Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поэтому при таком изменении ! правая часть (12.61) дает веса всех сегментов длиной У вЂ” т. В свою очередь изменение т от 0 до У вЂ” 1 определяет все сегменты с длиной, изменяющейся от У до 1. Это свойство АКФ М-последовательностей было использовано для определения максимального веса Ю (У). С помощью ЭВМ было найдено, что для У ) 15 )Р' (У) = %'„ь„, (У, У„1, и) ( 1,26)/У. (12.62) Приведенный результат подтвержден многочисленными расчетами для различных М-последовательностей. Подобная оценка, полученная для АКФ с помощью ЭВМ, приведена также в [140). Это дает основание предполагать, что оценка (12.62) справедлива для произвольных У.Используя (12.62), из (12.59) получаем верхнюю оценку максимальных боковых пиков ВКФ сегментов М-последовательностей Ян,щ ( 1,26)/Ф/Уо.
(12.63) Эта оценка примерно в 1,77 раза превышает приближенную оценку (12.50), т. е. в этом случае коэффициент и = 1,26. Следует отметить, что верхняя оценка(12.62) встречается очень редко. Для большинства рассмотренных М-последовательностей )Р' (У) < )/ У, т. е. а )/У(У„ (12.64) что в )/2 раз превышает оценку (12.50). При этом коэффициент и = = !. Расчет длины сегментов, их перекрытия и числа сегментов при использовании оценок (12.63), (12.64) следует вести по формулам (12.52), (12.56), (12.57) с учетом значения коэффициента а. Примеры расчета длинных сегментов. Приведем характеристики двух систем сигналов, являющихся сегментами М-последовательностей с числом символов У = 255 (характеристический много- член х' + ха + ха + х + 1 ) и У = 511 (характеристический много- 242 Т а б л и ц а 12.
5 Таблица 12.4 80 54 76 96 24 16 23 29 1,06 0,71 1,00 1,26 12 15 11 8 9 14 1О 8 0,81 0,71 1,00 1,26 33 28 40 51 11 11 16 20 На строках 2, 3, 4 табл. 12.4, 12.5 приведены значения У„ ЛУ, А для сс, соответствующих приведенным ранее оценкам: сз = 0,71 = Ц~'2 соответствует оценке (12 50), сс = 1 — оценке (12.64), а = 1,26 — верхней оценке (12.63). Как видно из табл.
12. 4, 12.5, расчетные значения У„ЬУ, 7. первых строк лежат между значениями, соответствующими а = 0,71 и а = 1,26. Таким образом, расчет характеристик сегментов по формулам (12.52), (12.56), (12.57) при а = 0,71 и а = 1,26 укажет границы, в пределах которых будут лежать характеристики сегментов. Поскольку а = 1 близко к среднеарифметическому значению указанных а, то расчет характеристик при сз = 1 даст результаты, близкие к реальным. Поэтому для расчетов следует выбирать коэффициент а = 1.
12.4 Циклические системы Циклические Перестановки. Допустим, что имеются две кодовые последовательности (А (т)) и (В (т)), где т — номер элемента. Положим, что = О, Ьà — 1 и символы этих последовательностей А (т), В (т) принадлежат мультипликативной комплексно-сопряженной р-ичной группе. Если р ~ 2, то будем называть сигнал многофазным. Кодовым последоватрльиостям (А (т)), (В (т)) можно поставить в однозначное соответствие кодовые последовательности (а (т)), (Ь (т)) символы которых а (т) и Ь (т) принадлежат адаптивным р-ичным группам. Как следует из материала гл.
9, образование КФ сводится к перемножению символов А (ч) и В (т), где ' — знак комплекс- ной сопряженности, с последующим суммированием. При переходе к сим- 243 член х' + х'+ 1). Предварительно были определены все веса произвольных сегментов, в результате чего уточнены коэффициенты а. Оказалось, что для М-последовательности с У = 255 коэффициент сс 0,81, а для У = 511 сс 1,06. Для заданных Я(при У=255, Я = 0,4 см. табл. 12.4, а при У = 511, Я = 0,3 см. табл.
12.5) и уточненных коэффициентах а по формулам (12.52), (12.56), (12.57) были вычислены длина сегментов У„.их перекрытие ЛУ и число сегментов Г.. Эти величины приведены в табл, 12.4, 12.5 на первых строках, Затем в соответствии с полученными У, и гзУ исходные М- последовательности разбивались на сегменты, причем с произволь. ным началом первого сегмента, С помощью ЭВМ были найдены ВКФ сегментов. Оказалось, что значения ВКФ не превосходят заданного значения Я. волам а (ч), Ь (ч) КФ определяется через разности этих символов по той р. Для построения системы сигналов, которые исследуются в данном параграфе, выберем кодовые последовательности (а (т)), ЛЬ (ч)), обладающие следующим циклическям свойством: разность по гпобр кодовой последовательности (а (ч)) и ее циклической перестановки Та (ч + р)) является другой циклической перестановкой (а (т + + Л)) исходной кодовой последовательности, т, е. (а (ч)) — (и (ч + р)) = (а (ч + Л)), (12.65) где ЛИЫО и Лц(в р (пгодр).
Циклические перестановки получаются так: исходная кодовая последовательность (а (т)), где т = О, У вЂ” 1, продолжается периодически, т. е. записывается в виде бесконечной последовательности ... а (У вЂ” 2), а (У вЂ” 1), а (0), а (1) ... а (т), а (р), ..., а (У вЂ” 2), а (У вЂ” 1), а (0), а (1) ... Исходная последовательность (а (ч)) начинается с символа а (0) и заканчивается символом а (У— — 1). Циклическая перестановка (а (ч + )г)) начинается с символа а (р) при ч = 0 и заканчивается символом а (р + У вЂ” !) при ч = = У вЂ” 1. Аналогично (12.65) определяется циклическое свойство последовательности ТЬ (ч)), а именно: (Ь (ч)) — (Ь (ч + )г)) = (Ь (т + + Л)7.
