Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Статистические характеристики полного кода Статистические характеристики периодических корреляционных функций. Периодическая КФ, как было отмечено ранее, содержит Л/ слагаемых, т. е. (9.25) можно записать в следующем виде: % йть = — У а!чаи,=Яд (р). и .сы т=! к=мт! (9.51) Назовем п-м начальным моментом /7!та величину !.— ! !.— ! !и+и — ! тп„= !, ~~~~ ~~)' ~~» /1!м (р), /=а ь=о к=»е (9.52) где /.
= рк — объем полного кода; суммы по / и /! с множителями 1//. означают усреднение периодических КФ по всем последовательностям полного кода, а сумма по р с множителем 1/Л/ означает усреднение по сдвигам. Заменяя в (9.52) КФ на вес согласно формуле (9.31), получаем !- — ! т-! Не+и-! ш„ = !, ~Р '~~ ~ ~'Д (р). /аа ь=о к=л1 (9.53) Зафиксируем / и р„положив их постоянными. При изменении й получаем все возможные веса, сумма которых не будет зависеть от /, /! и р,. Поэтому справедливо следующее равенство для тп„(9.53): — !.— ! тп„=- — ~~)' %7= — ~~~ /ф(р), г-а а=о (9.54) !=сапе! На= сала! т.
е. необходимо каждый вес возвести в п-ю степень, просуммировать и разделить на ЕЛ/". Подставляя в (9.54) определение (9.51), получаем 194 Формула (9.50) позволяет находить функцию распределения апериодических КФ, если известны и! (/с', л). Для примера на рис. 9.9 сплошной линией изображен закон распределения величины 1сс (9.47) при Л/ = 1О. Штриховой линией показан нормальный закон распределения с дисперсией, равной среднему значению дисперсий слагаемых в (9.50) (можно показать, что эта кривая соответствует закону (9.47) с п = Л//2). Из сравнения кривых-рис.
9.2 следует, что закон распределения (9.47) отличается от нормального (он имеет большие значения на краях и в центре). (9.55) Полагая п 1, из (9.55) находим среднее значение 1 е — ! и 1 и !.— ! п11= — ~~' "«» а>эаьт = — ~~~' а;, ~ а~ . (9.56) !'.!!! ЕЛ! !=от=! гьа Но сумма по я равна нулю в соответствии с (9.!9). Поэтому среднее значение т! = О. Поскольку т! = О, то второй начальный момент тз совпадает со вторым центральным моментом Мз = о', т.
е. !.— ! и, и О'= — '~' ~~~ а;„аь!! ~~' а!Ч а1,. (9.57) !=а~=! т=! Выделяя сумму по я, имеем и и, /=! о'= — ~~' ~~' а1!!а1„~»' аь„аь„. (9.58) и=! м=! !=о Согласно (9.18) сумма по А равна 0 при т Ф а и равна !'. прн т=а. В этом случае в двойной сумме по а и т необходимо учитывать только слагаемые с и = ч. В результате имеем и — ! и!»!' (9.59) ч=! Так как ранее было предположено, что символы аз, принадлежат к символам вида (9.2)! то (а1,~' = 1 и о' = 1/У.
(9.60) Отметим, что второй центральный момент (9.60) не зависит от объема алфавита (основания манипуляции) р и полностью определяется числом символов Ж в кодовой последовательности. Статистические характеристики апериодических корреляционных функций. Определим п-й начальный момент апериодических КФ следующим образом ь — !ь — ! и — ! — ЯЬ(р), (961) зь а 1=ю з= — !и — М Здесь усреднение по р производится на интервале шириной 2У. Так же, как и в случае периодических КФ, среднее значение т! = = О. Поэтому рассмотрим только т! = М, = о'.
195 Ф йм ()о) = — У а!ьо ак — и. М .йа~ ч=н+! (9.62) Определение (9.62) можно подставить в (9.61) и произвести суммирование, Но можно применить и другой прием (37), используя спектр кодовой последовательности (см., например, (1.106)). Из (1.128) при 11 = 0 и Л = 1! имеем йм (р) = — — ) Н1 (х) Йо (х) е'н' с(х. (9.63) Обратимся теперь к сумме 1! в (9.61). Поскольку Я1о (1!) — 0 при ~р~=нУ, то )чм(1!)= Я Н! (9). (9.64) и= — !!о — 1) н — с~ Определим дисперсию оо из (9.61) при п = 2 следующим образом Š†!Š†! се о'=, '~', ~)' ~~)'„! Р!о (р) 1о. (9.65) !=о о=он=†Подставляя (9.63) в (9.65), получаем „е — ! е — ! в и — О Н1 (х) Нр, (х) Х 1=о о=он= — — н НЗ(у)Но(у) е н!" "! !(хну. Преобразуя, получаем с — ! !.— ! ЦН1(х) Й,(х)х !=о о=о н СО хит(у) Н (у) ~~)7~ е'н!' "! ах!(у.
и=— В теории обобщенных функций известно равенство: (9.66) ОΠΠ— е!но = «~~ 8 (з+ 2пл), 2я (9.6Л и=— 196 Основное отличие начальных моментов апериодических КФ (9.61) от периодических КФ (9.52) заключается в определении самой КФ. В случае периодичесних КФ число слагаемых в (9.51) всегда постоянно и равно У. Это число не зависит от сдвига р. В случае апериодических КФ, как было отмечено ранее, число слагаемых равно Л! — )о, так как где б (х) — дельта-функция.
