Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Это свойство подтверждается большим числом примеров как одиночных оптимальных ФМ сигналов, так и систем ФМ сигналов, рассматриваемых в данном параграфе. Такое свойство позволяет высказать гипотезу: оптимальные ФМ сигналы следует искать среди множества ФМ сигналов, которые удовлетворяют условию р р,.
В свою очередь, высказанная гипотеза позволяет утверждать, что число оптимальных сигналов при заданном АГ может быть большим. Действительно, из общего числа различных ФМ сигналов, равного 2н, можно найти много сигналов с р р,. Кроме того, эта гипотеза позволяет утверждать, что методы синтеза оптимальных ФМ сигналов могут быть основаны на отборе из всех сигналов наилучших с р р,. Перейдем к доказательству необходимости выполнения условия (11.1).
Связь между спектром фазоманипулироваиного сигнала и числом блоков. На рис. 8.1 приведена комплексная огибающая ФМ сигнала У (1) (действительная функция времени — видеосигнал). Число импульсов (элементов) У, все импульсы имеют одинаковую длительность Аг', т.
е. длительность сигнала Т = УАг'. Амплитуды импульсов равны 4- 1, что соответствует значениям фазы ФМ сиг- 206 нала О или и. Моменты коммутации фазы (нулн комплексной оги- бающей ФМ сигнала) 1 =г(т)М, (11.2) где г (т) — целочисленная функция аргумента т = О, ]». Функция г(т) принимает выборочные значения от г (0) = 0 до г (р) = = У в зависимости от кодовой последовательности ФМ сигнала Например, для сигнала рис. 8.1 М = 9, р = 5, а г (т) принимает значения О, 2, 3, б, 8, 9.
Спектр комплексной огибающей ФМ сигнала записывается в следующем виде: Г и-! 6(в) = — ~1+2 ~ч~ ( — 1)'"ехр( — 1вГ )+( — 1)Яехр( — ]ы1„), т=! (11.3) поскольку спектр единичного скачка есть 1/1а. Вводя обозначение аЛГ= х (11.4) и используя (11.2), из (11.3) получаем а! Г 0(х) = — ~1+2 ~ч~~ ( — 1)'"ехр] — 1г(т) х]+( — 1)иехр ( — !Ух) !х (11. 5) Энергетический спектр согласно определению и формуле (11.5) запишем так: ]б(х) !'= ]Я,(х)]', (11.6) где ] Я~ (х) ] = 1 + ( — 1)»" соз Жх + я-! и — 1 + 2 "" ( — 1)'" соз г (т) х+ 2 '~ ', ( — 1)я+'" соз ] У вЂ” г (т)] х + юл ! т=! и†!я — 1 +2 ~ч"„~ч~ ( — 1) +" ехр( — ! ]г(т) — г(л)]х) (11.7) ги ! ь=! — периодическая функция с периодом 2п, который соответствует периоду по частоте, равному 2ЫЖ согласно (11.4).
Рассмотрим некоторые особенности спектров ФМ сигналов. Эффективная ширина спектра. В работе [47] было отмечено, что с увеличением числа нулей происходит смещение спектра комплексной огибающей ФМ сигнала в область более высоких частот. Имеется в виду смещение той части спектра, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала, поскольку принципиально спектр ФМ сигнала тождественно не равен нулю (за исключением множества точек с мерой нуль) на всей оси частот. Для определения смеще- 207 ния спектра можно использовать понятие эффективной ширины спектра )р'вфф (см., например, (3, 1771), которая определяется соот- ношением В',*фф= ~ гоа)6(ат)1аб(го / ~ !6(го))а1йо.
(11.8) ее ( ее В случае ФМ сигналов интеграл в числителе расходится и определение (11.8) не имеет смысла. Но учитывая, что основная часть энергии ФМ сигнала сосредоточена между первыми нулями (го = ~2п/Л/), то бесконечные пределы интеграла в числителе можно заменить на +. 2п/М. Переходя к переменной х (11.4) и учитывая, что)6(х)1а — четная функция, а интеграл в знаменателе (11.8) равен 2п/т/И, определим эффективную ширину спектра ЯУн,фф комплексной огибающей ФМ сигнала с )ь блоками следующим образом: ап 1(уй вфф = 1 Ха~ 6(Х)!а б(Х.
