Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поскольку 1 ( К(М, то для К„, имеем неравенство М/2( ~~ Копт ~~ М Если М )) 1, то биномиальный коэффициент Сики (8.3) можно заменить следующей асимптотической формулой: Смм 2м) '2/пМ ехр 1 — (2К вЂ” М)о/2М). Формула (8.9) соответствует замене биномиального закона распределения нормальным законом со средним значением М/2 и дисперсией М/4.
Подставляя (8.9) в (8.8), получаем ук К !я ро + М 1я 2 — 1(2К вЂ” М)о/2М) !я е + + !д )/2/пМ. Производная ук = 18 ро — 2 (2К вЂ” М) М [ !и е. (8.10) (8.11) Приравнивая нулю производную (8.11) и решая полученное уравнение, находим К„, = 0,5М (1 + 0,5!п ро). (8.12) (8.13) ук Мх, где х = 1я 2 + 0 5 1д ро + (!н ро)' (8 1я е) '. (8.14) Можно показать, что при изменении р, от 1 до 16 величина х меняется практически линейно от 0,3 до 1, т. е. при этом х ( 1.
Следовательно, ук макс ( М при указанных пределах изменения ро. Подставляя (8.13) в (8.7) и переходя к Ек, имеем: ]73 Из (8.12) следует, что с ростом р, растет К„,. Очевидно, что К„,„„„, не может превысить М, так как К ( М. Подставляя (8.12) в (8.!0), с точностью до малых более высокого порядка по- лучаем Оценка максимального объема класса ДЧ сигнала позволяет утверждать, что объем' достигает больших значений. Например, при М = й/ = 1О имеем /.к„,„, (10'оо. Сравнение объемов ДЧ сигналов различных порядков.
Из формул (8.5), (8.6) находим отношение /.к//,, = (Ро 'М 'См)". (8.15) Так же как и /,к (8.5), отношение (8.15) зависит от четырех параметров. Увеличения У, М приводят к монотонному возрастанию /.и//, При изменении К имеет место максимум при К = К,, (8.12). Если положить р, = 2, то К,„, 5„а й/ о 1я (/,к/1.,) ~ 2. Отсюда имеем /.к//., 1Оо".
Используя приближенное значение (8.15), находим отношение / к макс/1 1 — (1О Ра М ) (8.16) Выражение (8.16) дает верхнюю оценку отношения Ек „,„,//,, т. е. истинное значение /.к„,„,/1,, будет меньше того, которое получится в ппавой части (8.16). Для точных расчетов необходимо вычислять (8.15) при всех значениях К и находить максимум. Сравнение объемов ДЧ сигналов и дискретных сигналов. ДЧ сигнал располагается на частотно-временной плоскости, занимая полосу частот шириной Р = Р,М (1.52), где Р„ — ширина спектра элемента сигнала, и отрезок времени Т = й/Т„ (1.51), где Т,— длительность элемента.
Согласно (1.53) база ДЧ сигнала равна В = М//РоТо. Для сравнения ДЧ и дискретных сигналов по объему предположим, что в качестве элементов используются простые сигналы и база Р,Т„ = 1. В этом случае В = Мй/. При такой базе число элементов в дискретном сигнале равно базе В. Полагая, что амплитудная и фазовая манипуляции каждого элемента производят- сЯ с теми же основаниЯми Ром и Рфм, т е. Ро = РАЯРом, то в соответствии с формулой (8.2) объем класса дискретных сигналов будет равен в Р (8.17) Из формул (8.5), (8.17) находим отношение (8.18) /к%д = (См/Ро ) Если отношение См/Ром ~ > 1, то объем Ек класса ДЧ сигналов порядка К больше объема /,д класса дискретных сигналов; если Смм/роом ~ ( 1, то /.д > /,ю Для ДЧ сигналов первого порядка имеем отношение М/Ром '.