Заменим сумму экспонент в (9.66) согласно (9.67). При интегрировании на интервале ( — и, и) только один член суммы дает результат, отличный от нуля. Используя фильтрующее свойство дельта-функции, находим ь — ! !.— ! о " = )' ~~ — ~ 1 Н) (х) !' ~ Но (х) ~о !(х. (9.68) 1-оо=о Подставляя в (9.68) выражение для спектра кодовой последовательности (1.106) и производя интегрирование, окончательно получаем 1 е †!!. †! )о и и л — бааь п)а'п)а по, поч~ (9 69) 1=о о=оа=)а=)х=)т-! где символ ! 1 при а — р=Х вЂ” т, 0 во всех остальных случаях. порядок суммирования, перепишем (9.69) в Меняя местами следующем виде: 1 — )гь — ! > ~~)[~ ]6~„.
(9.7о =)а-!х-!о-! ~ !=о о=о В соответствии с условием ортогональности (9.18) сумма по 1' равна нулю при а чь () и равна Е при а = р. Аналогично сумма по й равна Е только при Х = т. Таким образом л л по= ~)' ')' х.о. (9.72) а !1=1 Так как двойная сумма равна Ж'Ь', то окончательно имеем (37, 50) оо = 1/2У. (9.73) По поводу полученного результата заметим следующее. Во-первых, оо (9.73), так же как и о' (9.60), не зависит от р и полностью определяется длиной последовательности У.
Во-вторых, дисперсия апериодических КФ вдвое меньше дисперсии периодических КФ. Докажем этот результат, используя в качестве исходного дисперсию (9.60). Рассмотрим внутреннюю сумму по 1! в (9.61) при и = 2 и выразим ее через веса К)о (р) л — ! л — ! — )с!о 11'") = — "~~ %'!я (р). (9.74) )!= — !)) — ! ) )!- — !)о — ! ) При дальнейшем усреднении по 1' и по й квадраты модулей весов Щ ()!) будут заменены их дисперсиями.
Дисперсия веса Яг" со- 191 гласно (9.31) и (9.60) равна У, т. е. длине последовательности. Если длина последовательности равна а ( У, то и дисперсия веса будет равна и. Но при апериодических КФ число слагаемых, входящих в ее определение, изменяется с изменением р. При Р=О оно равно У, при р = ~ 1 оно равно У вЂ” 1 и т. д. При р = ~ (У вЂ” 1) оно равно 1. Поэтому с учетом последующего усреднения по 1' и й сумму (9.74) можно представить так: л — ! )7,',(н) = ' (У+2(У вЂ” 1)+2(У вЂ” 2)+...+2)= 2!у 2ув в= — !л — и = ' )1+2+...+(У вЂ” 2)+(У вЂ” 1)+ — "1!= — '. (9.75) уз 2] 2ЛГ Подставляя (9.75) в (9.61) при и = 2, приходим к результату (9.73).
Глава 10 ПОЛНЫЙ ДВОИЧНЫЙ КОД 10.1. Распределение корреляционных функций Полный код с основанием манипуляции р = 2 назовем полным двоичным кодом. Хотя он является частным случаем полного произвольного кода с р ) 2 и для него будут справедливы все результаты гл. 9 (при р = 2), отдельное исследование такого кода имеет большое значение по следующим причинам. Во-первых, многие применяемые системы сигналов являются двоичными — они позволяют широко использовать цифровую технику для формирования и обработки.
Во-вторых, для полного двоичного кода получены некоторые дополнительные результаты, которые для р ) 2 в настоящее время не получены. Исследование некоторых свойств полного кода можно найти в работах 137, 85, 110, 111, 121, 138, 160, 205, 229). Интересные закономерности двоичных систем сигналов, близкие к свойствам полного кода, отмечены в работах П41, 1421.
Периодические корреляционные функции. Положим, что двоичный алфавит является мультипликативной двоичной группой, т. е. состоит из символов 1 и — !. Поэтому символы ат кодовых последовательностей равны 1 или — 1. Периодическая КФ, как было отмечено в гл. 9, содержит постоянное число слагаемых в своей сумме. Пусть оно равно У. Произведение а,~а~„при любых /, А, ч, р равно или 1, или — 1.
Вес кодовой последовательности (9.30) в таком случае равен разности между суммой 1 и суммой — 1.Пусть число 1 в 1эз причем ((р'! ( п. При и = У распределение весов (10.4) совпадает с (10.3). Перейдем к следующему значению и = У вЂ” 1. При такой длине объем полного кода равен 2и — ', но число последовательностей остается равным 2и. Это приводит к тому, что каждая последовательность повторяется дважды. В результате каждый вес при и = =- У вЂ” 1 встречается вдвое чаще, чем согласно формуле (10.4). При п = У вЂ” 2 объем полученного полного кода равен 2и з = =- 2и/4 и в результате каждый вес встречается в 2' = 4 раза чаще, чем согласно формуле (10.4). Например, при У = 4, р = 2 матрица я! (9.11) имеет следующий вид: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 (10.5) сумме (9.30) равно Я, а число — 1 равно У вЂ” Я, так как всего слагаемых в (9.30) У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
