Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Известные системы ФМ сигналов (кодовых последовательностей). Системы Уолша. Эти системы подробно будут рассмотрены в гл. 12. Можно показать, что все кодовые последовательности Уолша имеют различное число блоков, изменяющееся от 1 до л[, т. е. ]1 = 1, А1. Как следствие этого, кодовые последовательности Уолша имеют ВКФ с большими боковыми пиками. По этой причине система Уолша непосредственно используется редко, но она служит основной для построения производных систем с хорошими корреляционными свойствами. Производные системы. Они образуются умножением символов кодовой последовательности системы Уолша на одну и ту же кодовую последовательность (производящую) с хорошей АКФ.
Впервые такой метод был предложен в работе [135], где использовалась следующая производящая кодовая последовательность 1 1 1 — 1 — 1 — 1111 — 111 — 111 — 1с]ч'=!бр=8,т.е.р р,= = 8,5. В результате была получена производная система, кодовые последовательности которой обладали АКФ и ВКФ с меньшими боковыми пиками по сравнению с последовательностями Уолша. В работе [30] приведены значения р для последовательностей из [135]. Величина р для различных последовательностей меняется мало.
Среднее значение ]х = 8,5 и совпадает с р, (11.1), а среднеквадратическое значение мало и равно а„= 0,5. В работах [154, 183] приведена производная система с ийой производящей последовательностью: 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 1 — 1 1 1 с ]У=16 и р = 11. Соответствующие значения р и их характеристики приведены в [30] и равны]х = 8,5, и„= 2,1. В этом случае значения ]х имеет большой разброс. В работе [30] приведены значения р для системы с производящей последовательностью вида 1 1 — 11 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 — 111 с У=16 н р=9, которая нелинейна [25]. Для этой последовательности р = 8,5 и аэ = 1,5, т. е. среднеквадратическое "значение лежит посередине между о,„для последовательностей в работах Ц35, 154, 183].
В [30] приведены также значения ]х для нелинейной производящей после- 212 довательности вида 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 11 — 11 — 1 1 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 — !с У = 32 и ]« = 16. Среднее значение р = 16,5 совпадает с ]«, (11.1), а среднеквадратическое значение о„= 2,5. Таким образом, применение производящих последовательностей с ]«]«, дает систему последовательностей, у которых ]« также близко к ]«„в то время как у системы Уолша р пробегает все значения от 1 до У.
Это и объясняет тот факт, что производные системы работ ]42, 135, 154, 183] имеют лучшие корреляционные свойства, чем системы Уолша. Точно так же системы с нелинейными роизводящими последовательностями лучше систем Уолша. Данные табл. 10.3 подтверждают это. Как видно из табл. 10.3, среднеквадратические значения ВКФ у обеих систем примерно одинаковы, но коэффициент эксцесса существенно меньше у производных систем.
Поскольку при уменьшении коэффициента эксцесса «хвосты» функции распределения боковых пиков ВКФ уменьшаются,то уменьшаются и максимальные боковые пики (последний столбец табл. 10.3). Таким образом, приведенные характеристики систем сигналов свидетельствуют о том, что лучшими (оптимальными) являются системы, у которых число блоков всех кодовых последовательностей примерно равно !««(11.1). Отметим также, что зависимость корреляционных свойствсигналов от ]«, когда р близко к ]«„должна быть слабой.
Это особенно видно на примерах известных систем ФМ сигналов [30]. Поэтому представляется возможным синтезировать оптимальные ФМ сигналы, отбирая из случайных последовательностей символов +1 и — 1 те, которые удовлетворяют критерию близости р к р,. Перейдем к примерам случайных сигналов. Случайные ФМ сигналы. Для получения случайной последовательности двоичных символов первоначально была использована таблица десятичных случайных чисел ]109].
Десятичные цифры были разделены на две группы и цифры О, 1, 2, 3, 4 в дальнейшем заменялись на 1, а цифры 5, 6, 7, 8, 9 — на — 1. Начало последовательности бралось наугад и в десятичной записи имело вид 3276745035 ... ]109 с. 306, 26 строка сверху]. Строки случайных цифр записывались последовательно друг за другом. Была составлена последовательность из 403 символов, которые были разбиты на 13 последовательностей из 31 символов ]30]. Среднее значение р = 16,3 ]30], а р, = 16.
