Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 54
Текст из файла (страница 54)
8.29). Иэ выражения (8.86) можно найти, в частности, максимальный запас по фазе обычным методом отыскания максимума: Ъ/М2 — « )ь,„ее=атосов= - агссоэ (8.88) ' ~/с Этот максимум получается, когда модуль А —. )~ С. Если имеется построенная л.а.х. (рис. 8.30), то по имеющимся «2-кривым и при заданном значении М можно построить требуемое значение запаса по фазе для каждого значения модуля. Это построение должно делаться для модулей, лежащих в пределах (8.87). В результате будет получена запретная область для фазовой характеристики. Чтобы показатель колебательности был не больше заданного значения, фазовая характеристика не должна заходить в эту область.
238 1г» Оцкнк» клчвстВА Регулиэов»ни н Нетрудно видеть, что определение качественного показателя, характеризующего запас устойчивости, делается здесь одновременно с определением устойчив ости. Удобство показателя колебательности определяется также тем, что запас устойчивости характеризуется здесь одним числом, имеющим для сравнитель- но широкого класса систем регудб ь лировакин сравнительно узкие пределы (1,1 —:- 1,5).
ю~ Оценка быстродействия может производиться по частотным харак- »'г. теристнкам замкнутой и разомкну- /0 той системы. При рассмотрении Х гдэм »ч замкнутой системы обычно испольюм зуется амплитудная частотная ~ д у,»» характеристика (рис. 8.25) или м ~ » вещественная характеристика -М' (рис. 8.6). Использование вещерэ ственной характеристики было рас- смотрено выше (см. т 8.5). -уд Для оценки быстродействия по аьшлитудной частотной хараьрзс, е.эо. теристике (рис. 8.25) могут исполь- зоваться следующие величины: юр — резонансная частота, соответствующая нику а.ч.х.; ю„— частота, соответствующая полосе пропускания замкнутой системы и определяемая из условия А (ы„) — — 0.707; ы» — частота среза, соответствующая условию А (о>,):.—.= 1; еэз — эквивалентная полоса пропускання замкнутой системы, определяемая по выражению (8.89) где ! Ф ()в) ~: — А (еэ).
Эквивалентная полоса пропускания представляет собой основание прямоугольника (рис. 8.25), высота которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуля Ф (рм). Понятие эквивалентной полосы пропускания тесно связано с вопросом пронускания системой помех, что будет рассмотрено в главе 11. В отличие от показателя колебательности, который является некоторой безразмерной характеристикой и лежит в сравнительно узких пределах. приведенные выше характерные частоты, определяющие быстродействие системы, имеют размерность и их допустимые значения могут сильно меняться в зависимости от типа и назначения системы регулирования. Здесь наблюдается полная аналогия с критериями качества, основанными на рассмотрении кривых переходного процесса. Допустимое значение перерегулирования а»А (рис. 8.3) лежит в сравнительно узких пределах для систем самого различного назначения, а допустимое время переходного процесса г'„может меняться от долей секунды до нескольких часов и более.
Допустимые для данной системы регулирования значения еэр, ю„, ю, или пы должны устанавливаться для каждой конкретной системы на основе изучения условий ее эксплуатации. При этом характеризовать быстродействие системы может как вся совокупность указанных выше величин, так и каждая из них в отдельности. При определении быстродействия по частотной передаточной функции 1т'()оэ) разомкнутой системы может использоваться частота среза ы,р. кото- з з.91 ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА рая определяется из условия равенства модуля единице шоб И' ()ы,р) = 1 или Ь (ы,р) = О.
Эта частота показана, например, на рис. 8.2 и 8.30. Определение частоты среза разомкнутой системы моя<ет быть сделано на диаграмме, изображенной на рис. 8.26, по точке пересечения а.ф.х. с окружностью единичного радиуса, центр которой расположен в начале координат. Резонансная частота замкнутой системы ыр близка к частоте колебаний системы в переходном процессе. Значение юр может быть приближенно а) б% АА, б% бо тоо гб бО го ~о АО ОО го Ао бо го го о,о о югу обо ото Рнс.