(12.66) Равенства (12.65), (12.66) выполняются для М-последовательностей (25) в соответствии с аддитивноциклическим свойством и для последовательностей, построенных по правилу и (ч) = цч (глоб р), (!2.67) где се — первообразный корень уравнения х — 1 = 0 (63), м р = У + 1 (12.68) н является простым числом, = О, У вЂ” 1. Для последовательностей вида (12.67) имеем а (ч) — а (ч + р) = ссч (! — и") р = 1, У вЂ” 1. (12.69) Так как а — первообразный корень, то 1 =- сгз = а и поэтому ссм -=,Ь 1 при р = 1, У вЂ” !.
Следовательно, 1 — сг" = а, где Л ф р, ь и из (12.69) имеем а (ч) — а (ч+ р) = ач ссь = =а + =а(ч+ Л), (12,70) что и определяет равенство (12.65). Циклические системы. Пусть последовательности (а (ч)) и (Ь (ч)) обладают циклическим свойством (12.65),(12.66). Циклическая система состоит из последовательностей (с)(ч)), где ! = О, У вЂ” 1, символы которых определяются равенством сг(ч) = а(ч) — Ь (ч+ 1), (12.71) ч = О, У вЂ” 1. Каждая последовательность циклической системы равна разности между последовательностью (а (ч)) и циклической перестановкой (Ь (т + Я, т. е. (сг (ч)) = Ти(ч)) — (Ь ( + !)).
(12.72) Можно доказать, что последовательности системы (12.72) являются симплекснами. Отметим, что циклические системы являются производными, так как' система последовательностей (Ь (т + !)) является исходной, а последовательность (а (ч)) — производящей. В данном параграфе приведены результаты (73). Некоторым вопросам построения циклических систем и расчету их корреляционных функций посвящены работы (! 41, 228) . Корреляционные функции циклических систем.
Поскольку символы сг(ч) последовательностей (сг(ч)) относится к мультипликативной группе, то взаимокорреляционная функция (ВКф) определяется Таблица 12.6 о ч с Е с сг к Ю Е 0,29 0,134 0,059 31 127 511 0,39 0128 0,20 О, 935 0,74 0,61 0,37 ' 0,18 0,09 будут меньше. Были рассчитаны все АКФ и ВКФ циклической системы для Ь/ =- 31 [73). Образующие М.последовательности строились на основе примитивных многочленов /. (2) = 24 + л' + 1 и /ь (л) = = ха+ лс+ ха+ к+ 1.
Много- члену / (х) соответствует последовательность (а (ч)) с начальными условиями — 1 1 — 1 ! 1, много- члену /ь (х) — последовательность (Ь (т)). Нормированное значение максимальных боковых пиков удовлетворяет неравенству /7макс (Л) ( ( 0,42, что близко к значению 3/ [/2/У = 0,37 табл. 12.6.
22.5. Системы многофаэны/х сигналов Подставляя в (12.88) определение (12.87), находим 1 н" 1 Г 2лг /7/д (Л) = — ~', ехр ~! — х ,=О х [а/ (ч + Л) — ад (ч))~. (12.89) Модуль максимального пика ра- вен где /Ч вЂ” Д вЂ” 1 1 1,(Л) = г' ехр(! [О (ч+Л)— ч Π— Од(Л))). (12.92) Максимальный боковой пик будет минимальным, если максимальное значение /мане минимально, т. е.
симум модуля периодической ВФЙ шах [0(Л, р) [< д,а < (23/2 — 1 А/ — 1/2 [ М вЂ” 1)1/2 0 945/ — 1/1 (12 85) Подставляя в (12.82) оценки (12.83), (12.85), находим оценку максимальных пиков ВКФ циклической СяетЕМЫс! Лмакс (Л) < .< $'2/Ь/+ 1//!/+0,945/у А/. (12.86) Пример расчета.
Для трех зна'чений Ь/ = 31,127,511 найдены оценки максимальных боковых пиков ВКФ циклических систем. Результаты расчета приведены в табл. 12.6. Как видно из табл, 12.6, оценки /1!макс (Л) достигают больших значений и существенно превышают утроенное среднеквадратическое значение 3/[ггг/т'. Зто объясняется тем, что эти оценки пропорциональны 1/)/ Ф. -На самом деле максимальные пики Многофазные сигналы расемотре. ны в ряде работ (см., например, [25, 99, 174, 216[).
В данном параграфе приведены результаты исследований систем многофазных сигналов [67, 72) с числом фаз р ) 2. О пении коррелацнонных функцяй многофазнмх сигналов. Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз равно р, а фазы принимают значения 81 (ч) = (2лг/р) а/ (ч). (12.87) Числа г и р — взаимно-простые; ч — номер злемента, т = 00, /т' — 1; а/(ч)-й символ /-й кодовой последовательности (а/ (2)). ВКФ сигналов / и Д по определению (9.25) записывается следующим образом: М вЂ” 1 1 Я/д (Л) = — ~~', ехр(1[61 (ч+Л)— ч=о — 81,(ч)[). (12.88) " Формула(12.86) найдена Л. Н. Волковым. /7макс = (1/Л/) 1макс (! 2.9г)) 1макс= шах [1/д (Л) [, (12.9!) г,д,д шах [ 1/д (Л) [ ° ппп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
