Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для нанесения линий равной степени устойчивости обратимся к нормированному характеристическому уравнению (8.49). Для получения смещенного уравнения введем новую переменную, определяемую соотношением Х = д, — Ч„ где Чо обозначает степень устойчивости для нормированного уравнения. Для исходного уравнения (8.47) согласно (8.48) степень устойчивости будет 'Г / аз Ч=Чоьоо= Чо Смещенное уравнение имеет вид д,' + Атд~~ + А од + А = О. Коэффициенты этого уравнения: Ат = — ЗЧо+ -4 Ао = ЗЧв 2АЧо + В Ао = — т), *+ АЧо — В + 1. Применим к смещенному уравнению условие границы устойчивости. Колебательная граница устойчивости, соответствующая чисто мнимым корням смещенного уравнения (8.50), будет при выполнении условия А,Ао =- А,.
Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет при Ао = О, Первое условие при подстановке значений коэффициентов приводит к уравнению В == , от + 2Чо (.4 — 2Чо) (8.51) диягРАммА Вышнкгвадского $ з.т1 а второе дает В = Ацс-т(,*+ —. (8.52) ЧО полученных уравнений, задаваясь различными значеможно построить на диаграмме Вышнеградского линии На основании киями т~с = сонат, Ф Ю с Ф Ю4 Рис. 8.17. да =У5/ =882 =ха(: = 701 =бдим -юд Рис. 8Л8. одинаковых аначений нормированной степени устойчивости (рнс. 8.17). По уравнению (8.51) построены кривые 7)с = совет в области 1, так как там, согласно рис. 8Л5, ближайшими к мнимой осиявляются комплексные корни.
Кривая 7(с = О совпадает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) дает прямые, которые нанесены в областях 11 и 111. 1гн. 8 ОцаНКА КАс!котВА РЕГУЛИРОВАНИЯ Как видно из диаграммы, наибольшая степень устойчивости цо — — 1 имеет место в точке С с координатами 4 =- 3 и В -.-- 3. Следовательно, эта точка соответствует наилучшим значениям параметров с точки зрения величины степени устойчивости. Однако, как унсе отмечалось, степень устойчивости является приближенной оценкой быстроты затухания переходного процесса. Поэтому при выборе параметров системы регулирования практически нет смысла попадать именно в эту точку диаграммы. Можно считать, что наилучшей областью параметров системы будет область, прилегающая к точке С, например внутри замкнутой кривой 8)о == 0,5.
На рис. 8.18 приведена диаграмма Вышнеградского с нанесенными линиями равного затухания 1". =- сопзс. (Аналитические выкладки не приводятся ввиду громоздкости). Эти же линии являются, по существу, и линиями равной колебательности р = сопзо, так как колебательность и затухание связаны между собой формулами (8.41) и (8.42), 4 8.8. Интегральные оценки Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности.
Простейшей интегральной оценкой может служить величина ФЭ вЂ” х(1) й, (8.53) где х (1) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после аавершения переходного процесса. В устойчивой системе х-р О при 1 — ~- оо и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного про- цесса, построенного для отклор! х О'1 х пения (рнс. 8.19, а). Площадь будет тем меньше, + чем быстрее затухает переходный + процесс и чем меньше величина отклонения.
Поэтому параметры 11 системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться Рнс, 8,19. минимума этой интегральной оценки. Для вычисления интеграла (8.53) нет необходимости в нахождении х (1), так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда — Карсона. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением Х (р) = ) х(1) е-Р1 й. о Отсюда следует, что интеграл (8,53) может быть найден посредством предельного перехода р -о О: ОО х(1) й — )1т ~ х(1; е-Р' й = Иш Х(р). (8.54) о р о о р о Неудобством интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения х.
Воли же имеет место колебательный процесс (рис. 8.19, б), то при 225 2 В.В) интегральные опенки вычислении интеграла (8.53) площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка: о Ус= ~ (х(й, (8.55) т.
е. сумма абсолютных величия всех площадей по кривой переходного процесса. Но оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительноо. Квадратичная интегральная оценка. В свете вышесказанного целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке, называемой иногда «квадратичной площадью» регулирования: Х.=.= 1 хо а (х- 0 при с- оо), (8.56) которая не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной). Величина 1 (8.56) будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных на рис. 8.20 площадей (взятых для квадратов ординат), т. е.
чем лучше пере- ходный процесс приближается к идеальному скачку регулируемой вели- чины вслед за скачком задающего или возмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка не всегда является лучшей, но пока остановимся на ней. Заметим, что оценку (8.56) называют также квадратичной динамической ошибкой регулирования. Ве можно записать в безразмерном виде: Х2 С(В О ( Х2 С(с Сс,) ос э' в где х = х (г) обозначает отклонение регулируемой величины в переходном процессе от ее нового установивп2егося значения: х (г) =- у (2) — у (сю); С вЂ” некоторая величина, имеющая размерность регулируемой величины, напРимеР статическое отклоненио У (ао); Асс — сРеДнегеометРическое значе- ние корня характеристического уравнения (8.26).
