Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Вероятность ошибки. Допустим, что информация передается двумя равновероятнымн ортогональными сигналами. Пусть Е— энергия сигналов. Предположим, что шум является случайным нормальным стационарным процессом с нулевым средним и с равномерной спектральной плотностью мощности М,.
Оптимальный приемник при известном времени задержки сигнала и известной несущей частоте состоит из двух каналов, каждый из которых представляет собой последовательное соединение согласованного фильтра и детектора огибающей(рис. 2.6). Решающее устройство выбирает максимальное значение на выходе детекторов огибающих. Каждый фильтр согласован со своим сигналом. Так как сигналы ортогональны, то ортогональны и фильтры. Поэтому шумовые составляющие на выходах фильтров в совпадающие моменты времени некоррелированы. Поскольку шум на входе и на выходе фильтров является нормальным случайным процессом, то шумовые составляющие на выходах фильтров в совпадающие моменты времени независимы. В результате огибающие на выходах детекторов также будут статистически независимы в совпадающие моменты времени.
При рассинхронизации по времени (ошибка равна т) и по частоте (ошибка равна ь1) в момент принятия решения, который определяется синхронизатором, огибающая на выходе согласованного канала определяется огибающей функцией неопределенности (ФН) передаваемого сигнала ~ Я (т, ь)) ~ (1.22), а огибающая на выходе несогласованного канала — огибающей взаимной функцией неопределенности (ВФН) р (т, й) = Я~„(т, й) (1.18).
Независимо от значений т, Й шумовые составляющие на выходах фильтров остаются некоррелированнымн в совпадающие моменты времени. Следовательно, огибающие в момент принятия решения будут также статистически независимыми, как и при т = й = О. Поэтому плот- 162 ность вероятности огибающих на выходах детекторов описываются законами Релея — Райса, у которых сигнальные составляющие равны ! Я (т, й) ! и [ 1» (т, й) !. Отметим, что )с (О, 0) = 1, а [» (О, 0) = О. Обозначим отношение сигнал!шум в информационном канале Ь = ф Е/Л(о.
(7.19) В соответствии с отмеченным можно показать, что вероятность ошибки при рассинхронизацни равна Р, (т, й) = ехр [ — Ь' ()»» + р')! х СО х,[ г» ехр ( — О,бг») 1, (У2 Ь)сг) х ч Ю х ! 1 ехр ( — 0,5»») 1, ()Г2 ЬР1)»[Ыг, с (7. 20) где Л = [Й (т, й)[, р = [ р (т, й) !.
При т = й = О, Я = 1, р = О, вероятность ошибки определяется известной формулой (2.26) Р = Р, (О, 0) = 0,5 ехр ( — 0,5Ь'). Плотность вероятности и статистические характеристики ошибок по времени и частоте. Напомним основные результаты теории оценок параметров сигнала [25, 170! применительно к совместному измерению времени задержки сигнала и частоты. Предположим, что измеритель является оптимальным, т.
е. обеспечивает минимальные в среднеквадратическом смысле ошибки при совместном измерении времени и частоты. При достаточно большом отношении сигнал!шум на выходе измерителя д =)~Е, !М„ (7.21) где Е„ — эквивалентная энергия сигнала в измерительном канале, совместная плотность вероятности ошибок т, й при некогерентиом приеме приближенно определяется следующим выражением [35, 170): ш» (т, й) = Ь ехр [2д» ! К (т, й) ! 1, (7.22) где Ь вЂ” постоянная, а интегрировать надо в пределах центрального пика ФН, так как при предположении д» )) 1 ошибки малы. Представим центральный пик ! Я (т, й) [ поверхностью второго порядка [25! ! Я (т, й) ! = 1 + Жт + Р»ай + 0,5К» т' + + )» "атй + 0,5Яаяй», (7.23) где т в О, й > О, а частные производные взяты в точке т = й = О. Выражение для ФН при т( 0 и й( 0 можно найти из (7.23), используя свойства симметрии ФН относительно осей т, й [25!.
Для ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты и для дискретных ФМ сигналов смешанная производная Ка = 0 [25!. При 163 условии Я "и = 0 ошибки т и 11 статистически независимы. Поэтому рассматривать будем сигналы, у которых Я",а = О. Кроме того для сигналов с прямоугольной огибающей Яа = О, для ЧМ сигналов Я,' = 0 с точностью до малых высокого порядка, а для ФМ сигналов Л,", = О. Таким образом для ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты ]Я (т, й)] = 1+ 0,5Я т'+ + 0,бала(1', (7.24) а для ФМ сигналов ] Я (т, Й) ] = 1 + Я;т + 0,5Каай'.
(7.25) Подставляя (7.24) в (7.22), получаем, что для ЧМ сигналов ошибки т и й распределены по нормальному закону, а их дисперсии равны (25, 1701 о4 = (27'] Р,", /) ' оп = (2сУ' ] Лад])-'. (7.26) Для ФМ сигналов при подстановке (7.27) в (7.23) получаем, что ошибка т распределена по экспоненциальному закону с дисперсией П62] о~ = (2д']Я']') ' (7.27) а ошибка 11 распределена по нормальному закону с дисперсией (7.26). Из (7.26), (7.27) следует хорошо известный результат: чем больше ]Я,'] (или ]й~~]) и ]]4йа], тем выше точность измерения времени и частоты при д = сопз1.
