Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(12.93) /, Д. 2, 247 Система минимаксных сигналов удовлетворяющих условию' (12.93), неизвестна. Приведем найденные системы, близкие к минимаксным. При решении этой задачи используем неравенство, полученное в теории чисел [63[ для оценки модуля тригонометрической суммы. Пусть целое число )У ) 6 и функция Ф (ч) такова, что при некоторой Л ) 0 и любом а = 1, Ж вЂ” 1 справедливо неравенство [м — ! о=~ 2 чм.*(.— ')~ ч=о г) (!2.94) В этом случае имеет место следующее неравенство: ! и — ь ! [ !и Ф (ч)[ < ~~', Ф (ч) + 56, 1 ч= о (!2.95) где 6 определяется согласно (!2.81).
Полагая Ф (ч) = ехр (! [81 (ч + ц — Оь (7)Ц, (!2.96) замечаем, что в соответствии с (12.92), (12.95) ! гг — ! 1 ь(Х) [< ~ч ', Ф(ч) + Л6, (12.97) ч=о Оценка первого слагаемого сверху равна Л согласно (12.94),чтообъясняется характером Ф (ч) (12.96).
Поэтому 111ь (й) ! < А (1+ 6). (12.98) Неравенство (12.98) позволяет свести (12.93) к следующему условию. Так как 6 (12.81) не зависит от фазовой кодовой последовательности (81 (ч)), то для уменьшения правой части неравенства (12.98) необходимо определить такую последовательность (81(ч)), у которой Л минимальна Можно указать следующее решение этой задачи. Обозначим фазовую кодовую последовательность, равную разности фазовой кодовой последовательно. сти 1-го сигнала и циклически сдвинутой фазовой кодовой последовательности й-госигнала, через 248 (81„(», л))=(81( +)<)) — (Оь( )). (12.99) Соответственно фаза равности равна О„(, й) =О,( +Д) — О,( ). (!2Н00) Введем ненормированную периодическую АКФ последовательности (!2.99): и†1 Ув (Р) = ~Л'.! ехр (! [81 (ч+" +[с) ч=о —,81, (ч+р) — 81(ч+Х)+Ов (ч)Ц.
(12.!01) Выразим квадрат левой части неравенства (12.94) через АКФ Уо (р). В соответствии с (12.94), (12.96) имеем и — 1Я вЂ” 1 [1Р= ~ЧР~ ~~', ехр(1 [81(ч+ь)— ч=о ч=о — Оь (ч) — 81 (з)+ь)+Оь (ч[)])х о Х ехр [! 2п — (ч — ч))~. (12.!02) В двойной сумме (12.!02) соберем вместе слагаемые, для которых выполняется сравнение и = ч) + р (шоб )У). (12.!03) В результате получим и-! [1['=!у+ ч", Уо(р) ехр~12и — )1). р=! ' У (! 2. 104) Если Уо ([г) = У = сонэ[, то сумма и — 1 Ув (р) ехр (1 2и — )ь) = в !т — ! ехр ! ! 2п — р) — У= — У. ( (12.105) Если У = — 1, то в соответст вии с (12.104), (12.105) [ 1[ = У' Ф + 1. (12.106) Для У = 0 из (12.104) получаем [ 1 ! = "'у'гч. (12.107) Из (12.105) следует, что дли уменьшения 11 !в необходимо иметь Таблица 12.7 Объем системы КоэфФициент Оцени» ВКФ л=2; сээ=!,У вЂ” ! ()у !) ул — 3 1ул/2 периодические АКФ с положительными боковымн пиками.
В соответствии с (12.90)— (12.92), (12.98), (!2.106), (12.107) для А! » 1 имеем оценку для ВКФ /!мино ( (1/ [Г Ф) (1 + 6) (12 108) Пример системы. Неравенству (12.108) удовлетворяет система кодовых последовательностей (а/ (т)), символы которой определяются из сравнения второй степени: а/ (и) Ю ! те + сит + се (шод Л/), (12. 109) где ! =- 1, !и' — ! — номер последовательности; сы се — целые числа и = О, /У в 1; А/ — простое число. Например, при А! = 11, сэ = с, = = 0 имеем 0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 0 2 8 710 6 610 7 8 2 0 3 1 5 4 9 9 4 5 1 3 0 4 5 3 9 1 1 9 3 5 4 0 5 9 1 3 4 4 3 1 9 5 0 6 210 8 7 7 810 2 6.
