Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 57
Текст из файла (страница 57)
одно из уравнений систем (!4.11), (!4.!2) сведем эти системы к уравнениям: (14.!3) 77 (э) — уь (т — Л) = О; тт (г) — ть (у) — Л = О. (14.!4) Число решений целочисленных уравнений (!4.13), (14.!4) меньше числа решений соответствующих сравнений по модулю М: у, (т) — уь (т — Л) — = 0 (пюп М); (14.15) тт (7) — ть (у) — Л = 0 (шоб М). (14.16) Сравнения (14.15), (14.16) являются частными случаями сравнения ат (т) — а„(т — р) — Л = 0 (люб М), (!4.17) Л= О,М вЂ” 1, где э=О,М вЂ” 1, Если сравнение (!4.!7) имеет т решений, то оценка (14.10) преобразуется к следующей !Рт» (Л) ! < т/М, (14.!8) причем т ~ и. Если т = О, то формально ! Я;р, (Л) ! = О, но это будет в том случае, если всюду выполняется условие ортогональности (!4.9). Но так как строгой ортогональности во всех дискретных точках добиваться нельзя, то при т = ОЯ~„(Л)! (( !/М.
Поскольку последовательности (ат) и (аь) состоят из символов, принадлежащих к одному алфавиту (О, 1, ..., М вЂ” 1), то при изменении номеров т, р, Л рано или поздно возможно совпадение кодовых последовательностей, т. е. возможно решение сравнения (14.17). Если при данных т, )ь, Л, !', !г имеет место одно решение (одно совпаление), т. е. гл = 1, то !й~ь (Л)! = !!М. Увеличение числа решений приводит к следующему. Во-первых, к увеличению максимального уровня ВКФ согласно (14.!8). Во-вторых, ухудшает использование отведенной полосы частот для сигнала (14.1) с ЧКП, так как спектры некоторых элементов будут совпадать: ухудшает использование отведенного времени и пик-фактор сигнала (14.3) с ВКП, так как будут совпадать некоторые элементы.
В-третьих, увеличивает число сигналов в системе. Именно третье следствие позволяет строить большие системы сигналов, но при условии т ) 1. Назовем ДЧ сигналы, обеспечивающие одно совпадение т = 1, оптимальными. Они будут подробно исследованы в данной главе. 258 44.2. Комбинаторный анализ систем дискретных частотных сигналов (14.19) так как каждый временной элемент содержит К частотных элементов, а их общее число УК не может быть больше М. Определим число способов размещения элементов на частотно-временной плоскости без совпадения. В первом временном элементе К частотных элементов на М позициях могут быть размещены См способами. На долю к частотных элементов второго временного элемента остается М вЂ” К позиций. Поэтому К частотных элементов второго временного эле- К мента могут быть размещены См к способамн и т.
д. Поскольку выбор позиций частотных элементов в различных временных элементах происходит независимо, то на основании правила произведения необходимо перемножить все биномиальные коэффициенты вида См' П ык где /=1, У. Кроме того необходимо учитывать амплитудную и фазовую манипуляции элементов, т. е. число размещений элементов по частоте необходимо умножить на множитель ркюк = рюи, где Р, — основание манипуляции (8.1). Окончательно объем подкласса ДЧ сигналов без совпадения элементов равен к (-к = Рю Ц См — ы — ык.
мгч к !=1 (! 4.20) Используя определение (8.3), можно непосредственно показать, что У к,и~ лп П См — ц — ык= — = — — (К, к (Кйм~к /=1 Подставляя (14.21) в (14.20), получаем м М! к= Рю .,)м~к (! 4.22) 259 Дискретные частотные сигналы произвольного порядка.
Хотя основной материал данной главы посвящен ДЧ сигналам первого порядка, но сначала для общности кратко рассмотрим ДЧ сигналы порядка К и найдем объем подкласса ДЧ сигналов, частотные элементы которых расположены на различных частотах. Напомним (см. 2 1.6), что ДЧ сигналы порядка К состоят из У временных элементов, каждый из которых состоит из К частотных элементов. Число частот равно М. Необходимым условием того, что совпадений не будет, является то, что М кратно К, т.
е. К делит М. Более того, должно удовлетворяться равенство Найдем отношение объема исследуемого подкласса к объему класса ДЧ сигналов порядка К. Из (8.5), (14.22) с учетом (!4.19) имеем (-к 1(М вЂ” К)11м(к (б(1)М(К-1 а отношение (14.23) имеет следующий вид: !(М вЂ” 1)Чм М( (14.25) ((И()м-1 Мм ' В табл. 14.1 приведены значения отношения (14.25) при различных М.
Таблица 14.1 1О 2,6.10-а 6 10 (.1/(., 1О "1 1,6 10 3,6 10-а Как следует из табл. 14.1, доля ДЧ сигналов без совпадений элементов резко уменьшается с ростом М. Чтобы выяснить закон уменьшения Ьк//.к, обратимся к асимптотической формуле Стирлинга для факториала и! — )( 2лл л"е — ". (14.26) Подставляя (14.26) в (14.23) и преобразуя, находим К м(м(к-1+1(ак) — )(2лМ ( — ) Если К (( М, то, используя предел (1 — х 1)' = е ' при х -1- -а- оо, получаем (14.27) (к .— ( К ) ™(1-1(ак) -м — -! 2лМ~1 — — ) е (к М Из (14.28) следует, что уменьшение /.к//.к определяется в основном экспонентой е™. Из (14.28) для К = 1 имеем (.*, )( 2лМ -(м — а,ю (.1 (14.29) При К = М отношение /,м//.м = 1, поскольку такие сигналы имеют всего лишь один временной элемент, т.
