Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Допустим, что элементы а;, и аз„принадлежат некоторому алфавиту А из р элементов. Пусть алфавит А является мультипликативной комплексно- сопРяженной группой. В этом случае произведение а;,аь„согласно примеру 5 в $ 9.1 является элементом группы А, т. е. а!»аь„= а (9.27) где т является одним из значений О, р — 1 и некоторой функцией от 1, я, », р, т. е. т=~Р(1, Я, », Р). (9.28) Подставляя (9.27) в (9.26) и отбрасывая индексы 1, я, », р, получаем Р= — '~' а (9.
29) В (9.29) суммирование производится по всем т (9.28), число слагаемых равно и, причем 0 ( п ( У. Последовательность А = — (а ), состоящая изп символов, является одной из последовательностей полного кода объема р". Поэтому сумма яг=~ а (9.30) 188 является одной из возможных сумм полного кода. Сумма Я7 (9.30) называется весом кодовой последовательности. Число всех весов )Р равно рк, но число разных весов будет гораздо меньше.
Поскольку вес (9.30) и значение КФ (9.29) связаны соотношением Я = ЮУУ, (9.31) то знание распределения весов полного кода позволяет определить статистические характеристики КФ. Перейдем к определению распределения весов полного кода. 9.4. Распределение весов полного кода Ь!г пР т'(р — 1)1. (9.33) Число последовательностей с равным количеством одинаковых символов.
Оно определяется числом сочетаний из п, символов О, и, символов 1, ..., пр , символов р — 1. Такое число сочетаний вычисляется согласйо полиномиальной формуле [132): к=- (9.34) вь! лг! ... вр 1! причем должно выполняться равенство р †! ~~ п~=а, г=о а некоторые из п~ могут быть равны и нулю. (9.35) 189 Максимальное число различных весов. Как и ранее, будем полагать, что число различных символов в кодовой последовательности равно р, а число символов равно и ( У. Последовательности, имеющие равное количество одинаковых символов, имеют одинаковый вес Ю (9.30).
Определим максимально возможное число разных весов кодовых последовательностей. Задача нахождения максимального числа весов сводится к задаче определения числа размещения и одинаковых объектов по р ячейкам 1132). Ее решение таково. Представим все объекты в виде последовательности, состоящей из единиц. Границы между ячейками обозначим через О, число таких границ равно р — 1. Например, для п = 9 и р = 3 имеем одну из возможных последовательностей 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1, т.
е. в первую ячейку попадает 3 объекта (имеем три символа О), во вторую — 4 объекта (имеем четыре символа 1), в третью — 2 объекта (имеем два символа 2). Общее число объектов в последовательности из единиц и нулей равно и + р — 1. А число разных размещений определяется числом сочетаний р — 1 нулей из и + р — 1 объектов. Следовательно, максимальное число разных весов равно ~~=С„'+,' !=С.".!., ! (9.32) При п )) р — 1 из (9.32) можно получить следующую приближенную формулу МодУль веса. Формула (9.32) определяет максимально возможное число разных весов..Однако на самом деле их будет меньше,так как некоторые последовательности, имеющие разное число одинаковых символов, дадут равные веса.
Формула для расчета числа весов в этом случае неизвестна. Дело еще более усугубится при переходе к модулям весов. Если символы а„, являются комплексными величинами, т. е. а„,=!а,„!е т, (9.36) где !а ! — модуль, а Π— фаза, то вес (9.30) является комплексно-сопряженной величиной Я7=~(а )созО +1~)а !21пО (9.37) Модуль веса Ю' по определению равен /Гя ~2 Гя 12 !Ж'1=1/ ~~а',!а !созО„~ +~Я)а„~з!пО„~ .
(938) гл м Число разных значений модуля ~ Ж'! будет меньше числа весов Ю', по крайней мере, по следующей причине. Если у одной последовательности В' = а + 1Ь, то равные модули будут иметь последовательности с весами, равными а — 1Ь, Ь +!а, Ь вЂ” !а. Для иллюстрации рассмотрим примеры. Распределение модуля веса.
Допустим, что р = 3, а п = 4. Объем полного кода согласно (8.2) равен р" = 3' = 81. Максимальное число весов согласно (9.32) равно Сби = !5. В табл. 9.9 приведены условные номера комбинаций символов )( от 1 до 15, сами комбинации, число таких комбинаций 22 (9.24) и значения модулей весов !!Р!.
Т я блица 9.9 и 1%'! ~~ х ( Камбияация Кямбяяация Сумма всех х равна объему кода 81. Модули ! !Р! рассчитаны для символов а = Ь, где Ь определяется согласно (9.2). Из (9.2) следует, что !а„! = 1. 190 йг Таблица 9.10 Р < >И<> Хи 36 18 24 3 1 2 2,66 4 0,446 0,222 0,296 0,037 41 На рис.9.1 изображен закон распределения Р (~й11) для и = 1О, р = 3* [511. Нормализация. Проводить непосредственные расчеты вероятностей Р (! %'1) при больших и весьма затруднительно.
