Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В результате получаем значение интегральной квадратичной оценки: Еаза 2 аз ' а~аз — азаз ) (8.78) Это выражение и служит для выбора параметров системы, входящих в коэффициенты аз, а„аю а„из условия минимума величины 1. Построим диаграмму квадратичной интегральной оценки на плоскости параметров Вышнеградского А и В. Согласно з 8.7 а,-=А Р' аиа„а,:.=.В~l а,а,'. ГГодставив это выражение в (8.78), получим ' — — ": 'Ь" -"-) (8.76) При 12 --.
Сопзз это дает на плоскости параметров Вышнеградского кривузо А' + (Ав -- Г) ( — 21,) = О. (8.80) Найдем Подставляя получаем аз — а 0 аз о безразморную оценку 1„в с<ютветствии с формулой (8.57) .з г значение сРеднегеометРического коРНЯ Газ =- Г/ — н С' =- —, ' аз ° Ьз аз аз ' 233 % 8.9] ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА Построенные по этому уравнению кривые постоянных значений оценки 18 нанесены на диаграмме (рис. 8.23). Там же пунктиром нанесены кривые, взятые из диаграммы Выпгнеградского (рис. 8.15), показывающие области колебательного (У), монотонного (П) и апериодического (П1) процессов. Минимум интегральной оценки находим, приравнивая нулю частные производные: что дает А — 2 = О, (А — 1)' — А' = О, откуда находим А =- 1, В = 2.
Следовательно, минимум квадратичной и интегральной оценки 18 = 1,5 име- (г г) ет место в точке Р (рис. 8.23). Эта точка лежит, однако, слишком близко к границе устойчивости, А' 4 6 д Ю А что может не обеспечить необходимого запаса устойчивости (см., например, рис. 8.18). Практически лучше брать параметры системы не точно в точке Р, а несколько правее н выше.
Этот результат имеет смысл, однако, только в тех случаях, когда Ьр, аз, ав остаются постоянными, а выбираемые параметры системы входят только в коэффициенты а~ и аз уравнения (8.77). й 8.9. Частотные критерии качества Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества особенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.
А Рвс. 8.24. Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости можно определять по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы (рис. 8.24, а) от точки ( — 1, 10). Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Для общего случая условной устойчивости, изображенного нэ рис. 8.24, а, запас устойчивости по амплитуде определяется двумя точками а и с, н, соответственно, двумя величинами, вырая енными обычно «24 йа, а оцкнкл клчкствл РкгулиРОВлния в децибелах: 1 ° ~ -20!д!3~ 20!н — 1,з.-20)я!)а -'2018Е1з. с, — ''""' = шоо Ф (уоа):--- п1об (8.81) Хмаа зо-и (ра) ' гле 1Р' (ую) — частотная передаточная функция разомкнутой системы.
Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель ьолебательностн (имеется в виду наибольший максимум) 1«а,— -!ФО ) ! „=-! ~0 ! (8.82) Еак видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяется посредством задания задающего воздействия д == д«а з)п Ы. В прин- Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше 1,, и Лз. В хорошо демпфнрованных системах эти величины составляют примерно 0 —: — 20 доц что соответствует 2 —:— 10 в линейном масштабе.
В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина Е„ ток как 1„г и оо. Запасом устойчивости по фазе называется запас но фазе р --. 180 + ар, где ф — аргумент частотной передаточной функции рааомкнутой системы, соответствующий модулкь равному единице (точка Ь на рис. 8.24, а): р, .— 180'+ф,; сдвиг по фазе ф определяется условием ф! аг (оз) 3А(Ю вЂ” о. В хорошо демкфнрованных системах запас по фазе составляет около 30 — 60'.
В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивости системы регулирования (точки а, Ь и с на рис. 8.24, а), задают некоторую запретную область для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, Эта запретная область окружает точку ( — 1, 10) и может быть построена по задап- (Ф(уео)! ным значениям запаса устойчиво- сти по фазе р, и запаса устойчиа ности по модулю () (рис. 8.24, 6). Недостатком рассмотреняого + Т з критерия является то, что для ~à — — — — — — ~- — -! ~ ч. определения запаса устойчивости ~2 необходимо задать два числа: р и ! «а ро В этом отношении более удобно «зе еое«ао «Ь определять запас устойчивости по показателю колебателыаоети. Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты Мааа„ амплитудной характеристики замкнутой системы (см.
