Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Обозначим элементы группы 6 через д„а„..., пь !, где Ь = ри — объем группы. (В теории групп объем Ь называется порядком группы.) Элементы подгруппы Н обозначим через й„й„..., й, „где 1 — объем или порядок подгруппы. Положим й, = е. Составим упорядоченную таблицу элементов группы следующим образом. В первую строку поместим элементы подгруппы, причем она начинается с нейтрального элемента. Каждый элемент подгруппы появляется в строке один раз.
Первым элементом второй строки может быть любой элемент группы, не входящий в пер- 183 один и тот же нейтральный элемент. Согласно четвертой аксиоме подгруппа должна содержать все свои обратные элементы. В качестве примера рассмотрим табл. 9.8. Из этой таблицы сразу же можно выделить подгруппу, состоящую из элементов О, 1, 2. Можно также выделить подгруппы из элементов О, 3, 6; О, 4, 8; О, 5, 7. Подгруппы имеют большое значение в теории групп, так как они позволяют разлагать группы на более простые структуры. Например, если использовать подгруппу О, 1, 2, то разложение группы (полного кода) с р = 3, У = 2 имеет вид О 1 2 3 4 5 6 7 8.
вую строку. Остальные элементы, получаются в результате выполнения принятой операции; например, при умножении (сложении) всех элементов подгруппы на первый элемент строки. Аналогично образуются и все остальные строки, до тех пор, пока в таблицу не войдут все элементы группы. Такое представление группы дается следующей таблицей, причем в качестве групповой операции взято умножение: ]г,=е й, йг... Аг Йг]го = Йг Йгйг КМг " ЙА-. Й ]го = Йг Йгйг Йг]гг " Йг]г~-г Й~»-г]го = Йг»-г й»-А Йюв-г ]гг " Йт-А-и (9 6) Из (9.6) следует, что число строк равно т, а число столбцов равно 1. Число элементов в (9.6) равно ]т.
С другой стороны, число элементов в группе равно 7.. Поэтому 1, = ]т. (9.7) В общем случае порядок подгруппы делит порядок группы (теорема Лагранжа). Совокупность элементов в строке называется смежным классом, а элемент, стоящий в первом столбце строки — образующим смежного класса. Для разбиения (9.6) известен ряд теорем; основными являются ниже следующие 112П. Теорема 1. Два элемента д и д' группы 0 принадлежат одному и тому же смежному классу по подгруппе Н в б тогда и только тогда, когда произведение Йд' принадлежит Н. Теорема 2.
Каждый элемент группы 6 принадлежат одному и только одному смежному классу по подгруппе Н. Число различных разбиений группы по подгруппам весьма велико (138). Среди различных разбиений отметим только одно, которое назовем натуральным. Заменим последовательности их номерами в р-ичной системе счисления и положим, что объем подгруппы 1 — р» (9.8) причем 0 ( п < У.
Если Ь = р", то 1 делит Е и число смежных классов (включая саму подгруппу) согласно (9.7) равно т ри» (9.9) Расположим все элементы группы в порядке их номеров: 0 1 р» ] р» р»+ 1 р»+ 2 р» +1 2р» ] ьр» йр» + 1 ьр» + 2 ьр» „1 ] (]г+1)р» р" — р" р" — р»+1 р" — р»+2 ... ри — р»+]' рк — 1.
(9.10) 164 Пример такого разбиения был дан в форме (9.5). Оно позволяет представить все сигналы через сигналы с номерами О, 1, 2, ..., р" — 1, р", 2р", ..., (рн —" — 1) р". Всего необходимо знать р" + р"-" сигналов вместо р". Наименьшее число будет прн л = 1У/2). Из (9.10) следует, что при любом р совокупность элементов О, 1, 2, ..., р" ' является подгруппой. 9.2. Ортогональность полного кода а„ам ...
ам ... ас паз пм "° пм .. аь — ка аа„ аг„ ... а;„ ... ас аон а1н ... апт ... ахиЂ н и (9.11) Каждая кодовая последовательность является столбцом матрицы п$. Всего столбцов Ь, а строк У. Каждый столбец получается из предыдущего вписыванием снизу 1, а первый столбец (ам, а,д ... ... аан) = 0 0 ... 0 — состоит из 1т' нулей. Например, при р = 3 и Ф = 1, 2, 3 имеем следующие матрицы: ~0 0 0 ! 1 1 2 2 2~ )012012012~ 000000000111111111222222222 лз= 000111222000111222000111222 ° 012012012012012012012012012 В соответствии с правилом построения и примерами (9.12) матрицу л$+1 можно представить в символическом виде следующим образом: 0 1 ... и — 1 (9.13) '+' л~~ л ...л Здесь верхняя строка содержит столько символов О, 1 и р — 1, сколько содержится столбцов в матрице пнР.
Из приведенных 185 Среди различных свойств полного кода следует отметить его ортогональность, определение которой будет приведено в данном параграфе. Ортогональность позволяет достаточно просто находить статистические характеристики корреляционных функций полного кода. Упорядочим последовательности полного кода. Поставим в соответствие каждой кодовой последовательности Ат = (ал, ..., а и) (1.101) число 1, записанное в, 'р-ичном счислении,' причем 1' = =О, Л вЂ” 1, а объем полного кода Ь = р" (8.2). Представим полный код в виде матрицы п~~. д — 1 Я(п, й) = ~чГ~ а/„З а/д, /=О где З вЂ” знак операции в группе.
