Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Более точное приближение для больших и обеспечивает следующая формула для вероятности совпадений. См и( Рм,„(иг) и "(1+ — ")Рм(т)е ( ) м (14.49) Но формула (14.49) будет справедлива лишь при т ( М. Вероятность появления оптимальной пары сигналов.
Оптимальной парой ДЧ сигналов назовем такую, сигналы которой имеют не 268 На рис. 14.3 сплошными линиями изображены огибающие, построенные по значениям вероятностей табл. 14.7. Штриховой линией показана огибающая закона (14.38). Если сдвиг и небольшой (и ( 0,6 М), то для Рм е „справедлива следующая приближенная формула: М1 (! 4.47) л1е более одного совпадения при произвольном сдвиге п. Обозначим вероятность появления такой пары через Рм, . Для ее определения обратимся к вероятности совпадения Рм „(т) и составим таблицу этих вероятностей при всех и и лт.
Для М = 5 эти вероятности представлены в табл. 14.8, При п(О вероятность Рм, (т) = Рм „(т), что было учтено при составлении табл. 14.8. Конкретные значения Р4 „(т) приведе- 84 ны в табл. 14.5. Пара сигналов будет оптимальной, если при любом п число совпадений равно 0 или 1.
Используя правила сложения и умножения вероятностей [104), получаем, что при М = 5 в соответствии с табл. 14.8 вероятность появления оптимальной пары сигналов равна Рьопт=(рь,о(0)+Рь,о(1)) П (Рм,(0)+Р4 „(1))'. (14.50) л =! Суммы в квадратных скобках равны вероятностям появления О, 1 при заданном сдвиге т.
При выводе (14.50) было допущено, что совпадения при различных сдвигах независимы друг от друга. Поэтому Рм равна произведению сумм вероятностей при л = — (М вЂ” 1), М вЂ” 1. Так как вероятности совпадений при и ( 0 равны вероятностям при п ) О, то под знаком произведения стоят квадраты сумм вероятностей. Подставляя значения вероятностей из 269 Таблица 14.8 Р (б) Р (б) Рбаб> Р ' (1) Р (б) р,,<б> 1,1 Рб (б) б,1 р ' (б> Р (б) р' <б> р <б> Р (б) б,1 р (б> 1,1 р (б) табл. 14.5 в (14.50), получаем, что вероятность появления оптимальной пары сигналов при М = 5 равна Р„„= 0,34. При произвольном М из формулы (14.50) получаем м — ! Рмбаб=[рм,а(0)+Рм,а(1)[ П [Рм,а(0)+Рм>а(1)[~. (14.51) а=! Вероятность случайного выбора оптимальной ДЧ системы сигналов. Выберем случайным образом ДЧ систему с объемом 7.
Найдем вероятность того, что в выбранной системе все пары сигналов будут оптимальными, т. е. имеется не более одного совпадения. Такую систему назовем оптимальной состемой. В системе из 7 сигналов имеется 71 пар. Из них 7 пар приходится на тождественно одинаковые сигналы, а из оставшихся надо рассматривать только половину. Позтому необходимо иметь Я = 0,5 (71 — .1) (14.52) оптимальных пар.
Поскольку вероятность появления случайной пары равна Рм,„,(14.51), то вероятность случайного выбора опти- мальной системы равна Р,.„= Рм,.„ О (14.53) где Я определяется формулой (14.52). В табл. 14.9 приведены результаты расчета Ро,„, для М = 5 и Р,„, = 0,34. С увеличением объема Та блица 14.0 оптимальной системы вероятность ее случайного 3,8.10-1 1,4.10-1 Р ~баб 0,34 уменьшение Ра,„, с ростом 7. Следовательно, для нахождения оптимальных ДЧ систем необходимо иметь регулярные, а не случайные методы.
270 (О) Р, <б> Р"(ы выбора резко уменьшается. Согласно (14.52) показатель степени в (14.53) пропорционален 71, что и обусловливает сильное 44.3. Полный код дискретных частотных сигналов первого порядка Объем оптимальной системы ДЧ сигналов первого порядка. Структура ДЧ сигнала (рис. 14.1) определяется местоположением элементов сигнала на частотно-временной плоскости. Взаимное расположение элементов полностью определяется их задержкой по времени относительно начала координат. Точно так же можно описать расположение элементов путем использования из задержек относительно друг друга, другими словами, интервалов между ними.
Например, интервал между десятым и девятым элементами (номера указаны по оси частот на рис. 14.1) равен 4Ж, или просто 4, а между девятым и восьмым элементами равен — 7. Знак минус появился из-за изменения направления отсчета. Между двумя произвольными элементами ДЧ сигнала первого порядка положительные интервалы могут быть равны 1, 2, ..., М вЂ” 1, т. е. их число будет М вЂ” 1. Точно так же отрицательные интервалы могут быть — 1, — 2, ...
— (М вЂ” 1) н их число равно М вЂ” 1. Нулевых интервалов в ДЧ сигнале первого порядка не может быть, так как элементы не расположены на одном временном интервале. Таким образом, число различных интервалов между парой элементов равно 2 (М вЂ” 1). Возьмем два произвольных ДЧ сигнала первого порядка. Выберем в каждом из них две произвольные пары элементов на совпадающих частотах. Если интервал между парой элементов у одного сигнала не равен интервалу между парой элементов второго сигнала, то при взаимном сдвиге по времени эти пары дадут не более одного совпадения.
