Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Оба эти максимума равны й7. Соответственно, максимум спектральной плотности мощности ра- вен д1э. У остальных последовательностей максимумы спектров ле- жат между значениями х = 0 и х = и. При исследовании спектральных свойств системы Уолша целе- сообразно использовать двоичное (или диадное) упорядочение ко- довых последовательностей [108).
Это показано в табл. 12.3. В первом столбце табл. 12.3 дан номер последовательности й в десятичной системе счисления, а в трех последующих — в двоич- 227 ной системе. Кодовые последоватедьности (Ьа(п) ) содержат младший разряд справа, а число символов в них равно 1ода У. В пятом столбце указано число блоков р, а в шестом — номер 1-строки матрицы Адамара, приведенной в табл. 12.1.
Используя последовательности (Ьв(п)), можно представить спектр кодовой последовательности Н, (х) (1.98) в следующем виде'. Н„(х)= П [1+( — 1)'а'"'ехр( — 12" х)~. (12.13) где 5 определено (12.10). Подставляя последовательности (Ьа (л)) в (12.13), можно найти спектры кодовых последовательностей Уолша; число блоков в та- ких последовательностях при- ведено в пятом столбце табл. 12.3. Сигналы Уолша рис. 12.1 аа оа лы Уолша позволяют широко и просто использовать цифровую технику при формировании и обработке, что делает их весьма перспективными. Возможен даже полный перевод всех каскадов радиотехнических систем, включая мощные каскады передатчиков, на работу в дискретном режиме, вплоть до излучения сигналов Уолша 11781.
Как было отмечено ранее, корреляционные свойства систем Уолша нельзя признать удовлетворительным. Но на базе систем Уолша можно строить производные системы сигналов, которые обладают хорошими корреляционными свойствами. Перейдем к рассмотрению производных систем. Производным сигналом называется сигнал, который получается в результате перемножения двух сигналов. В случае дискретных сигналов перемножение должно осуществляться позлементно нли, е Формула 112.18) была выведена Г. О. Бнревой. 228 12.2.
Производные системы сигналов имеют много общего с тригонометрическими функциями. Особенно зто видно при сравнении положений нулей спектров сигналов Уолша и нулей спектров тригонометрических функций. Общность между ними подчеркивалась неоднократно 147, 49, 108, 178!. В отличие от тригонометрических функций„ сигна- как чап1е называют, посимвольно. Система, составленная нз про. изводных сигналов, называется производной. Среди производных систем особое значение имеют системы, построенные следующим образом. В качестве основы используется некоторая система сигналов, корреляционные свойства которой не вполне удовлетворяюттребованиям к КФ, но которая обладаегопределенными преимуществами с точки зренияпростотыформировапия и обработки.
Такую систему будем называть исходной. Затем выбирается сигнал, который обладает определенными свойствами. Такой сигнал будем называть производяи1им. Умножая производящий сигнал на каждый сигнал исходной системы, получаем производную систему. Производящий сигнал следует выбирать так, чтобы производная система была действительно лучше исходной, т. е. чтобы она обладала хорошими корреляционными свойствами. Эмпирически такой метод был предложен в !96, 135!.
В работе (135) используется система Уолша (код Рида — Мюллера), каждый сигнал которой умножается иа один и тот же заранее выбранный производящий сигнал. В результате получена новая система сигналов, у которой боковые пики ВКФ в среднем меньше, чем у исходной системы. В 11351 построена только одна система, а относительно производящего сигнала отмечено, что его автокорреляционная функция (АКФ) должна иметь относительно малые боковые пики. В (961 для построения системы сигналов используется длинная М-последовательность, из которой вырезаются неперекрывающиеся сигналы (сегменты) меньшей длины. Какой должна быть длина сегмента в (961 не указано. Несмотря на кажущееся сильное различие между приведенными методами, они основаны на одном общем интегральном свойстве ВКФ.
Для начального подтверждения этого факта отметим, что вырезание сегмента из М-последовательности означает умножение ее на производящий сигнал в виде прямоугольного импульса с длительностью, равной длине сегмента. Теоретическое обоснование такого метода было дано в работах 132, 481, а сравнение исходных и производных систем — в 130, 311. Перейдем к исследованию производных систем сигналов.
Корреляционные функции производных сигналов. Комплексная огибающая производного сигнала 5" (1) равна произведению комплексных огибающих исходного сигнала У (1) и производящего сигнала !'„(1), т. е. У.' (1) = и„(Г) У„(1). (12.! 4) ВФН сигналов У' (1) и о„'(1) по определению, согласно (1.18), (1.20) равна СО 1~н' (т, й) = — „~ Зи (г) Я' (1 — т) ехр (И1) аг' = 1 с~ — — ~ (У„,(1) У„(1 — т) К„(1) 1', (г' — т) ехр(!1й) йг'.
(! 2.15) Здесь Ез — энергия производных сигналов (12.14): (12.16) Полагаем, что Ез одинакова для всех сигналов (12.14). Вводя в (12.16) дельта-функциюе ОО б (г) = — ~ ехр (! !х) с!х, (12.17) 2н,! получаем СО ~,Н~~ (т, Я) = — О У (!) (7„(! — т) ехР (!ь1(,) ['» (!т) [г, (1,— т) Х ОО Х б (Г, — !) йй = 4Е О У„(!) У„(! — т) ехР ( — !х~) й Х 1 СО Х ~ У» (Гт) $', (!т — т) ехР [! (х+ьс) 1,[ йт с[х.