Если р, = 2, то отношение М/Ро ' (1 пРи М >2, а если Р„> 2, то М/Ро (1 пРи М > 1. Таким образом, объем класса ДЧ сигналов первого порядка 174 при М) 2 всегда меньше объема класса дискретных сигналов. Перейдем к сравнению объемов при произвольном К. Отношение К г= = —,4с"„= — 10 ', бм м — к м э м м (8.19) где ук определено формулой (8.8). Максимум ук согласно (8.12) имеет место при К,, и равен в соответствии с (8.13) Мх, где х из (8.14).
Поэтому г„„„, 10м"/р = (10"/р ) (8.20) Следовательно, если отношение 1О'/рэ ( 1, то гн,„, ( 1 и объем класса дискретных сигналов больше объема класса ДЧ сигналов. Например, если р, = 16, то согласно (8.14) х = 1 и из (8.20) имеем гивяс ( 1.
Отметим, что сравнение объемов частотных и ДЧ сигналов даст те же результаты, что получены в данном параграфе, так как частотные и дискретные сигналы дуальны с точностью до поворота на л/2 на частотно-временной плоскости (см. $ 1.7). Другие комбинаторные свойства систем ДЧ сигналов будут приведены в гл. 14. 6.3. Сигналы с двоичной амплитудной манипуляцией В некоторых случаях используются сигналы с двоичной амплитудной манипуляцией, при которой некоторый элемент сигнала излучается или не излучается. Тогда последовательности элементов ставится в соответствие двоичная кодовая последовательность, состоящая из единиц и нулей. При этом обычно полагают, что 1 соответствует излучению элемента, 0 — не излучению. Объем класса.
Пусть для сигнала отведено У позиций по времени (частоте), т. е. он может состоять из л/ элементов, если нет амплитудной манипуляции. Допустим, что АМ такова, что сигнал состоит из п элементов. Число сигналов, отличающихся хотя бы одним элементом, определяется сочетанием п элементов из й/, т.
е. /,, (и) = См. (8.21) Каждый элемент может быть манипулнроваи по фазе с основанием манипуляции ре Кроме того, в случае ДЧ сигналов каждый временной элемент может состоять из К частотных элементов. Поэтому из-за ФМ и ЧМ объем класса увеличивается. В случае ДЧ сигналов порядка К согласно формуле (8.5) и комбинаторному правилу произведения имеем Ек (и) = (рэСм) Еэ (и) = (рэСм) См (8.22) В случае ДЧ сигналов первого порядка (К = 1) из (8.22) получаем (л) — (р М)л Я (8.23) 17$ Для дискретных или частотных сигналов М = 1 и из (8.23) находим Б (и) = раСй. (8.24) Из сравнения формул (8.21), (8.24) следует, что общей формой является Б' (л) = расй, (8.25) где основание манипуляции р = раСм для ДЧ сигналов порядка к К, р = раМ для ДЧ сигналов первого порядка, р = ра для дискретных (частотных) сигналов с фазовой манипуляцией, р = 1 для дискретных (частотных) сигналов без фазовой манипуляции.
Если р = 1, то максимум Б* (л) имеет место при и = (ЛГ!2). Если р ) 1, то оптимальное значение п при котором Б* (и) максимально, определяется аналогично тому, как это было сделано в 38.2, и равно согласно (8.12) и,, = (й((2) Н + (!и р)!2). (8.26) Подставляя это значение в (8.25) и используя метод $ 8.2 (формула (8.13), (8.14)), получаем максимальное значение объема произвольного класса (п)мака ~ 10 (8.27) где х определяется формулой (8.14). Оценку сверху для Б* (л) можно найти, используя тождество (р + Ц" = р" + С) р -' + ...
+ С" "р + ... ...+1. (8.28) Так как Сй = Сй, то из (8.28) имеем неравенство ( и ) р а С ( ( р + 1 ) (8.29) Сравним объем класса сигналов с амплитудной манипуляцией с объемом класса без амплитудной манипуляции. Согласно (8.2) объем класса без амплитудной манипуляции равен Б = р". Деля (8.26) на рн, получаем Ба (л)!Е, = Сйнlрн Прн любых Ф и и увеличение основания манипуляции р ведет к росту знаменателя в (8.30). Следовательно, начиная с некоторых р объем Б будет больше объема Е* (п). ЭА. Сигналы с заданным числом блоков Известно 130], что корреляционные свойства сигналов зависят от числа блоков в них. Блок — это последовательность элементов с одинаковыми значениями манипулированных параметров.