Увеличение частных производных ] Я,'] или ] К,",] означает уменьшение длительности центрального пика ФН, т. е. при этом необходимо увеличить базу (или широкополосность) используемых сигналов. Таким образом увеличение базы сигналов при Т = сопз1 повышает точность измерения времени. Средняя вероятность ошибки. В работе ]35] показано, что если ВФН имеет малые боковые пики в окрестности центра (т = О, 11 = 0), то ее влиянием на вероятность ошибки можно пренебречь. Такому условию удовлетворяют сигналы, у которых боковые пики около центра плоскости неопределенности меньше 1!УВ, где В— база сигнала. Полагая р = О, из (7.20) находим, что вероятность ошибки Р, (т, 11) = 0,5 ехр ( — 0,514э]Я (т, 42)]'). (7.26) Средняя вероятность ошибки при усреднении по т и ь1 согласно определению равна ОО 1 ошср = 0 1 ош (т (1) 4эз (т (1) А(1 (7 20) где в, (т, Й) совместная плотность вероятности ошибок т и Я.
Интегрирование следует производить по области определения цент- рального пика ФН. 164 Относительно центрального пика ФН предположим, то он симметричен относительно осей т, 12. Это имеет место, как было отмечено ранее, для ФМ сигналов и ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты.
При этом ошибки т и ьа статистически независимы, а модуль центрального пика ФН может быть записан в виде [К (т, й) [ = 1 — ([т[/т ) — ([0[lй )х, (7.30) где [т [ ( т,; [ь1 [ < 'ь)а. Для сигналов с прямоугольной огибающей Л = 2. Для ФМ сигналов ч = 1, для ЧМ сигналов ч = 2. При таком представлении центрального пика ФН интегрировать в (7.29) необходимо в пределах ( — т„т,), ( — ьа„йе). Совместная плотность вероятности ошибок т и Я, при условии, что они малы, определяется формулой (7.22). Подставляя (7.22), (?.30) в (?.29), интегрируя и нормируя, получаем [34[, что средняя вероятность ошибки приближенно равна Р,р ~ 0,5 ехР ( — 0,55') (1 — /гх/2дх)-1т+х1/ " = = Р, (1 — /та/2ф) — 1 +х1/'"х. (7.31) УА.
Помехоустойчивость приема сложных сигналов при рассогласованиях Любые аппаратурные рассогла. ванна приводят к снижению помехоустойчивости. Исследованию влияния рассогласований на снижение помехоустойчивости приема сложных сигналов посвящено большое число работ, например, [19, 44, 88, 99, 155, 162, 172 и др.[. В большинстве 165 Из (7.31) следует, что средняя вероятность ошибки не зависит от ширины центрального пика ФН по времени и частоте, так как в это выражение т, и ь)а не входят. Таким образом, средняя вероятность ошибки при оптимальном измерении времени задержки и доплеровской частоты не зависит от базы используемых сигналов. Поскольку форма центрального пика ФН (7.30) зависит от показателей т и Л, то и средняя вероятность ошибки зависит от формы центрального пика, но зависимость эта слабая, так как отношение Ьх/2дх ( ( 0.,5.
При этом из (7.31) приближенно имеем Р,,р ~ Р, (1 + [(т + Л)/тЛ[ (/гЧ29х)). (7.32) Например, для ФМ сигнала т = 1, Л = 2, а (т + Л)/тЛ = 3/2. Для ЧМ сигнала о = Л = 2, а (ч + Л)/тЛ = 1. Обычно й' (( дв. Поэтому различие в форме центрального пика сказывается слабо. Следовательно, средняя вероятность ошибки практически не зависит от формы сигнала и его базы, а определяется только отношениями сигнал/шум на выходах информационного и измерительного каналов. Поэтому для повышения помехоустойчивости некогерентного квазиоптимального приема необходимо увеличивать отношение сигнал/шум на выходе обоих каналов. Чтобы ошибки при синхронизации сказывались слабо, необходимо иметь 9а )) /га. перечисленных работ рассматривались рассогласования при приеме радиолокационных сигналов. В меньшей степени этот вопрос исследован для СПИ и особенно для ААС. Поэтому в данном параграфе по материалам (41, 52, 53) рассматриваются рассогласования в ААС.
Следует отметить, что влияние аппаратурных рассогласований на характеристики АЛС иное, чем в других системах передачи информации. Обычно, если рассогласования малы, то потери из-за них можно компенсировать увеличением энергии излучаемого сигнала. В ААС, в первую очередь, необходимо обеспечивать помехоустойчивость относительно взаимных помех, которая практически не зависит от излучаемой энергии сигналов, а определяется числом активных абонентов и базой сигналов согласно (4.2). Поэтому потери в ААС из-за рассогласований можно компенсировать только уменьшением числа активных абонентов при постоянной базе сигналов. Здесь рассматриваются только те рассогласования, которые образуются между излучаемыми сигналами и фильтрами в оптимальном приемнике.
Все остальные характеристики оптимального приемника считаем идеальными, поскольку рассогласования по таким характеристикам рассмотрены достаточно подробно (!801. При исследовании рассогласований необходимо учитывать, как они влияют на общие характеристики ААС. В зависимости от назначения ААС такими характеристиками мо.
гут быть или максимальная, или средняя вероятность ошибки. Когда задана максимальная вероятность ошибки Рош мако, то в ААС при любом сочетании номеров абонентов вероятность ошибки не должна превышать Рош манш Выбор максимальной вероятности ошибки в качестве характеристики ЛАС справедлив для асинхронных адресных систем передачи данных, команд и т. п., т. е. для таких ААС, в которых передача информации должна происходить с вероятностью ошибки, меньшей Раш макс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