Суммы (9.14) при п ~ й можно разбить по наименьшим периодам. Пусть й ) и. Тогда Яд ( Я„и О» ! — ! Г<т+'!Е» 3(п, й) = ~ч; ~ ~ а/„За/д т О 1 /=те» вЂ” !Г < +не» а/„ ~ а/!, т= О /=тод (9.15) Здесь а/„вынесен за знак внутренней суммы, так как за период <!д символ а/„остается постоянным и меняется только при изменении и. Окончательное выражение для 3 (п, й) можно найти, если конкретизировать операцию. Возьмем в качестве символов символы мультипликативной комплексно-сопряженной группы (9.2), (9.4).
В этом случае внутренняя сумма в (9.15) равна <т+!!ед <т+!!е» Ь/д= ~ч"„ехр(1 'и/2и/р)=О. /=те» /- е Сумма экспонент в (9.16) за период равна нулю, поскольку она содержит одинаковое число экспонент вида ехр (!О), ехр (12п/р), ... ..., ехр (Й2и/р), ..., ехр(1 (р — 1) 2и/р). Если внутренняя сумма в (9.15) равна нулю, то и вся сумма д — ! 8(п, Й)= ~ а/„З а/д — О, (9.17) /=О т.
е. строки матрицы пи~ ортогональны. Если положить и = й и в качестве символов а;„взять символы мультиплнкатнвной комплексно-сопряженной группы, то сумма Б (и, и) = Х., так как каждое слагаемое суммы равно единице. Объединяя эти результаты, имеем ~ О при п ~ й, прн п=й. (9.18) Из периодичности строк матрицы ил~ (9.11) следует, что »вЂ ! 8(п)= ~чг~ а/„=О, (9,19) примеров (9.12) и символической записи (9.13) видно, что каждая строка матрицы л~~ содаржнт целое число периодов. Число периодов и-й строки равно р" — ', п = 1, /</.
Длина периода равна — +. Рассмотрим суммы вида 9.3. Корреляционные функции полного кода Корреляционные функции в дискретных точках. В гл. 1 были подробно рассмотрены корреляционные функции (КФ) различных сигналов. В большинстве случаев КФ внешне отличаются значительно. Однако, если рассматривать значения КФ в некоторых дискретных точках частотно-временной плоскости, то их можно привести к одной форме, которая оказывается полезной в исследованиях. Начнем с ВФН ДЧ сигнала порядка К (1.89). Положим х = = (ч — р) И, й = (ухх„— у1„ч) ао, обозначим )Л $=7ЬХя 7/хч.
(9.21) Допустим, что произведение ЛвМ = 2л. В этом случае фаза в (1.89) е (х, й) = О (шоб 2л). При сделанных допущениях из (1.89) получаем Ям(Х,$)=— 1 1УК а1„ч аЬХя. (9.22) ч я-ч — Л тххн=т1кч+1 Суммирование в (9.22) производится по всем ч, удовлетворяющим первому уравнению в (9.21), а пределы изменения р определяются решениями второго уравнения (9.21). Для ДЧ сигналов первого порядка при тех же допущения из (1.70) получаем Яхх(Х, $) =— 1 Ф (9.23) ч я=ч — Л чья 7/ч+1 ГДЕ Х=Ч вЂ” Р, а 5=У~„— Ухнч В случае частотных сигналов при х = О из (1.118) имеем 1 у Я,ц,( — Х)= — У а1ч ам -Ы у хчх ч-Л+1 (9.24) а для дискретных сигналов при л1 = О из (1.125) получаем 1 Й;„(Х)= — Х', анкам, Л.
Ф ч-Л+1 (9.25) 187 Точно так же доказь1вается, что среднее значение произведения любого числа несовпадающих строк матрицы (9.11) Л вЂ” 1 8(п, lг, ...,и)= ~ а,„Яа1лв...<йа1„=0. 1-о Сравнивая выражения (9.22) — (9.25), замечаем, что с точностью до постоянной их можно представить в следующей общей форме: 1 йм= — ~ а1» аья. (9.26) У » я Е(»> В дальнейшем при исследовании статистических характеристик КФ большое значение будет иметь число слагаемых в (9.26). Оно зависит от режима работы радиотехнической системы.
При периодическом излучении одного и того же сигнала, а также при последовательном излучении различных сигналов друг за другом число слагаемых неизменно. С точки зрения характеристик оба эти случаи одинаковы. Поэтому такие режимы работы будем для краткости называть периодическими. Максимальное число слагаемых при периодическом режиме равно !»'. Для частотных и дискретных сигналов периодические КФ определяются из (9.24), (9.25) при Л = О.
Если излучается единственный сигнал или КФ не перекрываются, то такие режимы будем называть для краткости апериодическими. В этом случае число слагаемых зависит от взаимного смещения (сдвига) кодовых последовательностей А1 и Аю Для частотных и дискретных сигналов сдвиг равен Л. Когда Л = О, число слагаемых в КФ равно У, когда Л = — -Е 1, число слагаемых У вЂ” 1, когда Л = ~ 2, число слагаемых !»' — 2, т. е. в общем случае при сдвиге Л число слагаемых равно 7»' — Л, Л = О, ~ (У вЂ” 1). Групповые свойства корреляционных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