Например, если рассматривается дискретный ФМ сигнал с двумя зна- 176 чениями фазы 0 и п,то блок — последовательность элементов, имеющих фазу О или и. Границами между блоками являются скачки фазы. На рис. 8.1 изображен дискретный ФМ сигнал, состоящий из 9 элементов и 5 блоков. В общем случае для сигнала, состоящего из У элементов, число блоков М может изменяться от одного (все элементы одинаковы) до У (каждый элемент отличается от соседних), т. е. !з = 1, У. Обозначим длину блока через п„, т = 1, !х.
Имеем тождество я ~,п =У. ч= ~ (8.31) Если р = 2, то имеем [40! 1 (р) = 2СЙ вЂ” ~~. (8.34) Объем класса равен р" (8.2). Если просуммировать все значения Л (р), где р = 1, У, то получим объем класса. Поэтому имеем тождество ~ р(р — !) С~-~=р". (8.35) я ! !П Определим число сигналов с одинаковым числом блоков. Если сигнал состоит из р блоков, то число границ между блоками равно р — 1. Эти границы тем или иным образом можно расставить на У вЂ” 1 позиции, так как число таких позиций равно числу границ между У элементами сигнала. Если порядок размеще- Фг) ния границ между блоками лье,р Р не имеет значения, то число т таких размещений равно числу сочетаний из У вЂ” 1 эле- л зг Ь з~ з т ментов по р — 1, т.
е. 1о (р) = СМ:~. (8.32) Учтем теперь манипуляцию элементов блоков. Пусть основание манипуляции р. В этом случае первый блок может быть выбран одним из р способов. Второй блок может быть выбран одним из оставшихся р — 1 способов. Третий блок и все остальные могут быть выбраны также р — 1 способами, т.
е. всеми р способами, за исключением того, который был использован в предыдущем выборе. На основании комбинаторного правила произведения манипуляция увеличивает число сигналов (8.32) с одним и тем же числом блоков в р (р — 1)и — ' раз. Таким образом, число сигналов с заданным числом блоков равно Ь (Ф) = р (р — Ц ' Сй:ь (8.33) При р = 2 правая часть (8.35) равна 2", а левая часть [132] М !г — ! 2 ~~ Ск.— ', =2 ~'„С~~ ! =2 2н — ' = 2и.
в=! в=а Точно так же можно проверить (8.35) и для других р. При У )) 1 справедлива следующая асимптотическая формула для Т, (р) (8.34) [40]: Г (р) 2" ! и (ж — 1! *р ! — 2 ! — р,)т(ж — 1)1, (8.36! где р,, = 0,5 (У + 1). (8.37) Сумма всех 7. ([!) при р, — Л[!( р ~( [!О+ Л[! равна [40]: н.+ ак 5(Р, Ь[!) = ~', 1.
([!) — 2!г [2Р(2Ь[![Р'У вЂ” 1) — 11, (8 38) к=».— ак где Р (х) — интеграл вероятности (2.16). Если 2бр ( )/ У вЂ” 1, то, разлагая Р (х) в ряд по малому аргументу [104], получаем Я (р, й[!) 2" У2 2Л[! [и (У вЂ” 1)]-!!' = 25[!7 ([!о) (8.39) где 7. (Р,„) находится из (8.36) при [! = [! . Глава 9 ПОЛНЫЙ ПРОИЗВОЛЬНЫЙ КОД 9Л. Алгебраические свойства полного кода Как было определено в гл. 8, класс или полный код состоит из всех последовательностей, отличающихся хотя бы одним элементом. Объем класса согласно (8.2) равен р", где р — основание манипуляции, У вЂ” число элементов. В частном случае, когда У = 1, класс вырождается в алфавит объема Ь = р. Исследование корреляционных свойств класса полного кода имеет большое значение для изучения свойств систем сигналов, являющихся подклассами данного класса. Оно существенно упрощается, если учитывать алгебраические свойства полного кода, который является группой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
