Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Если энергии всех элементов одинаковы и равны Еа, то согласно (1.18) (1.20), (1.86) комплексная огибающая взаимной функции неопределенности (ВФН) т-го и р-го элемента (т, р = О, р — 1) равна Йта(т ь4)= — ) У„(1)У»(~ — т)ени4(т. (14.61) 2Ио Отметим, что при (т) ) Т, ВФН (14.61) тождественно равна нулю. Пусть 1-й ДСФ сигнал Я) (1) состоит из ))) элементов, каждый из которых принадлежит множеству 9). Порядок следования элементов в 1'-м сигнале определяется кодовой последовательностью элементов (р) (т)) = (р) (О), ..., р) (т), ..., р) (У вЂ” 1)), а номер р; (т) элемента на позйции т принимает одно из возможных р значений. В этом случае комплексная огибающая 1сго дискретного сигнала записывается следующим образом: ») — 1 я)(г)= ~ и,,„)у —.т,).
(14.62) »=0 Можно показать, что ВФН ДСФ сигналов с номерами / и )) согласно (1.18) будет равна 1 ))) — 1 )) — 1 Я)ь(т, ьа)= — ~ '~" И» (»)»„(а)[т — (Л вЂ” р)Т„й]е!т(~), (14,63) »=»»=о где 7(ч) = !)Т»т. (14.64) (14.66) При т =ЛТ, а,„(ЛТ„а) = (),', (Лт„а), ))) — 1 Я)ь(ЛТ», 41).=- —,'~'„К» (,)»,(» — и (О, й) е!т('). » х (14.69) (14.70) Введем переменную суммирования Л= У вЂ” 1). (14. 65) После этого ВФН (14.63) можно записать в виде И вЂ” 1 (;))ь(т, ь))= ~~', Я;д(т, Й), Х= — (И вЂ” 1) где Л-я компонента ВФН )) — 1 Я)ь(т, 11) = — а»,' Р» (,),,(, х) (т — ЛТ„11) е!т( ), (14.67) Формулы (14.66), (14.67) аналогичны формулам (1.119), (1.120) для дискретных сигналов.
Отметим, что Л-я компонента ВФН (14.67) тождественно равна нулю вне интервала ((Л вЂ” 1) Т, < т < (Л + !) Т,), что иллюстрируется рис. 1.19. Поэтому ВФЙ (14.66) в Л-й полосе (ЛТ, < т < (Л+ 1) Т„'(И( < со) равна сумме Л-й и Л + 1-й компонент, т. е. (Ь. (т, 11) = Ъ (т, 11) + Ь, (т, 1)) при ЛТ, < т < (Л + 1) Т.. (14.68) Выясним характер изменения ВФН в зависимости от номера полосы. Для этого используем ограниченность объема произвольной ВФН (1.31). Согласно оценке (1.39) средний квадрат ВФН (14.66) будет равен оо =- 114 ГТ.
(14.71) Аналогично, средний квадрат ВФН элементов будет равен ол = 114РТ)) = А1Ф (14.72) Из формул (14.67), (14.68) следует, что ВФН ДСФ сигнала в каждой точке плоскости (т, 11), за исключением точек т=) Т„равна сумме 2У вЂ” 21), — 1 слагаемых. При У » 1 эту сумму условно можно рассматривать как случайную величину с дисперсией ао7 (Х) = — (21У вЂ” 2)~ — 1) ол7 = 211 — — — ) о)~. (14.73) № ))) 27У 1 Из (14.73) видно, что при малых Х дисперсия оо7 в два раза превышает средний квадрат (14.71), а по мере роста )), т. е. с удалением от центра плоскости, линейно убывает. Таким образом, появление больших пиков у ВФН более вероятно в полосах с малыми Х. Полученный результат будет справедлив, если 1сй и я-й сигналы не содержат одинаковых элементов, т.
е. в составе ВФН (14.63) или (14.66), (14.67) нет функций неопределенности, у которых максимальное значение равно единице. Если же сигналы содержат некоторое число одинаковых элементов, то в точках (т = ХТ„Й = О) при условии выполнения равенства р; (т) — рь (т — Х) = О (14.74) появляются центральные пики ФН элементов, вклад которых в (14.67) будет равен 111)1. Если предположить, что сумма (14.68) стремится к нормальной случайной величине (нормализуется) и возможно совпадение т элементов, т.
е. уравнение (14.74) имеет т решений, то имеем следующую приближенную оценку максимального пика ВФН: 7) „. 7)) — Я 2 (! — )7)7) )- ))7. ))4.77) Множитель 3 был взят потому, что можно допустить малую вероятность превышения боковым пиком уровня, равного утроенному среднеквадратическому значению. Отметим, что оценки (14.73), (14.75) будут справедливы и для приближенного определения боковых пиков ФН дискретного сигнала (1= Й и р, (ч) = рл (т)). Центральный пик будет равен сумме центральных пиков ФН элементов.
Оценки (14.73), (14.75) были получены без конкретизации структуры элементов, т. е. они справедливы как для ДСФ, так и для ДСЧ сигналов. Следовательно, полученные результаты имеют общий характер. 283 Из формул (14.71) (14.73) следует, что средний квадрат ВФН ДСФ сигналов определяется в основном базой сигналов В = Г7' и практически не зависит от взаимокорреляционных свойств элементов. Однако максимальные значения ВФН (14.75) существенно зависят от элементов и их расположения в сигналах, что определяется числом совпадений гл.
