Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Перейдем к рассмотрению этого вопроса. Группа и ее свойство. Допустим, что имеем некоторое множество объектов или элементов. Обозначим объекты через а, Ь, с, ... Определим на множестве бинарную операцию — однозначную функцию 17З двух переменных. Обычно операцию обозначают или как умножение аЬ = с, или как сложение а + Ь = с. Группой называется (см., например, [92, 121)) множество, на котором определена бинарная операция и выполняются следующие аксиомы. 1. Замкнутость. Операция может быть применена к любым двум элементам группы„в результате чего получается элемент группы. 2. Ассоциативность. Для любых трех элементов группы а, Ь и с имеет место ассоциативный закон, т.
е. а(Ьс) = (аЬ) с или а+ (Ь + с) = (а+ Ь) + с. Ассоциативный закон означает, что порядок выполнения операции несуществен и скобки не обязательны. 3. Нейтральный элемент. Существует нейтральный элемент е, который не изменяет результата операции, т. е. ае = а или а + е = = а для любого а. Если операция называется умножением, то нейтральный элемент называется единицей, обозначается 1 и определяется из уравнения 1а = а1 = а.
Если операция называется сложением, то нейтральный элемент называется нулем, обозначается О и определяется из уравнения О + а = а + О = а. 4. Обратный элемент. Существует обратный элемент а такой, что аа = е. При умножении обратный элемент обозначается а г и определяется из уравнения аа ' = а 'а = 1. При сложении обратный элемент обозначается — а и определяется из уравнения а + ( — а) = = ( — а) + а = О. Кроме перечисленных аксиом, элементы группы могут удовлетворять коммутативному закону, т. е. аЬ= Ьа или а+ Ь = Ь + а.
В этом случае группа называется коммутативной или абелевой. Все рассматриваемые в дальнейшем группы коммутативны. В теории групп большое значение имеет теорема о нейтральном и обрат:юм элементах [121). Теор ма. Группа обладает единственным нейтральным элементом и каждому элементу группы соответствует единственный обратный элемент. Доказательство. а) Допустим, что в группе два нейтральных элемента е и е'. Тогда имеем тождество ее' = е = е', т. е. нейтральные элементы совпадают.
Следовательно, в группе один нейтральный элемент. 6) Допустим, что у элемента а имеется два обратных элемента а н а . Имеем равенства а = еа = а аа = а'е = а', т. е. обратные элементы совпадают. Примеры групп. 1. Авдитивная двоичная группа. Состоит из элементов О и 1.
Операция сложения определена по модулю 2 (шоб 2), т. е. а+,'Ь ам =с (шод 2), где= — знак сравнения. Числа а и Ь сравним по шоб р, т. е. а — Ь (шоб р), если а=ор+г, Ь=ар+г, (9.1) где о„оз — любые целые числа; г — остаток, О ( г ( р — 1. Операция сложения в группе определена табл. 9.1. 179 Таблица 9.1 Таблица 92 1 (ции( 2) 3. Аддитивная р-ичная группа. Она состоит из р элементов О, 1, ..., р — 1. Операция сложения определяется по аппо!( р и для р = 5 приведена в табл. 9.3. Нейтральным элементом является О, а обратными являются: для О элемент О, для 1 — 4, для 2 — 3, для 3 — 2, для 4 — 1.
Обратными элементами являются те, которые дополняют элемент до 5 или О, так как 5 = О (пзоб 5). 4. Мультипликативная р-ичная группа. Она состоит из элементов Ь,, Ь„..., Ьа а вида Ь„= ехр (1п 2пlр). (9.2) Таблица 93 Таблица 9.4 0 1 2 3 Ьз ь, ь ь 0 1 2 3 Ьз ь, Ьз Ьа Ьз Ьз 1 2 0 — (пзоб б) 1 ь, ь, Ьз Ьз ь 2 3 4 0 ь ь ь ь, Ьз 0 1 ь ь. ь, 3 4 ьа о ! Ьз Ьз ь ь, ь, ь 180 Нейтральным элементом является О, обратным элементом к О является О, а обратным к 1 является 1, так как 1 + 1 = 2 = О (щей 2).
2. Мультипликативная двоичная группа. Состоит из элементов 1 и — 1. Операция умножения в группе определена табл. 9.2. Нейтральным элементом является 1, обратным элементом к 1 является 1, а обратным к — 1 является — 1. Из сравнения табл. 9.1, 9.2 видно, что они имеют много общего. Если заменить элемент О на 1, элемент 1 на — 1, а операцию сложения по и!Од 2 на умножение, то табл. 9.1 переходит в табл.
