Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 40
Текст из файла (страница 40)
для первой линии о,ь — 1,5 10-', а для второй пч, 3 . 10-4. Сравнивая эти требования по допустимому значению о,ь Максимальное число активных абонентов в ААС, как было показано в гл. 4, определяется заданной вероятностью ошибки или эквивалентным отношением сигнал/взаимная помеха и базой используемых сигналов. Из-за аппаратурных рассогласований допустимое число активных абонентов уменьшается. Определим приближенно допустимое число активных абонентов в ААС с учетом рассогласований. Как и в предыдущем параграфе, будем предполагать, что каждый абонент осуществляет некогерентный прием двух ортогональных сигналов с помощью согласованных фильтров иа многоотводных кварцевых линиях задержки. Основным источником рассогласований будем считать различие в фазовых скоростях ультразвуковых волн в различных экземплярах линий задержки, т. е.
различие по времени задержки. Приближенно число активных абонентов 1 определяется по заданному отношению сигнал/взаимная помеха йэ выражением (4.2) Мэ/йэ, (7.43) где М' =  — база ДЧ сигнала; М вЂ” число его импульсов. Вероятность ошибки при рассогласованиях определятся формулой (7.39) и зависит от отношения сигнал/взаимная помеха йээ=йэ[)7Я) [4, (7.44) где 1/7 ($) !э определяется согласно (7.36) при 5 = 4х — 5. Если задана вероятность Рош ($), то задано и йэ. 2 Подставляя (7.44) в (7.43), получаем Мэ ! Д Й) [э/1442 (7 45) с требованиями при оценке ААС по максимальной вероятности ошибки, замечаем, что критерий средней вероятности ошибки является менее жестким, так как допустимые значения а,в могут быть примерно на порядок больше. Когда 5 = О, [/с'($)!э = 1, то 1= = 1маке = М'/йэя.
Обозначая отношение 1/1маке через т, из (7.45) на- ходим Аппроксимируя ! /7 ($) !э параболой, т. е. ! А4 (5) Р = 1 — (э/ээ)~ где $4 —— — 1, 1п/М42, можно найти [53), что плотность вероятности случайной величины т описывается выражением ш(т) = [2п (! — т)[ '/2 о-'Х Х ехр ( — —,) + 25(ч) ~1 — Р ( — )1 при 0 с т .с 1, а о = Мфое/[г46. т = [2Р (1/и) — 1[ (1 — оэ) + + [/2/пп ехр ( — 1/2пэ), (7.48) а дисперсия Мэ(ч/4 = 2а4.
Следовательно, с умейьшением рассогласований среднее значение т увеличивается, а дисперсия уменьшается. Расчеты, проведенные для двух кварцевых линий предыдущего параграфа, показывают, что если допустить уменьшение среднего числа активных абонентов на 104У4, то для первой линии ое должно быть не большее 1О 4, а для второй линнив не более 2 1О 4. Отметим, что такой же порядок допустимых рассогласований приведен в предыдущем параграфе, но он был получен из определения средней вероятности ошибки. Раздел В ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СИГНАЛОВ Глава 6 КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ СИГНАЛОВ ЗЛ.
Комбинаторика и теория систем сигналов В $ 1.1 системы сигналов были определены как совокупности сигналов, объединяемых единым алгоритмом построения. Другими словами, система сигналов — это подмножество некоторого множества сигналов, элементы которого (сигналы) выбираются нз элементов множества в соответствии с принятым алгоритмом или правилом выбора (построения).
В соответствии с классификацией, приведенной в 3 1.2, 1.3, система — это подкласс некоторого класса сигналов. Исходным множеством является соответствующий класс сигналов, из которого производится выбор подкласса или системы. Большое значение в теории систем сигналов имеют исследования упорядочения сигналов системы, выбора сигналов при некоторых ограничительных условиях ит. д., т. е. исследования проблемы перечисления элементов конечного или счетного множества.
В свою очередь эта проблема является основной проблемой комбинатор- ного анализа или комбинаторики [132). Комбинаторика тесно связана с теорией вероятностей, высшей алгеброй и теорией чисел. Применение методов комбинаторики в теории систем сигналов позволяет определить объем системы сигналов„ обладающей тем или иным свойством или ограничением. Для того, чтобы перейти к определению объема произвольной системы сигналов, напомним основные правила комбинаторики. Основные правила комбинаторики. Комбинаторика основана на априорных рассуждениях и следующих двух правилах, по своей природе являющихся определениями, которые «скорее нужно понимать, нежели доказывать» [132[.
Правило суммы. Если объект А может быть выбран гл способами, а объект В другими л способами, то выбор «или А, или В»может быть осуществлен гл + л способами. Следует отметить, что выборы А или В являются взаимно исключающими, т. е. нет возможности выбрать оба объекта одновременно. Методом математической индукции правило суммы распространяется на произвольноечисло объектов. Правило суммы в комбинаторике эквивалентно правилу сложения вероятностей для несовместимых событий (правило сложения см., например, в [104)). Правило произведения. Если объект А может быть выбран т способами и после каждого из таких выборов объект В в свою оче- 170 редь может быть выбран п способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен тп способами.
