Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Частотное сечение ФН Я» для производящего сигнала (12.33) имеет следующий вид (см., например, [25), с. 74): 5!П [ (1 — — )~ Я»(т — х) = о ехр~ — 1 о (1+ 11 (1242) кТо 2 ! То I 237 При данном т Яд (т, — х) максимальна при х = О, а максимум равен 1 — ~т~!Тр ( 1. Вблизи максимума (в области 1х~( и(Тр) Яг (т, — х) меняется медленно, а затем становится затухающей знакопеременной функцией. Исходя из такого характера Иг (т„— х) можно предположить, что основной вклад в интеграл (12.40) вносит та часть подынтегрального выражения, которая сосредоточена в об.
ласти 1х! ( и!Тр. Основанием для такого предположения является асимптотическое свойство интеграла (12.40) при Тр-»- Т. Полагая = 0 и Т, = Т, из (12,40) должны иметь тождество Р р= Йц(т)=Р ~ Нц(т, х) )Ь (т, — х) Их, (12,43) т. е. произведение рЯд (т, — х) выполняет роль дельта-функции 6 (х), что дает в правой части Яц (т, 0) = Рц(т). Это, действительно, так, потому что при Т, = Т можно полагать Тр-+ со, поскольку сигнал У (г) (12.32) вне отрезка [О, Т) тождественен нулю, Из определения дельта-функции следует равенство (12,44) Так как при Т,) Т величина р = Т(2п, то дельта-функция рЯи (т, — х) имеет эквивалентную ширину 2 пУТр. Отсюда следует, что основной вклад в интеграл (12.40) вносит часть подынтегрального выРажениЯ в области ~ х~ ( пУТр. ДлЯ слУчаЯ Т, ( Т пРиближенно можно полагать, что Яг (т, — х) = 1 при 1х~ ( пlТр и )Ь (т, — х) = 0 при ~ х ~ ) п(Тр.
Используя такое приближение, а затем неравенство Буняковского — Шварца, из (12.40) получаем пег, Ярр(т) — р ~ Йц (т+(„— (р, х) ехр( — 1х(„) Йх ( — и/гр п~т, (р — ~ )Яц(в+~и — (~, х)~Рйх, (12.45) — и/тр Интеграл под квадратным корнем пропорционален квадрату эффективного значения Кц (т + (р — гр, х) при усреднении на отрезке ( — ФТр, п(Тр). Функции неопределенностей М-последоаа. рра 1ельпостей характерны тем; что ояи имеют области слабой корре- ляции, близкие к равномерным. Поэтому можно полагать, что л/7, — [ Йи (т+/р=/ю х) [~дх ж вя «/го 2~/та — ( [ Ки (т + /р — Гю х) [~ Нх, (12.46) 4я 2лгм где правая часть (12.46) — квадрат эффективного значения при усреднении по области частот на отрезке [ — 2я/т„, 2 и/т,), а т, — длительность одиночного импульса М-последовательности, причем т, = Т/У.
Обозначая максимальное эффективное значение боковых пиков Ки, из (12.45) находим Ярч (т) р — Ри (12. 47) го Поскольку при Т, ( Т из (12.39) имеем р =- Т/2п, а отношение Т/Тр У/Ур то Юрч (т) йиУ/Ур. (12.48) Известно (см., например, [25, с. 1181, что максимальное эффективное значение при усреднении на отрезке [ — 2я/тю 2п/т,] равно йи = 1/)/ 2 Л/.
(12.49) Подставляя (12.49) в (12.48), имеем Ярч (т) ~ УУ/)/2Уо = гт У/Уо (1250) где а = 1/)Г2. Отметим, что при выводе формулы (12.50) нигде не была оговорена длительность сегмента Т, = Уат . Следовательно, оценка (12.50) приближенно справедлива как для длинных сегментов (У, ~)/У/2), так и для коротких (У,()/ЛЯ). Выясним, какие особенности имеются при длинных и коротких сегментах. При коротких сегментах отрезок интегрирования [ — п/Т„ п/Т,\ в (12А5) расширяется и точность приближения левой и правой частей приближенного равенства (12.46) увеличивается, т.
е. оценка (12.50) становится более точной. Однако при этом Яра (т) меньше величины, которая в свою очередь больше единицы. как Ярд макс (т) ( 1, то полученный результат свидетельствует о том, что среди коротких сегментов обязательно будут такие, у которых уровень ВКФ будет соизмерим с единицей. При Ур ) "г У/2 значения ВКФ меньше единицы. Поэтому при таком выборе длины сегмента можно быть уверенным, что ВКФ будут малыми.
Однако с ростом Ур уменьшается отрезок интегри- 239 рования в (12.45). В этом случае эффективное значеняе /7о -э (т + /р — /„). Следовательно, для уменьшения значений ВКФ необходимо так выбирать М-последовательность, чтобы ее АКФ имела малые боковые пики. Рассмотрим теперь примыкающие сегменты, у которых 1 — / = Т,. При этом центральный пик ФН Кп попадает на границу ФН )с». Поскольку на границе ФН /7» мало отличается от нуля, то вклад центрального пика ФН /7о в значения ВКФ 1~„~ (т) будет мал и его можно не принимать во внимание.