(12.18) ОО ВФН сигналов — сомножителей правой части (12.14) — равны: СО Я„„(т,41) = е 1 У„(!) У„(! — т) ехр(!ь1!) й, (12.19) 2Еи СО ОО !С»О( ")= 2Б ~ Р»(!) [' (! — т) ехр(!Ы!) й, (12.20) — ОО где Ец, Ен — энергии сигналов У (!) и У» (!), определяемые соотношениями, аналогичными (12.16). Используя (12.19), (12.20), из (12.18), находим СО 1;!Р""(т, !1) = ~ й (т, — х) Я»„(т, х+41) с[х. (12.21) 5 Положим 41 = О. Тогда ВКФ Я»" (т) = ~ Я„а(т, — х) Й»,(т, х) с!х. (12.22) ОО ' Данный метод впервые предложен Б.
А. Фогельсоном. 230 Если р =- т, то, обозначая АКФ Я„„= Яю нз (12.22) получаем (~ „(т) = ~ ~ И „(т,— х))Ь(т,х)дх. (12.23) пнз Если т = п, то, обозначая АКФ Я = Яи, получаем Я (т) = ~ Ри (т, — х) Йь' (т, х) дх. (! 2.24) ЕоЕг г яЕз — ОО Соотношения (12.22) — (12.24) позволяют определять оценки ВКФ и АКФ производных сигналов. Отметим, что в (!2.22)— (12.24) интегрировать необходимо на интервале (обозначим его ширину через Ф), где подынтегральные выражения отличны от нуля. Используя неравенство Буняковского — Шварца, из (12.22)— (12.24) получаем Епйв / !Щ'„(т)( " ~ ~ ~)71 „(т,— х)!'дх~)й„,(т,х)!'с(х; (1225) 8 Ф Ф Яши (т) ~~ 1/ ~ ! Лсил (т х)! ~Ь ~ ! )Ь (т, х)!'с~х; (12.26) 0(т) ~ — Ф/ ~! Йи (т, — х)!' г(х ~ ! Як (т, х)!' г(х.
(12,27) "~з 1 э Оценки (12.25) — (12.27) во многом зависят от соотношения ширины ВКФ исходных и производящих сигналов вдоль оси доплеровских частот, т. е. от значения Ф. Широкополосный производящий сигнал соответствует получению производной системы сигналов из системы Уолша, а узкополосный производящий сигнал — системе, состоящей из сегментов М-последовательности.
В данном параграфе рассмотрен случай широкополосного производящего сигнала, а случай узкополосного производящего сигнала — в следующем параграфе. Широкополосный производящий сигнал. Пусть исходные и производящие сигналы имеют одинаковую длительность Ти = Тк.=Т и различные по ширине спектры. Обозначим ширину спектра исходных сигналов через Го, а производящих сигналов — через гю причем положим, что г» ) Ец. Пусть все сигналы имеют прямоугольные огибающие, а ) 1/ ) = 1. Тогда ЕиЕг7Ез =-Т(2. Допустим, что ВФН исходных и производящих сигналов равномерно распределены на плоскости (т,й).Тогда среднеквадратические значения ВФН согласно (1.33) равны пл, =172) Ёи ТТ, ояич =1!2 1~Тк Т (1223) 23! (12.29) Так как Р» ) Рц, то ширина ВФН исходных сигналов по оси й меньше ширины ВФН производящих сигналов и поэтому Ф = = 4 иРи. Заменяя в (12.25) [ Я „„(т, — х) [ и [ Я„, (т, х) [ их средне- квадратическими значениями, получаем а:„()~"„„.",, = — ', ~Г" — ' Из неравенства (12.29) следует, что значения ВКФ производных сигналов при произвольном аргументе т меньше или равны 0,5 х х У Рс~~Ру.
Это означает, что и максимальные пики ВКФ будут меньше этого значения. Следовательно, для уменьшения максимальных пиков ВКФ необходимо увеличивать ширину спектра производящего сигнала. Такой результат является следствием предположения о равномерном распределении боковых пиков ВФН производящих сигналов на плоскости (т, 12) в пределах полосы частот ~ Р». Из (12.29) следует, что метод перемножения сигналов приводит к уменьшению боковых пиков ВКФ производных сигналов, если только база производящих сигналов Р»Т больше базы исходных сигналов настолько, что У Р~~Т:- РпТ.
Это объясняет результат работы [135), где в качестве исходных сигналов использовались сигналы Уолша с шириной спектра Рп ~ 1!Т и длительностью импульсов Т7А7, У вЂ” число импульсов в сигнале (в [135) Ф = 16). Производящий сигнал выбирался по АКФ. По-,видимому, ФН выбранного производящего сигнала в работе [135) обладала малыми боковыми пиками, также как и его АКФ.
Уменьшение максимальных пиков ВКФ. Соотношения (12.22)— (12.27) позволяют обосновать метод уменьшения максимальных пиков ВКФ. Допустим, что ВФН исходных сигналов занимают полосу Ф, ширина которой по оси частотмала. Так, например, если исходные сигналы близки к простым (ГпТ 1), то Ф 4 п~Т. Можно допустить, что вне этой полосы ВФН исходных сигналов стремятся к нулю. В этом случае из неравенства (12.25) — (12.27) следует, что необходимо как можно сильнее уменьшать значения ФН производящего сигнала в той полосе, где сосредоточены ВФН исходных сигналов. Если в соответствии с (12.29) для получения К~ (( 1 имеет место неравенство г» .р ги, (! 2.30) то полоса частот шириной Ф = 4 пРп будет узкой по сравнению с шириной ФН производящего сигнала по оси частот.
Причем эта полоса Ф является центральной временной полосой [29). Поскольку в узкой центральной временной полосе боковые пики близки к боковым пикам вдоль оси времени т при й = О, то в качестве производящего сигнала следует выбирать такой, у которого АКФ имеет минимальные боковые пики. Естественно, что при этом должно выполняться условие (12.30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