Два совпадения возможны только тогда, когда интервал между выделенными элементами одного сигнала равен интервалу между элементами второго сигнала. Таким образом, чтобы две частотные строки двух сигналов давали не более одного совпадения, необходимо выбирать интервалы между элементами сигналов различными. Так как число различных интервалов между парой элементов равно 2 (М вЂ” 1), то можно образовать 2 (М вЂ” 1) пар частотных строк, дающих не более одного совпадения при попарном положении этих строк и любом временном сдвиге. Однако число оптимальных ДЧ сигналов будет меньше, чем 2 (М вЂ” 1). Чтобы объяснить этот результат, будем рассматривать сначала ДЧ сигналы с четным М. Пример такого сигнала приведен на рис.
14.1. Такой сигнал состоит из М/2 пар частотных строк. Сначала рассмотрим процесс образования пар для положительных интервалов, число которых, как отмечено ранее, равно М вЂ” 1. Первую пару частотных строк можно выбрать М вЂ” ! способом. Прн этом будет использован и максимальный интервал, равный М вЂ” 1. Так как элементы в ДЧ сигнале первого порядка не могут занимать одинаковые временные интервалы, то для последуюп1их пар частотных строк нельзя использовать интервал, равный М вЂ” !. Поэтому на вторую пару частотных строк приходится М вЂ” 2 раз- 271 личных интервалов, причем максимальный равен М вЂ” 2. Точно так же на третью пару частотных строк будет приходиться М вЂ” 3 различных интервала, на й-ю пару М вЂ” и интервалов.
Так как в сигнале всего М/2 пар, то на последнюю пару приходится г з 4 д а 7 в р гл И И ~ Л й й ~~ ~~ П Ю ~ЛП~НЯН5525 235322~бйй ИЁ0~йй~0~Я 6~ИЭ2Н5йЫЯ Ы Ю Р Ю Ю Ю Ы Ю Ю™ й ЮЮЯЮЮйЮБЁН ЮЮУИЯ55526 Н~ И й й Ы Ы Я Я Б й 55Я~5Б22НЫ И321Н~П~НП2Ы ЁПЫЫЬЪЫНЫК Рис. 14.4 М вЂ” М/2=М/2 различных интервалов. Из М/2 интервалов можно об- разоватьтолькоМ/2частотных строк, которыедадут не более одного совпадения. Учитывая отрицательные интервалы, получаем, что максимальное число оптимальных сигналов, которое можно объединить в систему, равно М при четном М. При нечетном М точно таким же путем можно показать, что число оптимальных сигналов '272 в системе будет равно М вЂ” 1.
Объединяя эти результаты, получаем объем оптимальной системы ДЧ сигналов М при четном М, ана = '! М вЂ” 1 при нечетном М. (! 4.54) а) Расчеты данного параграфа произведены О. В. Матвеевой. 10 зан. воза Результат (14.54) согласуется со всеми известными результатами по системам ДЧ сигналов. Полный код ДЧ сигналов. Число различных сигналов согласно (14.3П равно 5! = 120. Все сигналы с номерами от 1 до 120 приве- дЕНЫ На рИС. 14.4а1. ИЗ НИХ ВтО- рая половина (номера с 61 по р (,„) 120) повторяет сигналы первой половины с точностью до поворота частотно-временной плоскости на п/2.
По горизонтали отсчитывается время, по вертикали — частота. 44 Были рассчитаны все АКФ и ВКФ всех пар сигналов. Корреляционные функции рассчитывались в дискретных точках, ' йЗ т. е.при различных временных сдвигах и определялось число совпадений. В результате иссле- дх дования было установлено: если выбрать произвольный сигнал, то он образует 23 оптимальные 41 пары из 120 возможных. Например, сигнал номер 1 образует оптимальные пары с сигналами, номера которых 11, 14, 24, 30, р 1 У о пг 37, 45, 51, 56, 68, 70, 72, 76, 83, Рнс. 14.5 84, 87, 90, 107, 108, 110, 112, 116, 117, 120. Эют факт справедлив для любых сигналов.
Таким образом, вероятность появления оптимальной пары равна 23/120 = 0,19. В предыдущем параграфе (см. (14.50) и последующее замечание) было получено, что эта вероятность равна 0,34. Следовательно, реальная вероятность появления оптимальной пары меньше. Это обусловлено тем, что между числом совпадений при различных сдвигах и существуют корреляционные связи, которые не учитывались при выводе формул (14.50), (14.51). Если выбрать пару оптимальных сигналов, например, с номе- рами 1 и 11, то для них совместно оптимальными будут десять сиг- палов с номерами 14, 24, 30, 45, 51, 56, 84, 87, 110, 120. Любой из них образует оптимальную пару как с сигналом номер 1, так и с сигналом номер 11, и, следовательно, может быть взят в качесгве третьего сигнала системы.
Возьмем, например, сигнал номер 14,т.е. имеем оптимальную систему из сигналов с номерами 1,11, 14. Для этих трех сигналов оптимальные пары образуют пять сигналов с номерами 24, 30, 56, 87, 120. Любой из них можно взять в качестве четвертого сигнала оптимальной системы. Допустим, что выбран сигнал номер 24. Имеем оптимальную систему с номерами 1, 11, 14, 24.
Дальнейшее увеличение объема оптимальной системы невозможно, так как ни один из сигналов с номерами 24, 30, 56, 87, 120 не позволяет увеличить его. Было установлено, что можно построить оптимальные системы, число которых существенно больше, чем могут обеспечить известные алгоритмы. В качестве примера приведем небольшой перечень таких систем: 1,11,14,24 1,14,37,56 2,9,18,20 2,9,39,55 1,!1,14,30 1,14,37,87 2,9,18,39 2,9,39,96 1,11,14,56 1,14,76,87 2,9,20,55 2,9,53,55 1,11,14,87 1,14,76,120, 2,9,20,96 2,9,55,86 и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