Правило произведеления также распространяется на произвольное число объектов. Правило произведения в комбинаторике эквивалентно правилу умножения вероятностей как для зависимых, так и для независимых событий (правило умножения см., например, в [104)). Объем класса манипулированиых сигналов. Проиллюстрируем применение одного из правил, а именно правила произведения, для нахождения объема класса манипулированных сигналов.
Как еле дует из классификации манипулированных сигналов $1.5), класс включает все сигналы данного рода с заданными основаниями манипуляций и заданными порядками. При конечных основаниях и порядках объем класса конечен, т. е. он содержит конечное число сигналов данного рода.
Любая система сигналов является подклассом какого-нибудь класса или в предельном случае самим классом. Поэтому, если известны свойства класса, то могут быть известны и свойства системы сигналов. По этой причине, как уже было отмечено, класс является основной классификационной единицей и исследование свойств классов имеет большое значение.
Исследование свойств классов и наиболее важных подклассов сигналов — цель данной книги. Допустим, что класс определяется т манипулированными параметрами и основания манипуляции равны рь 1 = 1, т. Назовем основанием манипуляции класса величину Р= ПРь (8.1) 1 =! Формула (8.1) получена при использовании правила произведения. Действительно, если один параметр (объект) можно выбрать Р, способами, а второй — р, способами„причем независимо от выбора первого параметра, то оба параметра совместно можно выбрать Р,рз способами. Например, если основание амплитудной манипуляции Р, = 2 (!а;„4 = а, или аз), а основание фазовой манипуляции равно р, = 4 (О~„, = О, или Ом или О„или 6,), то, выбирая совместно и амплитуду, и фазу, имеем 8 способов (а,О,, а,йм а,й„а,й„а,йп а,й„а,й„а,О,).
Таким образом, имеем 8 элементов, которые отличаются между собой амплитудами и (или) фазами. Применяя последовательно правило произведения к тп параметрам (объектам), получаем формулу (8.1). Если каждый элемент выбирается одним из р способов (8.1), то число различных сигналов в классе (объем класса), отличающихся хотя бы одним элементом, равно ( Ри (8.2) где Ф вЂ” число элементов. Формула (8.2) получена также на основе применения правила произведения,так как Р способами можно выбрать и первый элемент, и второй, ... и У-й, что равно произведению У сомножителей, каждый из которых равен Р, т. е. р" (8.2). 171 Каждый класс манипулированных сигналов по определению содержит все сигналы с заданными основаниями манипуляции и заданными порядками.
В теории кодирования классы называются полными кодами [111). Если основание манипуляций класса р = 2, то такой класс будем называть полным двоичным кодом, а если р ) 2, то полным произвольным кодом. 8.2. Дискретные частотные сигналы произвольного порядка Комплексная огибающая ДЧ сигнала порядка К определяется выражением (1.73). Такой сигнал состоит из Ф временных элементов, каждый из которых является суммой К частотных элементов. По частоте имеется М возможных значений частот элементов. Поэтому максимально возможное число частотных элементов не может превышать М, т.
е. для К имеем неравенство 1 < К < М. Пример распределения энергии элементов на частотно-временной плоскости был приведен на рис. 1.8. Объем класса ДЧ сигналов порядка К. Обозначим через ром — основание амплитудной манипуляции, а через рем— основание фазовой манипуляции. При этом амплитуда и фаза каждого элемента ДЧ сигнала согласно (8.1) может быть выбрана р = рлмрем способами. К частотных элементов по частоте занимают К позиций нз М.
Так как порядок расположения элементов на К позициях не имеет значения, то размещение К элементов является сочетанием К элементов из М [132), или К-сочетанием. Число таких сочетаний равно биномиальному коэффициенту М! С~= К! (М вЂ” К)! Амплитуда и фаза каждого К-сочетания согласно формулам (8.1), (8.2) может быть выбрана (рлмрем)к способами. Поскольку имеется Смк К-сочетаний из М, то число различных выборов каждого временного элемента (основание манипуляции класса) в соответствии с правилом произведения равно Р = РоСм к к (8.4) Используя (8.2), находим объем класса ДЧ сигналов порядка К: ~к = (РоСм) ° (8.5) В случае ДЧ сигналов первого порядка (К = 1) Смк = М и из (8.5) имеем ~т = (РоМ)н.
(8.6) В этой формуле М является основанием манипуляции по частоте. Объем (.к зависит от четырех параметров: К, р„ М, А!. С ростом М и А! объем Ек увеличивается монотонно, а при изменении К он достигает максимума Т.к „,„, при некотором оптимальном зна- !72 чении К, „которое зависит от значения р,. Найдем К„, и / К макс. Обозначим ук = — ]ь/к. [ (8.7) Ж Из (8.5) имеем у = К)пр,+1пск. (8.8) Поскольку логарифм — монотонно возрастающая функция, то максимум ук „, имеет место при том же значении К„„ что и /.к„,„,. Из (8.8) следует, что' при р, = 1, ук = 1я См и к ук макс = 1я сот, Где (х) — целая часть х, т. е. К [и/2] = М/2. С увеличением р, оптимальное значение К„, растет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