м/т' (а/)е ап йрм'афф = $ )(бм(х))аа(х, о (11.10) т. е. при таком определении Ю'мв,фф пропорциональна интегралу от периодической функции (11.7) за период 2п. После интегрирования находим Яуйвфф= (2р — 1), а и'нефф=в ив а/,/ м Следовательно, чем больше блоков имеет ФМ сигнал, тем больше )ртм,фф.
В табл. 11.1 приведены значения ят,„,фф для нескольких ФМ сйгналов, существен- но отличающихся друг от Эффектквнаа шнрвна спектра нп вфф Ч вело блоков и Внд ФМ снгнала Прямоугольный импульс Меандр 2//т/)г У 1 8/лг)х Х )' 1 — 1/2/У 2//т/ 2/аг Оптимальный Идеальный (/г1+1) /2 208 Подставляя (11.6) в (11.9), получаем друга по своей структуре. В первой строке табл. !1.1 приведены данные для прямоугольного импульса длительностью Т = = /т//1/, имеющего всего один блок ()ь = 1). Чем больше /1/, тем меньше Я7„=1 вфф. ЭтОт ПРИМЕР соответствует ФМ сигналу, имеющему наименьшее число блоков. Во вто- рой строке табл. 11.1 приведены данные для ФМ сигнала, имеющего наибольшее число блоков р = /!/.
Этот ФМ сигнал (меандр) представляет последовательность знакопеременных импульсов. Для меандра1пп В'„,ьь=) 6/А/, чтоявляется максимальным л "+ ао значением !Р„ээ. В третьей строке приведены данные для оптимального ФМ сигнала,у которого р = р = (й/ + 1)/2. Для такого сигнала Я7„',ээ в два раза меньше максимального. Таким образом, эффективная ширина спектра оптимальных ФМ сигналов лежит примерно на середине между значениями, соответствующими двум крайним значениям для прямоугольного импульса и меандра. В последней строке приведено значения эффективной шириныспектра идеального (гипотетического) сигнала, состоящего из А/ импульсов, энергетический спектр которого совпадает с энергетическим спектром одиночного импульса длительностью Лй ~ 6 (х) !з = А/ ! 5 (х) !й, (11.12) (11.14) (11.15) (11.16) 209 где энергетический спектр одиночного импульса ~ 3 (х) ~' = [2 (А/)'/хЧ (1 — соз х).
(!1.13) Множитель А/ в правой части (11.12) получен из условия равенства энергий. Подставляя (11.12), (11.13) в (11.9), находим Тг'„ = 2ЙИ, что совпадает с эффективной шириной спектра оптимального ФМ сигнала. Отметим, что АКФ идеального сигнала вообще не имеет боковых пиков. Поэтому совпадение В'„ ээ для идеального и оптимального сигналов имеет большое принципиальное значение и является подтверждением высказанной ранее гипотезы о том, что у оптимальных ФМ сигналов число блоков р должно быть близко к р . Квадратическое отклонение между энергетическими спектрами идеального н оптимального сигналов.
АКФ любого сигнала полностью определяется его энергетическим спектром (1.23). Энергетический спектр идеального (гипотетического) ФМ сигнала, АКФ которого не имеет боковых пиков, определяется выражениями (11.12), (11.13). Чем ближе энергетический спектр произвольного ФМ сигнала к энергетическому спектру идеального сигнала, тем меньше будет отличаться АКФ произвольного сигнала от АКФ идеального сигнала (см., например, (25)). Сравнивая энергетические спектры этих сигналов (11.6), (11.7), (11.12),(1!.13), замечаем, что они имеют общие множители 2 (А/)'/х' и периодические множители, определяющие структуру сигналов.
Поэтому в качестве критерия приближения произвольного ФМ сигнала к идеальному можно использовать квадратическое отклонение 2и где 6(А/, р) =- ('А~(,,),(х, Л (х) = !Я„(х) !' — !Д„(~) !', !Е.(.)! =,Ч(1-соз".). ' Лх = А — В (х) где А — постоянная величина, равная А=У вЂ” 2р+1, (1!.18) а В (х) — периодическая функция„не содержащая постоянных со. ставляющих: я — ! В(х) = Усозх+( — 1)ясозУх+2 ~я~~ созг(и)х+ и — ! + 2 ~ч'„( — 1)я+'" соз [У вЂ” г (т)) х+ т=! и-!и†! +2 ~ч'„~ч; ( — 1)'"+'ехр( — 1[а(л!) — з(й)[х).