Рассмотрим один из возможных способов вычисления квадратичной интегральной оценки (8.56) при скачкообразном внешнем воздействии. В общем случае дифференциальное уравнение системы автоматического регулирования (в символической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид П (р) у (г) =- В (р) а (Π— дс ( ) ~ (г) (8.58) где у (г) — регулируемая величина или ее отклонение, л (2) и ~ (2) — задаю- щее и возмущающее воздействия. Степени многочленов Л (р) и Л' (р) обычно нин е, чем )0 (р); в некоторых случаях они могут иметь ту же степень, что и полипом П (р). Пусть переход- ный процесс вызывается единичным скачком 1 (г) либо функции ~ при д — -.
сопев, либо функции л при ~ =- сопев. Положим„например, что рас- сматриваем скачок задающего воздействия д (г) -.= 1 (с). Изобралсение 25 в. А всссссрсссв, и. и носов (8.57) ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ [гп о Лапласа такого скачка будет 6 (р) .= —. Перейдя в формуле (8.58) к изобра[ р х[ениям, получаем 6- ВФз+В1[11+ВоЛ~) — ", ' * (8 61) ай где Л есть следухпций определитель и-го порядка (равный старшему определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме): ап — ап з — а -о ап — ап а ап-о оп-1 0 ап, 0 — ап ап о 41п -4 ип, (8.62) 0 О 0 0 0 0 ...
а, На границе устойчивости 44::.0 и 1 — 1-оо. Через ЛА ()о = т, ш — 1, ..., 2, 1, 0) в формуле (8.61) обозначены определители, получающиеся путем замены в определителе (8.62) (л[ — 14+1)-г11 столбца столбцом ип, ап (8.63) 0 Коэффициенты В,п В Вт-3 В, В,.... вычисляются по формулам: Ьо : — Ь' и — 2ЬтЬт о ' Ьп -4 Ьт-1Ьт-о+ Ьт[пп-4~ (8.64)  — Ьп — 2Ь Ь -,-;2Ь зЬ -з+ ..
° + 2( — 1) Ьп,Ь2 В(р) У(р) -В(р)-' ° (8.50) Р Изображение регулируемой величины у ([) представляет собой дробно- рациональную функцию: Ь,рт 4-Ьпрт-1) ...+Ьт (8.60) порп-'-, а1рп ' Ь" =ап р Отклонение х регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе, входящее в формулу (8.56), будет х(1) = у([) — у(оо) =. у ([) — — "' 1, где у ([) есть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60). Для изложенных условий при во(а ниже без вывода приводится формула (121), по которой моя'ет быть вычислена квадратичная интегральная оценка: 1= 1 х 1[-, [, (В„Л„+ В„,Л„, +...
227 8 8.81 интегРАльныв Оценки В определителе (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами меньше нуля и больше и, а в формулах (8.64) — с индексами меньше нуля и больше ш. В том случае, когда лг =-- л, формула (8.61) замеыяется следующей: О Х = ~ х888 = 8 (В Л~+ В Л~ 8 +... +В8Лг+В Л1) — 8, (8.65) о где +2 (ф — — ") (=' — — "') ~, (8.66) Ьп-~ " При поступлении на вход системы единичного импульса 6 (1) = 1' (1), изображение которого по Лапласу равно 1, изображение регулируемой величины можно также представить в виде дробно-рациональной функции (8.60).
Разница будет заключаться только в том, что степень числителя т возрастает на единицу, а последний коэффициент числителя Ь = О. Это обусловлено тем, что получение реакции системы на единичный импульс (весовой функции) эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся при действии единичного скачка. В области изображений это эквивалентно умножеыию на комплексную величину р. В связи с этим квадратичную интегральную оценку при действии единичного импульса можно рассматривать в виде выражения Х'-- ( мо(Г) 11= ) (х(Г)]8Д, Ь о (8.67) (8.68) где в (Г) — весовая функция системы по задающему или возмущающему воздействию, х (Г) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего воздействия. Таким образом, техника вычисления оценки Х' полностью совпадает с вычислением оценки Х по формуле (8.61) или (8.65).
Совпадает при этом и значение определителя Л (8.62). Отличаться в вычислениях будут определители Л„..., Л„, и коэффициенты Во,..., В или В„,..., В„', что обусловлено повышением степени т в выражении (8.60) на единицу при вычислении Х' по сравнению со случаем вычисления Х. Интегральная оценка Х' также может использоваться в безразмерном виде аналогично формуле (8.57): 228 >га 3 Оценка кхчестВА РеГулиРОВАниЙ Интегральные оценки 7 и 7' (или выражения квадратичных динамических ошибок) применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического регулирования. При этом наилучшими параметрами считаются такие, пре которых величина 1 или 7' имеет минимальное значение. Вычисление квадратичных интегральных оценок 7 и Г можно такяае производить на основании так называемой формулы Релея, которая будет доказана ниже, в главе 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