рис. 8.25) при начальной ордннате, равной единице, т. е. относительная высота резонансного пика. Физически эта характеристика представляет собой следующее. Если управляющий сигнал на входе системы РегУлиРованиЯ менЯетсЯ по законУ д ==- Я«ах з(п оаГ, то регулируемая величина в режиме установившихся вынужденных колебаний будет меняться но закону у .. у а з1п (озе ~ ф). Отношение амплитуд у„„а„н даа„определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы: 235 9991 ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ° ~о )=~, "",'. )=-~ Сделаем подстановки П=ВеИ'()оз) и г"=1шй'(ри).
Тогда Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получим (Г" + С)9 + Уз — Лз (8.83) где (8.84) М Мз — 1 (8.85) Это есть уравнение окружности с радиусом Л и с центром, смещенным влево от начала координат на величину С. Задаваясь различными значениями М от 1 до со, можно построить семейство таких окружностей (рис. 8.26). На каждой окружности написано значение ординаты амплитудной частотной характеристики. При М =- 1 окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат я проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. При М вЂ” > со окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой ( — 1, 10).
Для значений ординат амплитудной характеристики, лежащих в пределах 0 ( М ( 1, получается семейство окружностей, расположенных справа от линии М = 1, симметрично с первым семейством. При М вЂ” 0 окружность вырождается в точку, совпадающую с началом координат. Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.25) достаточно в тех же координатах, где построены окружности М вЂ” — сонат, нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. Точки пересечения этой характеристики с окружностями будут определять точки амплитудной характеристики с соответствующими значениями ординат, равными М.
Для определения показателя колебательности можно не строить амплитудную характеристику, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты Мю,„, определяемое по наименьшей окружности М =- :-- сопзц которой коснется амплитудно-фазовая характеристика. ципе возможно определение показателя колебательности системы посредством задания возмущающего воздействия ) =- г, а)п а9г и отыскания относительной величины резонансного пика. Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колеоаниям и тем выше резонансный пик.
Допустимое значение показателя колебательности определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1 —: 1,5, хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2 —: 2,5. Для отыскания показателя колебательности системы регулирования нет необходимости строить амплитудную частотную характеристику (рис. 8.25) или отыскивать максимум (8.82).
Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис. 8.25) некоторую точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку на комплексную плоскость частотной передаточной функции разомкнутой системы. Для этого рассмотрим уравнение 236 оцннка качвстВА Ркгулигования Если при проектировании системы ставится условие, чтобы ее показатель колебательности был не больше некоторого заданного значения, например М э = — 1,5, то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитуднофазовая характеристика не заходила внутрь окружности, соответствующей Рис. 8.26.
этому значению М (рис. 8.27). Амплитудно-фазовая характеристика может только коснуться этой окружности. В этом случае показатель колебательности будет как раз равен заданному значонию М Таким образом, окружность М „является запретной зоной для амплитудяо-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта зона охватывает точку ( — 1, )0) и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости. Рис. 8.27. Рис. 8.28. Величина показателя колебательностн может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого отобразим запретную зону (рис. 8.27) на логарифмическую сетку. Рассмотрим отдельно окружность заданного показателя колебательности (рис. 8.28).
На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор, соединяющий эту точку с началом координат. Установим для этого вектора связь между его модулем А и запасом по фазе р. Из треугольника ОВО, по теореме 237 ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА э 29! косинусов находим Аз+Се — Л2 2АС Далее можно найти '"(М вЂ” «) (М вЂ” «) = М вЂ” « н окончательно А2-«- С «ь::- агссоэ (8.86) Из рис. 8.28 нетрудно видеть, что зависимость (8.86) существует только для модулей, лежащих в пределах — < Ас.. (8.87) м М В случае, когда А ~ — или А ) —, запас по фазе может м+« ' м быть любым, так как в этом случае конец вектора не может попасть в запретную зону (рис.
8.28). Задаваясь различными значениями показателя М =- сонэ«, а следовательно и С ==- сопэ«(8.84), по выражению (8.86) можно построить графики 70' Ц~ й. дд' 4 ~ф М' и Э В Гг Гд га Модуль д децибелах Рве. 8,29. «ь:=- ) (А), которые носят название «ь-кривых. Эти графики строятся обычно таким образом, что модуль А откладывается в децибелах (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