В настоящее время в теории ДЧ сигналов известен ряд регулярных методов (см. ~ 14.4), позволяющих создавать системы ДЧ сигналов, обладающих заданным числом совпадений, т.е. с заданными максимальными пиками корреляционныхфункций. Распространим эти методы на ДСФ сигналы. Автокорреляциониая функция ДСФ сигнала. Полагая 11 = О, 1 = А и отбрасывая индексы 1, л, из формул (14.66), (14.67) получим АКФ дискретного составного сигнала где Х-я компонента АКФ ! л-! Я (т) = — ~)'„Ярел я!э-М (т). ч х (14.76) Если сигнал состоит из различных элементов, то уравнение (14.74), которое в данном случае записывается как р (т) — р (т— — Х) = О, имеет решения лишь при Х = О.
Следовательно, нулевая компонента АКФ 1~'(т) равна сумме АКФ элементов, а все остальные компоненты равны сумме ВКФ элементов. Поэтому для уменьшения боковых пиков АКФ сигнала необходимо составлять его изэлементов, АКФ и ВКФ которых имеют малые боковые пики. Так же как и в случае ВФН, можно условно считать значение бокового пика АКФ случайной величиной, дисперсия которой определяется формулой (14.73).
Согласно (9.73) средний квадрат боковых пиков, усредненный по всем возможным АКФ и ВКФ при данном У„равен аа = = 1/2 Ж,. Следовательно, если положить, что пб = о' = 1!2 й(„ а т = О, то приближенное значение максимального бокового пика АКФ определяется следующим выражением Омане (т) — 3 Для У, = 64, Я„,„, (О) '/,=0,37. Перейдем к построению ДСФ сигнала. Возьмем в качестве элементов производные сигналы (см. э 12.2), построенные на основе сигналов Уолша (12.4). Положим й! = п = 8, У, = У' = 64. Если в качестве производящей последовательности взять нелинейную последовательность в виде 1 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 1, то кодовые последовательности производной системы опреде- 284 ляются посимвольным перемножением последовательностей (12.4) и записываются следующим образом: ! ! †! — 1 — 1 1 †! 1 ! — 1 — 1 ! — 1 †! †! †! ! ! ! ! †! .! 1 †! ! †! ! †! †! †! 1 ! ! 1 †! †! ! †! ! †! ! †! †! 1 1 ! ! ! ! 1 ! ! ! — 1 †! ! ! †! 1 — 1 ! ! †! — 1 (14.78) Системы элементов (12.4), (14.78) обладают равными средними квадратами оД = 5,9 1О '.
Такое значение ол близко к предельному (9.73) о' = '/, А/ = 6,25 10-'. Максимальные боковые пики у производной системы (14.78) равны Я„,„, = '/а = 0,625, что не превышает зачения 3 а = 0,75, в то время как у системы Уолша Я„,„, = '/, = 0,875. Коэффициент эксцесса, определяющий максимальные боковые пики, для системы Уолша (12.4) у = 1,57, а для производной системы (14.78) 7 = 0,23. Чем меньше коэффициент эксцесса, тем меньше максимальные боковые пики. Именно по этой причине в качестве элементов были выбраны кодовые последовательности производной системы (14.78). Записав последовательно друг за другом строки (14,78), получим кодовую последовательность, которой соответствует ДСФ сигнал, изображенный на рис. 14.12, а.
Его АКФ представлена на рис. 14.12, б. Среднеквадратическое значение бокового пика оо = = 5,6 . 10-', что в 1,55 раз меньше предельного значения (9.73): о = 1/)/2Л1, = 8,9 !О '. Максимальный боковой пик равен с( „,„,=ьт/„=0,203, что меньше как 3 а = 0,27, так и Я„,„,(0) = Сигнал (рис. 14.12, а) не является единственным.
Элементы— строки (14.78) можно переставить различными способами. Общее число ДСФ сигналов равно числу перестановок /. = /!/1. Если же производить изменение знака элементов, то получим Ь' = 2 (А/!) сигналов. Каждый из таких сигналов с большой вероятностью будет иметь максимальные боковые пики АКФ, приближенно оцениваемые равенством (14.77). Таким образом, с ростом й/ максимальные боковые пики АКФ таких сигналов будут уменьшаться в соответствии с (14.77). Подчеркнем, что выбор элементов имеет большое значение, так как при неудачном выборе максимальные боковые пики могут быть существенно больше значения, определяемого правой частью (14.77). Это объясняется тем, что если АКФ и ВКФ элементов имеют большие боковые пики, то сумма в (14.76) слабо нормализуется.
В качестве примера укажем на сигнал, составленный из строк (12.4) при их последовательной записи. АКФ такого сигнала имеет максимальный боковой пик, равный Я„~и~ = 28/64 = 0 44 ) Ямаас(0) = = 0,37. Конечно, ДСФ сигналы, построенные из элементов, принадлежащих производной системе, не являются минимаксными. Однако ис- 285 следование их имеет практическое значение по следующим причинам. Во-первых, ДСФ сигналы с такими АКФ удовлетворяют многим практическим задачам, особенно в тех случаях, когда У достаточно велико. Во-вторых, значительно число сигналов. Например, при У = 8 Е 4 10'. В-третьих, подобные сигналы позволяют упростить аппаратуру формирования, так как они отличаются только порядком следования элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