8.3К определено по точке а.ф.х. (рис. 8.26), которая ближе всего расположена к точке ( — 1, )0). Частота среза ы,р во многих случаях близка к резонансной частоте системы ыр. Удобной и наглядной мерой быстродействия системы является также частота ы, (рис. 8.2), при которой задающее воздействие вида д = я,„з1п ю„.г' отрабатывается системой с амплитудой ошибки не более х „. Хотя приведенные выше частотные критерии запаса устойчивости и быстродействия могут рассматриваться независимо от свойств системы регулирования во временной области, представляется полезным провести некоторое приближенное сопоставление частотных и временных характеристик. Если показатель колебательности М ) 1, то замкнутую систему регулирования можно апирокснмиронать колебательным звеном (см.
8 4.5). Тогда передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде © (р) ~-,2~та-ь тзгз' (8.90) Для атой передаточной функции сравнительно просто найти, как зависят величины, которые определяют запас устойчивости: перерегулирование о%, показатель колебательности М и запас устойчивости по фазе р„от параметра затухания ь. Соответствующие кривые приведены на рис.
8.31, а. На рис. 8.31, б дается зависимость между перерегулированнем п% и показателем колебательности М для той же передаточной функции (8.90). Кривые, приведенные на рис. 8.31, в некоторой мере характеризуют связь между показателями качества и в более сложных случаях, чем выражение (8.90). Так как резонансная частота юр приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе, то время достижения 240 ОценкА кАчестВА РБГулиРОВАния м». а первого максимума г„на переходной характеристике (рис. 8.3) может быть определено по приближенной зависимости я я г„ж — ж —. е>р мер (8.91) Если переходный процесс в системе ваканчивается за 1 — 2 колебания, го время переходного процесса можно определить по приближенной зависи- мости >„= (1 —: 2) — = (1 —: 2) —.
(8.92) мр ' О>ор ' Сравнение формул (8.71) и (8.89) покаэывает, что эквивале>Угнан полоса пропускапня о>, совпадает с точностью до постоянного множителя с интегральной квадратичной оценкой Т', определяемой формулами(8.Г>7) и (8.68). Совпадение будет полным, если рассматривать всю эквивалентную полосу аропускания от — о>,, —: — 2я)„до + в, — — — 2я>, и измерять ее в герцах.
Тогда получаем (8.93) $8.10. Чувствительность систем регулирования Действительные эначения параметров системы регулирования практически всегда отличаются от расчетных. Это может выэываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.
Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы регулирования. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы. Степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системы оценивается посредством чувствительности. г>увствительяогтью называется некоторый показатель, характериэующнй свойство системы изменять рея<им работы прн отклонении того нли иного ее параметра от номинального, илн исходного, значения.
)3 качестве оценки чувствительности используются так называемые функции чувствительности, представляк>щне собой частные производные >-й координаты системы по вариации )-го параметра, (8.94) нлн частные пронэеодные от нспольэуемого критерия качества > по у-му параметру, >да ) (8.95) ! (улевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные прокзводные должны прнянматься равными эначениям, соответствующим номинальным (расчетным) параметрам. Функции чувствительности временных характеристик. Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных эначений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).
Иггодрвой сися>елей называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям н не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение. 8 8,101 ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ 241 Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров, Движение ее нааывают варьированным движением. Дополнительным движением называют разность между варьнрованным и основным движением.
Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка — '=-с1(х,, ..., х„, а„..., а,„) (».--=1, 2, ..., и). (8.96) Рассмотрим мгновенные вариации параметров Ла; () = 1, ..., т), так что параметры приняли значения а; + Лая Если изменения параметров пе вызывают изменения порядна дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений — ---с"1 (х„..., х„, а,+Ла„..., а„,+Ла,„) (1=1, 2, ..., и). (8.97) Для дополнительно»"о движения можно записать Лх1 (») .=- х; (») — х» (»). (8.98) Прн условии днфференцируемостн х1 (») и х» (») по параметрам а» (у = — 1,..., т) дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора. Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членамн разложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