0 7 6 8 2 10 10 2 8 6 7 0 8 10 6 7 2 2 7 6 10 8 0 9 3 4 1 5 5 1 4 3 9 0 10 7 2 6 8 8 6 2 7 10 (12.110) Каждая строка (12.110) является кодовой последовательностью (а~ (т)). Лля систем (12.109) при р = А! периодическая АКФ (!2.101) каждой последовательности имеет нулевые боковые пики. Следовательно, лмэо' с !и = 1 л/ — ! ! сЛ л- э = 0 остальные с/э = О, л/ — 1 а )~ — четное: О,л! — 1 при четных з; с/е = 0 при нечетных з для систем (12.109), (!2.110) справед-.
лива оценка (12.108]. Большие системы многофазных сигналов. В работе [72) приведены методы построения систем многоазных сигналов, обьем которых » А!. Положим в (12,87) р = эу, т. е. 2пг В! (т) = — а/ (т), (12. 111) А/ где и и й/ — взаимно-простые числа. Определим символы а/ (и) кодовых последовательностей через сравнение л-й степени: а/(т) == ~я~ с/эти+сит+ и= — 2 +со(шоб й/), (!2.112) где с!е = О, /У вЂ” 1 не равны нулю одновременно; см с, — произвольные целые числа: т = О, У вЂ” 1; л ( !у; й/ — простое число; /— номер сигнала.
Символы а/(ч) лежат в классе наименьших неотрицательных вычетов по модулю числа У. Любые две последовательности, оцределяемые сравнением (!2.!12), отличаются друг от друга хотя бы одним из коэффициентов с/м пРичем все с/э не равны нулю одновременно. Поэтому максимальный объем системы /. =/е'л х — 1. (12.113) Свойства систем сигналов зависят от тех ограничений, которые могут быть .предъявлены к коэффициентам с/и В работе [72[ этот воп- рос рассмигрен подробно.
Приведем окончательные результаты в виде табл. 12.7 (см.[72], табл. !). На первой строке табл. 12,7 приведены данные системы (12.109) объема 1т' — 1, а во второй и третьей строках приведены данные систем большого объема или больших систем. Как следует из оценок ВКФ табл. 12.7, увеличение объема си. стемы приводит к ухудшению корреляционных свойств. Глава 43 СИСТЕМЫ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ 43.4. Системы частотных сигналов а=о 67 (со) =- ~~~', аз (т) Я (со — тгаш), где Ф (1) — огибающая отдельного элемента, а 5 (ш) — ее спектр. Квадрат огибающей частотного сигнала равен квадрату модуля комплексной огибающей, т. е.
(Уу(1)!' = Ф'(г)(7(1)1', (13.3) (13.2) Огибающая частотных сигналов. Как было показано в 2 !.4, частотные сигналы дуальны к дискретным сигналам с точностью до поворота частотно-временной плоскости на л/2. Это означает, что все временные соотношения заменяются на частотные, а частотные на временные. Например, дискретные фазоманипулированные сигналы обладают прямоугольной огибающей, но их амплитудные спектры могут быть неравномерными.
Примеры спектров дискретных ФМ сигналов можно найти в (25, 105). В свою очередь, частотные ФМ сигналы будут иметь равномерный амплитудный спектр, но огибающая таких сигналов будет иметь глубокую амплитудную модуляцию. Амплитудная модуляция огибающей в большинстве случаев нежелательна, так как приводит к дополнительным энергетическим потерям. Поэтому при простом применении принципа дуальности и переносе свойств дискретных сигналов на свойства частотных полученные частотные сигналы могут не удовлетворять требованиям практики. В результате всегда необходимо применять меры по улучшению огибающей частотных сигналов, т. е. по уменьшению нежелательной амплитудной модуляции.