е. являются частотными. В случае ДЧ сигналов первого порядка из (14.22) имеем /.," = рмм1, (1 4.24 Если К соизмеримо с М, то использовать указанный ранее предел нельзя. Но экспоненциальный характер уменьшения Ьк//.к сохраняется до относительно больших К. Например, при К = М/2 из (14.27) находим ~муз У 2пМ2-<м+Ч (14.30) / М/2 т. е. отношение (14.30) изменяется в основном как 2 — ".
Такимобразом, при большом М подкласс ДЧ сигналов порядка К без совпадений элементов составляет малую долю от всего класса. Если нет регулярного метода, то выбор такого подкласса может быть сопряжен с большими вычислительными трудностями. Формулы (14.20), (14.24) позволяют найти объем подкласса ДЧ сигналов порядка К, не имеющих на своей частотно-временной плоскости совпадений по частоте. Именно такие сигналы будем рассматривать в данном параграфе. Перейдем к определению числа совпадений элементов ДЧ сигналов при их взаимодействии, т. е. когда на полезный сигнал накладывается мешающий. При этом будем рассматривать ДЧ сигналы первого порядка.
Распределение числа совпадений в периодических корреляционных функциях. Число совпадений элементов т в ДЧ сигналах первого порядка согласно (14.10) определяет ВКФ таких сигналов в дискретных точках. Найдем распределение вероятностей Рм (гп) появления т совпадений. Сначала рассмотрим случай, когда два ДЧ сигнала (полезный и мешающий) полностью перекрываются по времени. Прн этом число совпадений т может изменяться от 0 до М. Полное перекрытие двух сигналов возможно, когда между полезным и мешающим сигналом нет временного сдвига или когда каждый из сигналов излучается непрерывно (периодически).
При этом на выходе согласованного фильтра будем иметь периодическую ВКФ. Перейдем к распределению числа совпадений. Число ДЧ сигналов первого порядка без совпадающих частот определяется формулой (14.24). Поскольку амплитудная и фазовая манипуляции не влияют на число совпадений т в (14.10), то положим, что в (14.24) основание манипуляции р, = 1. При таком предположении число ДЧ сигналов первого порядка без совпадений элементов по частоте согласно (14.6) равно (14.31) Соответственно число пар сигналов равно (М!)'. Из них М! пар сигналов состоят из тождественно одинаковых сигналов и имеют М совпадений, а из оставшихся (М!)' — М! пар сигналов половина не различима, так как каждой паре с номерами 1 и / соответствует пара с номерами / и 1, т. е.
из (М!)' можно исследовать не более [(М!)' — М!)/2 пар сигналов. Каждому ДЧ сигналу первого порядка без совпадений элементов по частоте может быть сопоставлена перестановка цифр 1, 2,, М, 261 соответствующая частотной кодовой последовательности. Например, для М = 4 все перестановки приведены в табл. 14.2.
Таблица 14.2 о, ы к й Пересе«ковке~ ] Й о а о. й о и ск к о Перестановка Перес«свое«в Перес«воок«в 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2!34 2!43 2314 2341 2413 2431 13 14 15 16 !7 18 3124 3142 3214 3241 3412 3421 7 8 9 !О !! 12 19 20 21 22 23 24 4123 4132 4213 4231 4312 4321 М1~~м, » 1~м, т Рм(т) = (М!)в М! (14. 32) Число Т7м, называется субфакториалом (132], так как доказано, что оно имеет много свойств аналогичных свойствам факториалов. Чтобы определить 0м,, используем комбинаторный принцип включения и исключения (132]. Он заключается в следующем.
Пусть имеется У объектов, из них У (а) обладают свойством и. Тогда число объектов, не обладающих свойством а, равно У (а') = У вЂ” У (а). Если рассматриваются два свойства а» и а„то число объектов, не обладающих ни одним из этих свойств, равно У(а(, и») = У— — У (а») — У (ав) + У (ам и»). Общее правило включения и исключения тех нли иных У (...) дается следующей символической формулой (132]: У(а], а», из, ") = У((1 — а«)(1 — а,)(1 — ав) ...]. (14.33) Смысл символической формулы (14.33) состоит в том, что сначала вычисляется содержание квадратных скобок, а затем знак функции У 262 Перестановка № 8 2 1 4 3 соответствует тому, что первый элемент расположен на второй частотной позиции, второй — на первой, третий — на четвертой и четвертый — на третьей. Произвольная пара перестановок может иметь т совпадений, причем т = О, М.
Определим число пар перестановок, имеющих заданное число совпадений. Эта задача сводится к комбинаторной задаче «о встречах» ]132]. Решить ее можно следующим образом. Выберем произвольную перестановку из общего числа, например, перестановку № 8 из табл. 14.2 или какую-либо другую. Все выборы равноправны. Обозначим через 0м, число перестановок, имеющих т совпазений с выбранной. Так как число различных выборок исходной перестановки равно М1, то число пар перестановок, имеющих т совпадений, будет равноМ! Ом, „,. Относительное число пар перестановок с т совпадениями или вероятность т совпадений равна применяется к каждому из полученных слагаемых подобно тому, как это сделано в следующем примере: У (и[, аг) = = У [(1 — аг) (1 — аг)1 = У (1 — сгг — аг + агаг) = = У (1) — У (аг) — У (ггг) + У (агаг), где У (1) = У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