9.2. Это свойство сохраняется и при р-ичных группах, Операция умножения определяется следующим равенством Ь„Ь = ехр 11 (и + т) 2Ыр) = Ь„+ . (9.3) Следовательно, умножение элементов Ь„ и Ь изоморфно сложению индексов и и т, входящих в показатели экспонент. Табл. 9.4 определяет операцию умножения. Из сравнения табл. 9.3 и 9.4 следует, что индексы у элементов Ь„ табл. 9.4 образуют табл. 9.3. Нейтральным элементом является Ь„а обратными элементами те, которые дополняют показатель степени до величины, кратной'2и. Обратным к Ьа является Ь„'для Ь, — Ь4, для Ьа — Ьа, для Ьа — Ьм для Ьа — Ь,.
5. Мультипликативная комплексно-сопряженная р-ичная группа. Она состоит из элементов Ь„Ьм ..., Ьл, (9.2), но операция умножения определяется следующим образом: Ь„Ь' = ехр ()и2иlр) ехр ( — 1т2Ыр) = ехр (1 (и — т) х х 2и/р) = Ь„ (9.4) где * — знак комплексной сопряженности. Из (9.4) следует, что комплексно-сопряженное умножение соответствует вычитанию индексов. Но разность и — т = 1 (пюс( р), где О < 1( р — 1, т. е. разности и — т можно привести к значениям О, р — 1, а элементы Ь„Ь к Ье В табл. 9.5 даны разности и — т для р = 5, приведенные к значениям 0,4. Например — 2+ 1— = 4 (пюб 5).
Согласно табл. 9.5 в табл. 9.6 приведены правила комплексно-сопряженного умножения согласно (9.4). Так как Ь, — нейтральный элемент, то Ь, = Ьа. Из табл. 9.6 видно, что элемент Ь„Ь расположен среди элементов Ьь 1 = =О,р — 1. Таблица 9.5 Таблица 96 ь Ь4 Ьа ь Е о Ьа ь, ь Ьа о о ь ь Ьа ь, ь Ь, Ьа Ьа ь, Ь4 Ьо ь ь, Ьа ь, Ьа 6. Полный р-ичный код. Он является группой, так как если в нем определить бинарную операцию, то он будет удовлетворять всем четырем групповым аксиомам.
Определение бинарной операции зависит от представления элементов (сигналов) полного кода. Покажем это на примере. Положим р = 3, а У = 2. Объем полного кода Е = 3' = 9, т. е. он содержит 9 сигналов (элементов). Каждому сигналу может быть поставлена в однозначное соответствие кодовая после- Таблица 9.7 Номер воследовв- тельностн После о- ввтсльность ОО 91 О 2 19 1 1 1 2 2 О 2 1 22 довательность, представляющая запись ее номера в р-ичной системе счисления.
При р = 3 алфавит состоит нз элементов О, 1, 2. В табл. 9.7 приведены номера кодовых последовательностей и их запись. Представление кодовых последовательностей в виде, представленном в табл. 9.7, обусловливает выбор в качестве бинарной операции посимвольное сложение по щоб р = 3. Например, сумма элементов 5 + 6 = 2, так как +29 12 02 (апой 3), в связи с тем, что 3 вм:. О (щод 3).
Таблица 9.8 представляет полную таблицу сложения при р = 3, У = 2 для кодовых последовательностей табл. 9.7. По табл. 9.8 проверим все групповые свойства полного кода. Замкнутость имеет место, так как все элементы табл. 9.8 принадлежат полному коду. Ассоциативность проверяется непосредственно. Например, (5 + 6) + 4 = 2 + 4 = 3. С другой стороны, 5 + (6 + + 4) = 5 + 1 = 3. Нейтральным элементом является О, и для каждого элемента имеется единственный обратный элемент, который в сумме дает О. Следовательно, полный код является группой. Если символы кодовых последовательностей представить в виде (9.2), то в качестве бинарной операции над элементами полного кода следует взять посимвольное умножение согласно соответствующей таблице умножения элементов Ь„, а = О, р — 1.
При этом индексы у получаемых элементов будут соответствовать таблице сложения, аналогичной табл. 9.8. Разложение группы по подгруппам. Если часть группы обладает свойствами подгруппы, т. е. у нее выполняются все четыре групповые аксиомы, то она называется подгруппой. Очевидно, нейтральный элемент подгруппы должен совпадать с нейтральным элементом группы, иначе группа должна была бы содержать два нейтральных элемента, что невозможно. В общем случае, все подгруппы имеют 182 Таблица 9.8 2 3 5 6 2 3 0 4 1 5 5 6 8 0 3 7 6 ! 4 8 8 О 7 2 6 1 0 4 7 2 1 5 (9.5) Перейдем к разложению группы 6 по подгруппе Н в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