!-!а-! (11.19) Подставляя последнее слагаемое в виде суммы косинусоид, имеем я — ! В(х) = Усов х+( — 1)!'соз Ух+2 ~', ( — 1)"' х т 1 я-! х соя г(т) х+2 ~ ( — 1)я+'"соз[У вЂ” г(т)) х+ м= ! и-з я-! + 4 ~ч~ ~ч~ ( — 1)' соз [г (т) — г (т — !)) х. (11.20) !- ! -!+! Общее число гармоник в (11.20) равно ,7 = 2 р + ([! — 1) (р — 2)/2.
(11.21) Если р )) 1, то 7 р!72, Представим (11.20) в следующем виде: В(х) = ~ ач сов!7х, (11.22) д-! где ,lч а,= Хь„ (11.23) /-! — амплитуда д-й гармоники, а Ь,! = ~ 1. Знак определяется фазой (О или и) косинусоиды с частотой д из суммы (11.20). При записи (11.20) в виде (11.22) выполняется условие (11.24) т ! 210 Функция ! 9„(х) !' (11.16) определена согласно (11.12), (11.13). Подставляя в (11.15) правые части выражений (11.7), (11.16) и выделяя постоянные составляющие, можем записать Л (х) в следующем виде (11.17) Подчеркнем, что некоторые а могут быть тождественно равны нулю в том случае, если в сумме (11.20) нет составляющих на соответствующих частотах !7. Подставляя (11.22) в (11.17), а (11.17) в (11.14) и интегрируя, получаем (11.25) 6 (У, р) = А' + В, где В= — „~~' а,'.
(11.26) г=! Величина А (11.18) зависит только от У и (г, а  — от структуры сигнала (от вида функции г (и)). Поэтому найти значение В можно только для конкретного сигнала. Однако, если предположить, что сумма (11.23) образуется слагаемыми, знаки которых равновероятны, то можно найти среднее значение В и, следовательно, 6 (У,)!).
Будем считать, что Ьдг —— 1 или — 1 равновероятно. В этом случае среднее значение и! (Ь,!) = О, а дисперсия М, (Ь,!) =,1. Поскольку по определению среднего значения 6 (У, 1!) = гп, (6 (У, р)) = А'+ гп, (В), (11.27) и! и н т,(В) = — '~'„ тг(а,') = — ~~)' М,(а,) = — ~~' У„ (11.28) ч-! д 1 ч=! то подставляя (11.28) в (11.27) и используя (11.18), (11.21), (11.24), находим, что 6 (У, 11) = (У вЂ” 2р + 1)а + (р — 1) (1! — 2) /4 + 1!. ~(11.29) Обозначая Л = и/У, а = 1/У, !р (Л) = 6 (У, 1!)/Уэ, (11.30) перепишем (11.29) в следующем виде: <р (Л)=(1 — 2 Л+ а)э + (Л вЂ” а) (Л вЂ” 2 а)/4 + аЛ.
(11.31) Если У -!- ао, то величина а -!- О. При этом !р (Л) = (1 — 2 Л)з + Лэ/4 = (17/4) Лз — 4Л+ 1. (11.32) Минимум функции (11.31) имеет место при значении Л = Л, = (1 + с!)/2,125 + а/34, (11.33) При больших У значение Л,-~ 1/2,125 0,5. Такое Л, согласно (11.30) соответствует значению р ~ У/2, что практически совпадаег с величиной )!э (11.1). В окрестности минимума функция !р (Л) меняется слабо. Это означает, что оптимальное значение р не обязательно должно точно совпадать с р,.
Отметим также, что точное равенство р = 11, возможно, если А = О. 211 Таким образом, если число блоков в ФМ сигнале близко к ро (11.1), то отличие энергетических спектров идеального и реального сигналов будет наименьшим в статистическом смысле. Это означает, что такие ФМ сигналы должны быть оптимальными. В работе [30] рассмотрено большое число различных оптимальных сигналов и показано, что все они удовлетворяют условиям (11.1).
К таким сигналам относятся сигналы Баркера, минимаксные периодические последовательности (М-последовательности, последовательности Лежандра и Якоби), минимаксные апериодические последовательности с амплитудной манипуляцией и др. Примеры указанных последовательностей можно найти в работах [3, 14, !5, 23, 25, 105, 136, 156, 162, 183]. Условию (11.1) удовлетворяют и известные системы ФМ сигналов, обладающие хорошими взаимокорреляционными функциями (ВКФ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
