Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В результате вес (Р = 2Я вЂ” У, (10.1) причем Я = О, У. Если Я = О, то Я7 = — У, если Я = У, то (Р = У. Шаг изменения веса равен 2. В соответствии с (9.31) КФ, если она содержит У слагаемых, выражается следующим образом: Я = Ж'/У = (2Я вЂ” У)/У. (10.2) Число кодовых последовательностей, имеющих данный вес, т. е. заданное число 1, находится как число сочетаний из У элемен тов по Я и равно С$. Из (10.1) имеем равенство См = С»' 0,5(м+иэ Общее число кодовых последовательностей согласно (8.2) равно 2". Вероятность появления кодовой последовательности с данным весом, т.
е. с заданным значением КФ, равна [110] Р(Ю') =С 2 (10.3) Распределение (10.3) является биномиальным. Следует учитывать только, что вес изменяется с шагом, равным 2. Так как КФ и вес связаны соотношением (10.2), то распределение (10.3) однозначно определяет распределение КФ. Апериодические корреляционные функции. Распределение апериодических КФ можно найти, используя распределение (10.3). Апериодические КФ содержат число слагаемых п = У вЂ” Х, где Х вЂ” сдвиг. Заменяя У на а в Ср' ~~+ ', находим число появлений данного веса при произвольном периоде и ()р, п) = С',"+ '/', (10.4) (10.6) с дисперсией а9 = У/2. Такая дисперсия веса кодовой последовательности соответствует дисперсии апериодической КФ (9.73). Из рис.
10.1 видно, что наибольшие отклонения распределения вероятностей р ((г') от нормального закона имеют место в центре и на краях. Хотя такими отклонениями в некоторых случаях пренебрегать нельзя, но в большинстве случаев можно считать распределение весов нормальным с плотностью вероятности (10.6). Переходя от весов к значениям КФ, получаем ш (й) = )~ РЪ е †л, (10,7) Здесь каждый столбец встречается один раз. Если отбросить верхнюю или нижнюю строку, что эквивалентно п ° У вЂ” 1, то в оставшейся матрице каждый столбец встретится дважды. Если отбросить две строки или сверху, илн снизу, то в оставшейся матрице каждый столбец встретится в четыре раза чаще по сравнению с первоначальной матрицей и т.
д. Помимо увеличения числа появления данного веса, с уменьшением и следует учитывать также, что при п ( У КФ имеет два значения: одно при п = У вЂ” Л, а другое при п =- — (У вЂ” Л). Хотя конкретные значения могут быть различными, получаемые при этом полные коды с Ь = 2" — х одинаковы. В результате необходимо удвоить число появлений заданного веса. Таким образом', в общем случае, если 1п'1 = У вЂ” Л и Л чь О, то величину (10.4) необходимо умножить на 2х 2 = 2х+'. Далее поступим следующим образом. Умножим значения С~"+~'~~ (10.4) на соответствующий множитель 2~+' и просуммируем те значения 2"+' С„'"~~~~~> у которых вес Ж одинаков.
Поскольку, общее число слагаемых равно (2У вЂ” !) 2", то, разделив полученную сумму на этот нормирующий множитель, получим вероятность появления данного веса яг в апериодической КФ. Для большей наглядности в табл. 10.1 приведены значения соответствующих биномиальных коэффициентов и их множители. После умножения каждого биномиального коэффициента на соответствующий множитель суммирование необходимо производить по столбцам, а полученные суммы разделить на (2У вЂ” 1) 2".
Структура табл. 10.1 такова, что ее можнодостаточно просто построить и рассчитать. Например, в табл. 10.2 приведены результаты для У = 8. На рис. 10.1, а вертикальными линиями показано распределение вероятностей Р (ЧУ), приведенное в табл. 10.2 в последней строке.
