Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 50
Текст из файла (страница 50)
8.14, б) против часовой стрелки на угол — ' — ~р. При 2 219 КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ этом по крайней мере один корень попадает на ось мнимых и затем он отыскивается. Ввиду громоздкости этот метод почти не имеет практического значения. При аадании допустимых значений колебательности и степени устой- чивости область расположения корней должна ограничиваться также верти- кальной прямой, проходящей параллельно оси мнимых на расстоянии а) (рис. 8 14, б). Расположению корней в этой области соответствует выдержи- а/ с Ю ванне требуемого запаса устойчивости, У определяемого величиной колебатель- Р У ности р или затуханием, и требуемой Р степени устойчивости г), характеризую- Р е г йе щей быстродействие системы.
Р Для определения параметров си- Р стемы, при которых обеспечивается и рс~ нахождение корней характеристического уравнения в заданной области, можно воспользоваться В-разбиением. В атом случае в плоскости двух параРис. 8.14. метров системы может быть построена область, аналогично построению области устойчивости (см. $ 6.4). Напомним, что при построении области устойчивости комплексная величина Р =- ую изменялась от — уоо до +уоо, что соответствует движению по мнимой оси снизу вверх. В рассматриваемом случае комплексная величина р должна перемещаться по границе допусти- мого расположения корней едаЬс (рис. 8.14, б). В силу симметрии области достаточно рассмотреть участок аЬс.
Методика построения допустимой области изменения двух параметров системы А и В, входящих линейно в характеристический полипом В (Р) = а Р" + и Р" "+... + Еп, остается аналогичной, за тем исключением, что для участка аЬ делается подстановка р = — т) + )'ю, а затем частота изменяется в пределах 0<а < <г) ье ф = 1)р. Для участка Ьс делается подстановка р = — — +)в ичасто- Р та изменяется в пределах ц)ь < ю «+ Оэ.
Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулирования является не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения. Для того чтобы учесть это обстоятельство, рассмотрим, например, зависимость между регулируемой величиной и управляющим воздействием, записанную посредством передаточной функции замкнутой системы (5 18): (Р)=б)(Р)В(Р)= 1 )у( ) ~(Р) Передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробнорационэльную функцию р( ) )г(Р) ь,Р +ь,Р +...+ь (8.44) Ю(Р) ааРп+а1Р"-1+...
+ап Раскладывая числитель и знаменатель (8.44) на множители, получим ьа(» — Р1) (Р— рй) " ° (р — Р'д (Р)— аа (Р— Рд (Р— Ра) (Р— Рп) (8.45) 220 (кь з ОценкА клчестВА РВГулиРОВАния Корни числителя р'„..., р' называются нулями передаточной функции, так как в точке р = р', передаточная функция обращается в нуль. Корни знаменателя р„..., р„являютсз корнями характеристического уравнения, и они называются полюсами передаточной функции.
В полюсе, т. е. при р = р;, передаточная функция обращается в бесконечность. Полюсы передаточной функции характеризуют левую часть дифференциального уравнения, а нули — правую. В частном случае, когда передаточная функция (8.44) не имеет нулей, правая часть дифференциального уравнения имеет вид В (р)7' (() = Ь 7 (О и формула (8.45) сводится к выражению Ф (Р) —, ° ло (Р Р1) (Р Рй ° ° ° (Р Рл) (8.46) В этом случае внд переходного процесса определяется только расположением полюсов.
Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оцепить вид переходного процесса. Не останавливаясь на подробном анализе, приведем без доказательства общие рекомендации, которых желательно придерживаться при выборе расположения полюсов и нулей передаточных функций (981. 1. Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от области полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе. 2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалять полюсы друг от друга. 3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси.