Поэтому й для примыкающих сегментов можно использовать оценку (12.50). Число таких сегментов (т. е. число сигналов в системе) будет равно У/Уо. (12.51) Обычно из условий применения системы сигналов задается либо максимальное значение, либо эффективное значение ВКФ сигналов (либо то, и другое вместе). Поэтому полагая, что Яр (т) ( с/ = = сопз1, из (12.50) и (12.51) имеем Уо = ~4 У% (12.52) (12.53) Например, если У = 131071 (длина М-последовательности в(961), а Я = 0,25, я = 1/3~ 2, то У, = 1020, а 7.
= 127. Если же Я = 0,1, то У, = 2550, а 7. = 51. Корреляционные свойства перекрывающихся сегментов. Для перекрывающихся сегментов разность задержек /р — /„= Т,— — ЬТ, где ЬТ = ЛУт,~ О. В этом случае из формулы (12.40) получаем: Я„д (т) = р ~)7и (т+Т, — ЬТ, х) ехр ( — 1 х/р) Я»(т, — х) Нх. (12. 54) При т= — Т, + АТ сечение ФН /сп есть /сц (О, х) = /со (х) = = з1п (пТ/2)/ (пТ/2).
Центральный пик этого сечения с максимумом, равным единице, будет гораздо уже, чем центральный пик сечения )с» ( — Т, + ЬТ, х). Поэтому пределы интегрирования в (12.54) можно положить равными — и/Т и и/Т, а в этих пределах все множители в подынтегральном выражении считать постоянными. Значения первого и второго множителя в (12.54) равны единице (имеются в виду модули), а значение третьего согласно формуле (12.42) равно отношению ЬТ/Т,. Обозначая ар» ( — Т, + + ЬТ) как Я„из (12.54) находим Яо = рАТ2п/ТоТ = ЬТ/То = ЬУ/Уа (12 55) При выводе формулы (12.55) было учтено, что согласно (12.39) р = = Т/2п.
Следует отметить, что результат (12.55) является есте- 240 ственным, так как если два произвольных сигнала имеют ЛУ оди. иаковых символов (однн в конце, а другой в начале),то их ВКФ будет иметь по крайней мере один пик, равный отношению ЛУ/У,. Следовательно, этот пример еще раз подтверждает, что принятый метод обеспечивает получение оценок с приемлемой точносгью. Для определения допустимого перекрытия сегментов положим, что значение Яе равно Я, которое определяется согласно (12.40). В этом случае имеем ЛУ = !;! У, = ф'У.
(12. 56) Если заданы Я = Яе и У, то длительность сегментов определяется формулой (12.52), а число сегментов будет равно /. = У/(Уо — ЛУ) = Я Р'У/а (1 — Я), (!2.57) Пе — ле — ! Яг, (т) =- — '~' 3„(п) 8, (и+ т), лс а (12.58) где Яр (п), Яч (п) — кодовые последовательности соответствующих сегмейтов. Используя циклическое свойство сегментов, сформули- рованное ранее, из (12.58) получаем Ие — гл — ! пе — ~ — ! Орл (т) = — ~' 5! (и) = — ~~~~ (/! (п), (12.59) ле а лс а где Я! (п) = 1/! (п) — !-й сегмент М-последовательности длины Уо Назовем весом сегмента сумму правой части (12.59)! ие-т-! (12.60) К'(У,У„!,т)= ~ и,(п). л О 24! т.
е. по сравнению с (12.53) увеличилось в (1 — Я)-т раз. Например, если У = 131071, то при Я = 0,25, а = 1/~'2 число сегментов /, = = 170, а при Я = 0,1 оно равно /. = 57. Следовательно, перекрытие сегментов увеличивает их число при том же значении ВКФ. Оценка максимальных боковых пиков. Для получения более точной оценки максимальных боковых пиков ВКФ сегментов было использовано циклическое свойство М-последовательностей, заключающееся в том, что сумма по шо!1 2 двух одинаковых М-последовательностей, сдвинутых относительно друг друга, является той же М-последовательностью, но имеющей иной сдвиг во времени (см., например, [25, с.
222)). Из этого свойства следует, что сумма двух сегментов М-последовательности является сегментом той же М-последовательности, но с произвольным сдвигом. ВКФ сегментов Яр (/) и Зч (/) в дискретных точках т = тт„ согласно определению имеет следующий вид: 'ракпм образом, оценка маКсимальных боковых пиков В1(Ф се!ь ментов сводится к определению максимального веса Ж'„,„, (У, У,!, т) = )г' (У). Решение этой задачи эквивалентно нахождению максимального бокового пика среди всех АКФ, соответствующих М-последовательности и ее циклическим сдвигам. Дей= ствительно, если обозначить через Яш(т) АКФ М-последовательности со сдвигом !', а ] = О, У вЂ” 1, то по определению и — гп — ! К-т-~+~ УЯш(т) = ~~~~ (7()ь+п) (7(1'+и+ т) = ~', (7(п) =— л=О и=! (12.6!) а=а Длина сегмента У,(п) равна У вЂ” пг. При изменении ! от 0 до У вЂ” 1 индекс !также пробегает все эти значения, но только в ином порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