На рис. 10.1, б вертикальными линиями представлено распределение весов, близких к У, в более крупном масштабе. Кривые рнс. 10.1, а и б изображают нормальный закон распределения о о о о д о о 7 ! о 1 о ! ! о Ю ! яо~ 1 Т ! ! С~ ) о 1 [СЧ о о сч д С4 о о а в Е и - й ° ~ ~~~ ~ ~~ ~ д, ~ ~ ~ ~ ~ ~т, ~ ~ ~, ~ , ~ , ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~ ~ ~~, ~ ~~ ~ щ~ Формула (10.7) позволяет достаточно просто учитывать боковые пики КФ при расчете характеристик СПИ со сложными сигналами. Значения вероятностей Р ((Р') можно записать в аналитическом виде, используя табл. 10.1. Например, для четного У вес ЯР = 0 встречается Я 2~ ~~~', 2 — ~~+ С~аз+ Слигз «-! (10.8) Р(и!) г(1Р7' див л -о -а -г и г а з !Р х а т иг с) л! Рис. 10.1 раз, а для веса Ю' = -1- 1 имеем 3!=2 ~ 2 ~~+ С~а! и!з 1=1 (10.9) Аналогично можно получить аналитические представления и для других 3.
те.2. Статистические характеристики Дисперсия. Из материала гл. 9 и $ 10.1 следует, что среднее значение КФ равно нулю, а дисперсия ох = 1/2 У (9.73). Расчеты, проведенные для различных систем сигналов, показали, что их дисперсии близки к дисперсии полного кода. В табл. 10.3 приведены данные для систем дискретных фазоманипулированных сигналов двух подклассов, которые будут более подробно рассмотрены в дальнейшем: системы Уолша (У) и производной системы (П). Число последовательностей равно числу символов У и указано в первом столбце табл. 10.3. Например, для системы У вЂ” 16 У= 16 и т. д. Производная система для определен- 202 ного й/ была получена из системы Уолша путем посимвольного пере- множения каждой последовательности на производящую нелиней- ную последовательность (31, 32) с тем же /з/.
Та блана 10.3 Предельное средяе- квадратичеекое значение Среднеквадратяческое зяаченяе системы сигналов Козффицчент вксцесса системы сигналов Тии системы сягналов Во втором столбце табл. 10.3 приведено предельное среднеквадратическое значение о = 1/)/ 2Л', а в третьем †среднеквадратическое значение реальных систем.
Сравнивая результаты второго и третьего столбцов, видим, что они близки. Четвертый момент. Определим четвертый момент ш„ апериодической КФ согласно (9.61), полагая п=4. Так как среднее значение гп, = О, то т, = М, 1104) и Ь вЂ” !Ь вЂ” ! и — ! М.= '„„')',;~;~ /С/а(р). /-о »=о р= 11« — П '(10.10) Используя ту же методику„ что и для определения дисперсии апериодической КФ в 2 9.6, можно показать (37), что М = (2й/з — 2Л/'+ д/)/2Л1з. (10.! 1) Определим! коэффициент эксцесса как т = М,/о, — 3.
(10.12) В соответствии с (9.73), (1О.11) находим: у = 1 — 4/й/ + 2/Л1з. (10.13) Предельное значение у = 1 при д/-+. оо. Таким образом, предельное значение коэффициента эксцесса полного кода больше нуля. Положительное значение коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что исследуемая функция распределения должна быть «обострена» в области малых значений Р относительно нормального закона (должна быть больше при малых Р) и иметь большие значения на краях (при 1« -ь ~ 1). Обращаясь к рис.
10.2, замечаем, 203 У вЂ” 16 П вЂ” 16 У вЂ” 32 П вЂ” 32 У вЂ” 64 П вЂ” 64 0,177 0,177 0,125 0,125 0,0885 0,0885 0,173 0,171 0,128 0,123 0,0885 0,088 6,33 0,35 4,5 0,64 20 0,64 15 9 31 17 63 25 что характер распределения вероятностей р (!р') соответствует положительному значению коэффициента эксцесса 7. Таким образом, можно считать, что характер распределения вероятностей при различных Л1 будет близок к представленному на рис. 10.2.
Если ввести переменную х = йб = !оя, Н т. е., У = 2', то 7 1 2э-ч + 2Р-ЯЯ (10 14) Д2 б Зависимость (10.14) приведена на рис. 10.2. Точками снизу вверх -й2 отмечены значения 7 для У = 2, 3, 4, рассчитанные непосредствен-дб но. Звездочками слева направо отмечены значения у для производных систем П-16, П-32, П-64, приведенные в четвертом столбце табл. 10.3. Как видно из рис.
