т.
е. выглядит следую- Ь щим образом: аор" + а,р" ' -,'-... + а„= (то : —. ао (Р—,'-Ч)" = О. (8.35) Очевидно, что в атом случае ((з и-кратный корень совпадает со сред- г негеометрнческнм корнем о — т т < т ) т) . (о — Ё' — (8.36) оо ' ' ~у,е=г' Из неравенства (8.33) вытекает, что прн заданном значютии средне- РРΠ— "= 1 Г Г 1 У В ~Ю Лв всех вещественных корнях наименьшее время переходного процесса будет при всех кратыых корнях, т. е.
Рис. 8.13. в случае (8.35). На рнс. 8.13 приведены миноранты, совпадающие с переходными характеристиками для случая и-кратного корня, построенные в функцииотносительыого времени т = Йог для различных значений порядка дифференциального уравнения и. Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вычисления значений корней характеристического уравнения. Для этой цели в характеристическом уравнении (8.25) переходят к новой переменной г = — р + т). Подставляя в него р =- г — т), получаем так называемое смещенное уравнение ао (г — т))" + а, (г — т))" т+... + а„т (г — т)) + а„= О.
Раскрывая скобки н группируя подобные члены, получаем аог" + А,г" т +... + А„тг + А„= О. (8.37) Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней (рис. 8А2) влево на величину т). В результате один (рис. 8.12,а) или два (рис. 8.12, б) корня попадают на ось мнимых, что соответствует границе устойчивости. Для вычисления степени устойчивости необходимо применить к смещенному характеристическому уравнению (8.37) любой критерий устойчивости и определить,при каном значении т(получается граница устойчивости.
Напомним, что апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена характеристического уравнения: А„=- а„— а„тт) + а„гт)~ — а„вт)в +... = О, (8.38) а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, прохождение кривой Михайлова через [кь а оцкнкл клчкствл гкгилиговлния начало координат и прохождение амплитудно-фазовой характеристики рааомкнутой системы через точку ( — 1, 70). Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматического регулирования. Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться, если в решении характеристического уравнения будут присутствовать комплексные корни вида — а .1- ф. Эта склонность может характеризоваться отношением мнимой части корня (угловой частоты колебаний) к вещественной (коэффициенту затухания), которое называется колебательноетью: (1 (8.39) Колебательность связана с другим корневым показателем запаса устойчивости — с так называемым затуханием.
Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса член вида х (г) =- Се "' з)п (р1 + ф). Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени 2 = Г, эта амплитуда равна Са = Се-ан Через один период Т=-— 2л па ап Затуханием за период называют величину ! — а 1 а (8.40) с, с, ' Эта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды Са, получаем ап ~=-1 — е (8.41) или (8.42) Р= 1п Обычно в системах автоматического регулирования допускается аатухание за один период не менее чем 90 —:- 98%.
Так, например, если 1",а%а — — 98бо, то допустимая колебательность при этом составит 2п з — — — 1,о7. 1п50 2 Соответственно при ~ = 90% получаем р ж 2,72. Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (рис. 8.14, а), которые составляют с осью вещественных угол ~р = агс1я — = агс$8 1а. б а Колебательность системы можно определить без нахождения корней характеристического уравнения подобно тому, как это было сделано выше по отношению к степени устойчивости. Идея метода заключается в том, что используется подстановка р = )зе ае, которая соответствует повороту координатных осей (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