Поэтому целесообразно иметь приближенный закон распределения, который можно найти, используя нормализацию слагаемых веса >й' (9.37). Обозначим р г и 6 в <н1 Рис, 9.! го=~и~)а„(соз0, гз=~!а 181п9 . т О3 В этом случае Ф'=гс+<гз, ~ Яу~=)l г~+г$, (9.40) (9.41) Каждая сумма в (9.40) при и )) 1 состоит из большого числа слагаемых. По предположению, ~ а ~ = 1. Допустим также, что Оа, — случайная величина, равномерно распределенная на отрез- ' График рис. 9.1 рассчитан В.
В, Житкоини, Как видно из табл. 9.9, имеется всего 4 различных модуля— 1; 2; 2,65; 4. Вероятность появления модуля веса ! )Р'~ равна Р (~ '>тт 1) = 21 х/р", (9.39) < <Р < где числитель равен сумме всех х с данным ~ йр ~. В табл. 9.10 приведено распределение модулей весов ~Гй'~. Из табл. 9.10 следует, что при р = 3 определенному модулю ~ )Р') соответствуетопределенное значение х. Например, если ~ йт ~ = = 2,65, то х=4.
В общем случае такое соответствие не имеет места. Можно показать, что если >т = 4, и = 4, то для ~ Ф ~ = 2 значения х равны 12 и 4. ке [О, 2п[. При таком допущении величины гс и гз равны сумме большого числа случайных величин (синусоид со случайными фазами) и плотность вероятности величин гс и гз должна стремиться к нормальной. Среднее значение го, гз равно нулю, а дисперсия в соответствии с общими правилами Н04) о' = и/2. (9.42) С учетом отмеченного нормальный закон распределения для гс, гз имеет вид [104): (9.43) Расчеты показывают, что законы распределения гс и гз близки к нормальному закону (9.43). Если предположить, что величины гс, гз статистически независимы, то модуль [ Ж'[ (9.31) должен быть распределен по закону Релея [104]: га([[Р[) =.— е 2 [ 1Р [ — 1М Р /к л (9.44) Р.й.. Распределение корреляционных функций Переход от весов к корреляционным функциям.
Он определяется формулой (9.31). Если считать, что вес [[Р— случайная величина с плотностью вероятности ю, (Ж'), то плотность вероятности КФ в соответствии с общими правилами [104) будет равна и я) = ув, ()уК). (9.45) Если ввести Ис = гс/У, Йз = гз!У, (9.46) где гс, гз определены формулами (9.40), то согласно (9.43), (9.45) имеем а>()сс п)==е ~ Я'7", (9.47) а ш(Яз, и) получается из (9.47) после замены индекса С на 5. Аналогично для модуля [Я[ из (9.44), (9.45) получаем ю([Я[, п) = е 2ап[ Р [ — и'~ Ян!» 192 На рис. 9.1 кривая изображает закон Рэлея (9.44).
Как видно из этого рисунка, распределение [ Я7[ можно считать релеевским весьма приближенно. Отличие объясняется в основном тем, что величины гс и гз не являются статистически независимыми. Многочисленные расчеты показали, что даже если распределения гс и гз близки к нормальному (9.43), распределение [Ж[ может в большей степени отличаться от релеевского.
В аргументы плотностей вероятностей (9.47), (9.48) введен параметр и. Это сделано потому, что в дальнейшем будет производиться суммирование по и слагаемых вида (9.47), (9.48). Периодические корреляционные функции. При периодическом режиме на выходе согласованного фильтра имеет место периодическая КФ. В случае дискретных или частотных сигналов, как было отмечено ранее, в исходных формулах (9.29), (9.30) число слагаемых равно У.
Полагая и = У, из (9.47), (9.48) получаем в (/1с, У) = УУ/и е™х в ()Я ~, У)=2У!Й е — л!л". (9.49). 2,Х Апериодические корреляционные функции. При апериодическом режиме работы число лг=ю слагаемых и в (9.29), (9.30) из- /х меняется от нуля до У, что соответствует изменению сдвига Л в (9.24), (9.25). Отметим, что число слагаемых и = У возможно только один раз при Л = О, в то время как число слагаемых и ( У появляется дважды: при сдвиге вправо (Л) О) и влево (Л(0).
Поэтому значе- Я Д! Ат ния КФ с и( У встречаются Рис. 9.2 дважды. Рассмотрим следующую модель для исследования апериодических КФ. Допустим, что момент наблюдения попадает равновероятно на один из 2У отсчетов КФ. Обозначим через в (Я', и) плотность вероятности случайной величины Я' при числе слагаемых в сумме, равном и. Если )с' = Яс, то в (Яс, и) определяется формулой (9.47), а если /с' = ~ )с ~ — то формулой (9.48).
Найдем вероятность того, что Я' = /с'„ где Я, — некоторое фиксированное значение. Значение Я, может появиться или при и = У с вероятностью (1/2У) в(Я9, У), или при и = У вЂ” 1 с вероятностью (1/У) х Х в (Я„У вЂ” 1) ..., или при и = /! с вероятностью (1/У) в (Я„л), или при и = 1 с вероятностью (1/У) в (Я„!). Отметим что при и( У перед в (Я„и) имеется множитель 1/У, так как и( У встречается дважды, как было отмечено ранее. Поскольку перечисленные события несовместимы, то согласно правилу сложения вероятностей вероятность появления )с' = Я, равна сумме перечисленных вероятностей. В общем случае вероятность появления некоторого значения )с' в апериодической КФ равна М вЂ” 1 вЯ') — в(Я', й/)+ — ~ в(Р', и). (9.50) е ! 193 9.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