Разброс ]«около ]«, невелик, среднеквадратическое значение о„ 2,6. Наименьшие значения ненормированного бокового пика АКФ У„,„, = 6 и соответствуют последовательностям с р = 16; 17, т. е. последовательностям, у которых !«или равно !«, или близко к нему. Следующее значение У„,„, = 7 соответствует последовательностям с р = = 14; 15, т. е. и для этих последовательностей р близко к р,. На рис. 11.1 представлена общая картина распределения У„,„,/У в зависимости от Х = р/У, где У = 31. Значения У„,„,/У приведены 213 в [30] и на рисунке показаны кружками.
Через наименьшие значения [г„,„,/Аг для данных )» проведена штриховая линия, которая имеет вид параболы с вершиной, близкой к Х О,б, т. е. при р р,. Если сравнить ход штриховой линии рис. !1.1 с функцией гр (Х) (11.31), то можно заметить одинаковый у»»а«г характер изменения этих функций лг вблизи вершины. Таким образом, дейг' ствительно оптимальные последовательности среди случайных необходимо отбирать в первую очередь среди тех, у которых р рз. Однако условие р р, является необходимым, но не достаточным, так как есть последовательности [30], у которых [ь = р„но Ъ'макс велико. Тем не менее отбор посРис.
11.1 ледовательностей с р = ра позволит иметь большое число оптимальных по- следовательностей и значительно сократить машинное время при минимизации максимальных боковых пиков АКФ, Рассмотренные в данном параграфе примеры и приведенное доказательство достаточно наглядно характеризуют необходимость поиска сигналов с р [ьэ. Перейдем к доказательству того, что у сигналов с р р, вероятность появления экстремальных пиков АКФ меньше, чем у других сигналов [42]. 214 Рассмотрим пример системы случайных ФМ сигналов [61], состоящей из 10 сигналов с А/ = 63.
Сигналы выбраны так, чтобы удовлетворялось неравенство для числа блоков: ро — Ьр < р < р» + + Лр, где р, = 32 в соответствии с (11.1), а Лр = 4. В результате 28 < р < 36. Система из 10 случайных двоичных последовательностей получена следующим образом. В качестве источника случайных двоичных последовательностей использовался датчик случайных чисел ЭВМ, вырабатывающий последовательность 0 и 1 с равными вероятностями появления.
Далее в ЭВМ из непрерывной двоичной последовательности выбирались отрезки по 63 символа, вычислялось число блоков каждого отрезка н отбирались последовательности, удовлетворяющие указанному ранее неравенству. С помощью ЭВМ рассчитывались АКФ и ВКФ десяти последовательностей [61). По результатам расчета вычислялись законы распределения ненормированных боковых пиков АКФ и ВКФ системы. Дисперсия случайной величины и', распределенной по нормальному закону (10.6), равна АГ/2, т. е.
в рассматриваемом случае равна 31,5. Для случайной системы, приведенной в [611, имеем: дисперсия АКФ равна 29,2; дисперсия ВКФ равна 29,6, т. е. отличие от дисперсии нормального закона мало. Коэффициенты эксцесса равны соответственно 0,7 и 1, т. е. близки к коэффициенту эксцесса полного двоичного кода (10.!3). Сравнение дискретных распределений[611 с нормальным законом распределения показывает, что они в целом достаточно близки. Отличия примерно такие же, нак н для распределения полного кода (рис. 10.1, а). Следовательно, рассмотренная случайная система сигналов является «типичной» или «средней» системой из полного двоичного кода в том смысле, что она обладает средними характеристиками полного кода. 11.2.
Вероятность экстремальных пиков и оптимальное число блоков Сформулировать задачу определения вероятности экстремальных боковых пиков можно, рассмотрев процесс образования произвольной КФ. Он заключается в следующем. При некотором сдвиге КФ содержит и слагаемых, где 1 ~ и ( Ф. Кодовые последовательности, образующие КФ, содержат р, и р, блоков. КФ, имеющую и слагаемых, можно трактовать как некоторую кодовую последовательность, имеющую р блоков. При этом такая последовательность имеет вес Я7 = ЯР (р), являющийся функцией числа блоков р, а КФ имеет значение !с = ЧР (11)/У = !с ()с).
Процесс образования КФ иллюстрируется диаграммой (рис. 11.2). ь(л) Каждый переход диаграммы (рис. 11.2), за исключением перехода Я7 в Я, неоднозначен. Как будет показано в дальнейшем. при Р1 м.) Рис. 11.3 Рис. 1!.2 заданных р, и р, можно получить несколько различных значений и. Точно так же одно и то же р может привести к различным весам в7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