10.2, Рис. 10.2 коэффициент эксцесса производ- ных систем' близок к у (10.14), но все же меньше, что является, несомненно, достоинством таких систем сигналов по сравнению с системами Уолша, у которых 7»1 10.3. Средняя спектральная плотность мощности полного кода Определим среднюю спектральную плотность мощности полного кода следующим образом: ь — ! б (х) = !Н(х) !'= — ~~~' ! Нт (х) !', (10.15) Ь 1=0 гд Н, (х) — спектр кодовой последовательности, см., например„ (1.!03). Используя (1.103), находим и о ь — ~ 6(х)= — ~ ~~)' е !" ч! ~~~~ а1чаг„.
(10.16) ь ч=1 я 1-О Согласно свойству ортогональности (9.18) сумма по !' равна Ь только при ч = р. Следовательно, (10.17) т. е. средняя спектральная плотность мощности полного двоичного кода не зависит от частоты. Отметим, что формула (! О.! 7) соответст- 204 вует кодовым последовательностям. При переходе к спектрам сигналов следует учитывать энергетический спектр одиночного импульса 6 (х)1э.
При этом энергетический спектр сигнала будет равен 0 (х)126 (х) = л/Вт„(х)1з. !ОА. Произвольная система сигналов о аэ = — ~~ а'. /в,~ ь ~ (10.18) (Среднее по различным выборкам со т,(аД= —,")' т,(а1). Ф, (10.19) Но п1, (аЦ = оа = 1/2л/, поскольку по определению 1/2У вЂ” дисперсия полного кода, усредненная по всем сочетаниям кодовых последовательностей. Следовательно, т, (аД = а', т. е. среднее по различным выборкам совпадает с дисперсией полного кода. Дисперсия выборочного среднего то М ( э)= —, )~ М,(аЦ. (10.20) Можно доказать, что М, (аз) = М4 (10.10), так как гп, = О. Поскольку М, определен согласно (10.11), то М, (а~') 1/Л/'. Из (10.20) имеем М, (~Д ж 1/ЦЛ/~.
(10.21) Отношение среднеквадратического значения выборочного среднего к его среднему значению равно Таким образом, с увеличением Ео — числа сигналов в системе разброс дисперсии системы аэо относительно своего среднего значения, равного 1/2л/, уменьшаегся. Следовательно, значение 1/2й/ является предельным для всех систем сигналов. 205 Выберем из полного кода с /Ч = сопз1 произвольным образом Е, кодовых последовательностей. Такая система является выборкой из полного кода. Пронумеруем все КФ и обозначим номер каждой через 1 = 1, Ьз'. Каждая КФ имеет свою дисперсию а~' и коэффициент эксцесса уи Обозначим выборочное среднее дисперсии системы Ь, через аа.
Оно равно Глава 11 ОПТИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО БЛОКОВ И СИСТЕМЫ СИГНАЛОВ 11.1. Гипотеза об оптимальном числе блоков Поиск и синтез одиночных сигналов и систем сигналов с «хорошими» АКФ и ВКФ были начаты относительно давно и продолжаются до настоящего времени (см., например, (15, 23, 25, 39, 55, 99, 119, 131, 136, 142, 146, 179, 183, 199, 207, 210)). Под «хорошими» АКФ и ВКФ подразумеваются такие функции, экстремальные или максимальные пики которых малы.
Сигналы с такими АКФ и ВКФ условно будем называть оптимальными. Среди оптимальных сигналов содержатся и минимаксные (3, 1621, у которых максимальные пики минимальны. Наибольшее количество сведений в настоящее время известно о дискретных фазоманипулированных сигналах. Это объясняется тем, что такие сигналы позволяют использовать наиболее простые методы формирования и обработки, в особенности цифровые методы. Сравнение различных оптимальных ФМ сигналов и систем сигналов показало [30), что они обладают одним интересным свойством: число блоков р точно или приближенно равно (11.1) р, 05(У+ 1), где Аà — число элементов ФМ сигнала, а блок — последовательность одинаковых элементов (см. ~ 8.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