Кроме этих рекомецдаций сохраняют свою силу ограничения на область расположения полюсов, накладываемые в связи с требованиями обеспечения определенного запаса устойчивости и быстродействия (см. рис. 8А4, б). в 8.7. Диаграмма Вышнеградского Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка РзРл + аУз + азР + ал — — О, (8.47) Приведем его к нормированному виду. Для этого разделим все члены на аз и введем новую переменную зг —, (8.48) лз Ое Здесь использовано понятие среднегеометрического корня (8.26): а,= ~/ — ". В результате получим нормированное уравнение 4'+ А7'+ В7+1 = О, где коэффициенты называются параметразек Вышнеградского. На плоскости параметров А и В нанесем границу устойчивости.
Условия устойчивости системы третьего порядка были впервые сформулированы Вышнеградским еще в 1876 году, до появления в 1895 году критерия Гурвица. Эти условия: А ) О, В -~0 и АВ ~1. Уравнение границы устойчивости (колебательной): АВ = 1 при А)0 и В )О. Это есть разнобокая ДИАГРАММА ВЫШНЕГРАДСКОГО 221 гипербола, для которой осн координат служат асимптотами (рис. 8А5). Область устойчивости системы, согласно написанным выше условиям, лежит выше этой кривой. Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответствующие различному расположению корней характеристического уравнения. Заметим, что в точке С, где А = 3 и В =- 3, характеристическое уравнение (8.49) принимает вид (о + 1)' = О.
Следовательно, в этой точке все три корня раВны: Ч1 = Чз == Чз —— — 1. При этом для исходного характеристического з оз уравнения согласно (8.48) получаем р, =- р„=- рз = — у' — „' =- — 1гг. В общем случае возможны два варианта: 1) все три корня вещественные; 2) один корень вещественный и два комплексных. Граница мея<ду этими двумя случаями определяется равенством нулзо дискриминанта уравнения третьей степени (8.49), который может быть цолучен, например, из формулы Кардана для решения кубического уравнения д АзВз 4 (Аз + Вз) + 18АВ 27 О Это уравнение дает на плоскости параметров А, В две кривые: СЕ и Сг" (рис.
8.15). Внутри области ЕСГ" дискриминант положителен. Следовательно, в этой области имеется три вещественных корня (область П1). В остальной части плоскости дискриминант г отрицателен, что соответствует наличию пары комплексных корней. Существенное значение имеет вваим- 1 нос расположение вещественного и комплексных корней. Будем различать 4 здесь два случая' 1 — пара комплексных корней лежат ближе к мнимой оси, чем вещественный, и 11 — вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем пара комплексных.
Границей между этими двумя случаями является расположение всех трех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси. Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней д, = -а и дз,з = — сс ~ ур. Тогда характеристическое уравнение (8.49) будет д' + Ач' + ВЧ + 1 = (7 + сс)(7 + и — Ю)(Ч + м + Ж = = дз + Зссдз + (Заз + рз) д + а (а'+ 1рз) = О.
Уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает А =Зсс, В =- За' + рз, 1 = а (сс' + рз). В результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключения сс и р искомое уравнение, соответствующее граничному случаю: 2А' — 9АВ+ 27 = О, А(3.
Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую СВ. В результате область устойчивости разбивается на три части: 1, 11, 1П (см. рис. 8.15). Этот график называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 году в работе, которая положила начало развитию теории 1оо, З оценкА кхчкствА Рнгулиговхния автоматического регулирования. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости. В области 111, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получим апериодический переходный процесс в одной иа форм, показанных на третьем графике рис.
8.16, Область 111 носит название области апериодических процессов. В областях Х и 11, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходный процесс будет иметь соответственно формы, покааанные на первых двух графиках рнс. 8.16. В области Х быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной Ркс. 8А8. составляющей. Это будет область колебательных процессов. В области 11, наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов.
Диаграмма Вышнеградского получила дальнейшее развитие. Для более точной оценки характера переходного процесса на ней можно нанести вспомогательные линии, разбивающие области 1, Х1 и 111 на еще более мелкие части, что позволяет при иавестных параметрах Вышнеградского иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные способы уточнения диаграммы Вышнеградского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценки быстродействия) и линий равного затухания (для оценки запаса устойчивости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