Рассмотрим частотные сигналы с одинаковыми элементами. Комплексная огибающая таких сигналов определяется согласно (1.93), а ее спектр согласно (1.94). Изменяя нумерацию элементов, имеем следующие формулы для комплексной огибающей и ее спектра: и — 1 Уу(1) =Ф(1) У ат(т) ехр((тбш1), (13.1) где »! !л — ! !1(/) ['= ~ч~ »: ат(т) а,(г!) ехр[!Ло»1(т — т!)). (13.4) «=о ч=о т ом«[+ [«(п!оо[ У).
(13.5) Введем ненормированную периодическую АКФ кодовой последовательности (ат (т))! и — ! Э '«'т (р) = Х а» ( + [!) а! ( ). (13.6) Используя (13.5), (13.6), из (13.4) получаем и — ! [1(/) ['= '»', [/! (р) ехр !!Ьо»/!«). о=о Если положить, что (13.7) !« — 1 ~я~ )а (о)!»=А/, «-о (13.8) то из (13.7) находим. »! — ! [1(/) [»=/[/+ ~ч', 1/т(!«!ехр(!До»/р). (13.9) н-! В дискретные моменты времени 1 = о/2я/А!Лы», (13.10) 25! Из (13.3) следует, что огибающая определяется огибающей элемента Ф (/) и модулем [ 1 (/) [. Выбор элемента Ф (1) определяется многими факторами. Вопервых, огибающая самого сигнала согласно (13.3) определяется произведением Ф (/) [ 1 (!) !.
Поэтому принципиально возможно получить ослабление «осцилляции» модуля [ 1 (/)[ путем разумного выбора Ф (/), т. е. можно потребовать, чтобы Ф (/) была согласована с ! 1 (/) [. Во-вторых, огибающая Ф (/) определяет перекрытие спектров элементов в (13.2). Например, если Ф (/) — прямоугольный импульс, то спектр 8 («о) описывается функцией вида ейп х/х, которая имеет бесконечную протяженность. Если спектр Я (о») — прямоуголен и спектры элементов не перекрываются, то тогда Ф (/) описывается функцией вида з[п х/х и сигнал имеет бесконечную протяженность. В-третьих, перекрытие спектров элементов в (13.2) приводит к необходимости сложного суммирования в определениях корреляционных функций частотных сигналов.
Рассмотрим теперь влияние [ 1 (/) ! на огибающую частотного сигнала [69). В двойной сумме (13.4) сгруппируем вместе слагаемые, номера которых удовлетворяют сравнению (12,111), т. е. положим где !7 и А! — взаимно-простые числа, имееМ !ч — 1 !7(!) !!=У+ ~~~У!(р)ехр(!2п ч !д), (13.1!) !с= ! что полностью совпадает с формулой (12.104). Наименьшее отклонение от постоянной составляющей (13.8), равной У, будет в том случае, если $'; (р)— = 0 при всех д, т. е.
тогда, когда АКФ $"~ (!с) имеет боковые пики, равные нулю. Это возможно для многофазных кодов ФРэнка 074!. При этом частотные сигналы должны быть и многофазными. Если кодовая последовательность (а, (ч)) двоичная, то наименьший пик-фактор у огибающей частотного сигнала будет в том случае, когда в качестве кодовых последовательностей используются последовательности Баркера и М-последовательности. Расчеты" показывают, что для последовательностей Баркера с У = 7 и )у = = 11 пик-фактор равен 1,3 и 1,1 дБ соответственно, а для других последовательностей Баркера пик-фактор лежит в пределах 1,8— 2,8 дБ. Для М-последовательностей с У = 15, 31, 63 пик-фактор равен соответственно 2,8; 3,6; 4,1 дБ, причем выбросы огибающей буду~ в промежутках между дискретными моментами времени (! 3.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
