Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 52
Текст из файла (страница 52)
~32 Таким образом, чтобы правые части неравенств (12.25)— (12.27) были уменьшены, необходимыми и достаточными условиями являются выполнение неравенства (12.30) и малость боковых пиков АКФ производящих сигналов. Левые части неравенств (12.25)— (12.27) представляют мгновенные значения ВКФ и АКФ при различных т, причем эти неравенства дают верхнюю оценку указанных функций. Изменяя т, можно пройти все боковые пики, в том числе и максимальные.
Поэтому (12.25) — (12.27) включают оценки и максимальных боковых пиков. Следовательно, уменьшение правых частей неравенств (12.25) — (12.27) приведет к уменьшению максимальных боковых пиков ВКФ. Рис. 12.2 Выбор производящих сигналов. Из предыдущего материала следует, что выбор производящих сигналов определяется рядом факторов, в том числе и исходной системой.
Если сигналы исходной системы широкополосные, то производящий сигнал может быть широкополосным и иметь малые уровни боковых пиков ФН, близкие к среднеквадратическому значению (12.28). Если же сигналы исходной системы узкополосные, то достаточно выполнения неравенства (12.30) и требования малости боковых пиков АКФ. Возьмем в качестве исходной систему Уолша.
В этом случае производящие сигналы должны быть широкополосными (12.30) и иметь хорошие АКФ. Кроме того, производящий сигнал должен иметь столько же элементов, что и исходные сигналы, т. е. число элементов У = 2», где я — целое число. Этим условиям в целом удовлетворяют нелинейные последовательности [251. Поскольку основным является требование малости боковых пиков АКФ, то в классе нелинейных последовательностей были отобраны наилучшие сигналы с числом элементов А(=16, 32, 64. Эти сигналы показаны на рис. 12.2.
На рис. 12,2 указаны также значения числа блоков )ь для каждого про- 933 нзводящего сигнала. Они.близки к оптимальному значению р, = = (М + 1)/2 (11.1). Это и является необходимым условием получения хорошей АКФ с малыми боковыми пиками. . Свойства производной системы. Объем производной системы равен объему системы Уолша й/. С помощью ЭВМ были рассчитаны все КФ большого числа производных сигналов. Оказалось, что системы, производящие сигналы которых изображены на рис.!2.2, являются типичными. Статистические характеристики таких производных систем (П) были приведены в табл.
10.3, причем там же для сравнения даны характеристики систем Уолша (У). я(ч/, /П' гаЯ п,г д Я 4 В г Л/ а ГЭ и Рис. !2.3 Из табл. 10.3 следует, что среднеквадратические значения КФ обеих систем близки к значению 1/)Г2М (9.73), а коэффициенты эксцесса различаются значительно. Для производных систем коэффициент эксцесса гораздо меньше коэффициента эксцесса систем Уолша. Оценим увеличение вероятности ошибки из-за наличия коэффициента эксцесса. Их формул (4.86), (4.91) следует, что увеличение вероятности ошибки приближенно пропорционально множителю а = 1 + 7/24 и'о'.
Полагая оз = 1/2/1/, а число п =)/ А/, получаем а = 1+ 7)/й//6. При А/ = 64 для системы Уолша а 27, а для производной системы а ж 2. Следовательно, вероятность ошибки при использовании системы Уолша будет на порядок выше, чем в случае производной системы, Большое значение коэффициента эксцесса систем Уолша объясняется наличием больших боковых пиков КФ. Для таких систем ненормированное значение максимального пика 1/„,„, = А/ — 1, а нормированное Я„,„, = 1 — 1/А/. Значения У„,„, приведены'. 234 в пятом столбце табл. 10.3. Отметим, что для производных систем максимальный пик близок к утроенному среднеквадратическому значению. Имеем Умакс — 3 У У!2 )амакс — 3Ф 2У (12 31) Для У = !6 Умакс ' —" 9, для У=-32 Умакс ~' !2, а для У = 64 У„ак, = 17.
Данные пятого столбца табл. 10.3 близки к этим значениям. На рис. 12,3 вертикальными линиями представлен закон распределения Р (У) ненормированных значений КФ $~ для У = 16, кривые характеризуют нормальный закон распределения ш (У) (10.6) с заменой Ф' на У. Сплошные вертикальные линии соответствуют системе Уолша, а штриховые — производной системе. Краевые участки функций распределения изображены более крупно, чтобы подчеркнуть существенное различие между законами распре.
деления систем Уолша и производных систем, Из данного параграфа следует, что производные системы обла. дают лучшими корреляционными свойствами, чем системы Уолша. 42.3. Сегментные системы Сегментными назовем сисгпсмы, образованные из Сегментов (отрезков) М-последовательностей. Сегментная система является производной, так как выделение сегмента нз М-последовательности эквивалентно применению узкополосного производящего сигнала— простого сигнала с прямоугольной огибающей, длительность которого равна длительности сегмента.
Одной из первых работ, в которой указывалось применение сегментных систем, была (96). М-последовательность, с числом символов У=2" — 1 = 131071, разбивалась на неперекрывающиеся сегменты с длиной У, = 63 символам. Было получено 2080 сегментов, из которых с помощью ЭВМ было отобрано Ь=1000 сегментов, ВКФ которых не превышали 0,25. Однако в работе (96) нет методики определения чисел У, У„1.с и не установлена их взаимосвязь с ВКФ. Подчеркнем, что с ростом У, У, и Е выбор хороших сегментов может оказаться неразрешимой задачей даже для современных ЭВМ. По этой причине перешли к аналитическому изучению сегментов М- последовательностей. Работы 1200, 215, 225) посвящены нахождению моментов распределения сумм символов в сегментах или весов. Результаты этих работ показывают, что функции распределения весов могут быть сильно асимметричны и иметь большие «хвосты», что приведет к увеличению боковых пиков ВКФ.
Однако методика определения У, У„Г. также не была найдена. В работе (32) на основе общих свойств производных сигналов были определены некоторые соотношения для У, У„Ь длинных сегментов (Ус) УУ). Отметим также работы П46, 148), в которых приредены результаты многочисленных расчетов на ЭВМ, Данный параграф является развитием работы [32! и посвящен исследованию и объяснению корреляционных свойств сегментов, определению оценок ВКФ сегментов различного вида (как неперекрывающихся, так и перекрывающихся), определению зависимостей между !У, й!м Е.
Основные полученные результаты были подтверждены с помощью расчетов на ЭВМ и приведены в работе [48!. Основные соотношения. Обозначим комплексную огибающую исходного сигнала как (7 (!), а огибающую производящего сигнала как У (!). Допустим, что [и (!) [ = ! при О < ! < Т, (12.32) У (() = 1 при О ( ! ~' Т„ (12. 33) а вне указанных отрезков [(7 (!)[ = О и У (!) = О. Кроме того, допустим, что длительность производящего сигнала Т, меньше длительности исходного сигнала Т, т. е.
Т, = Т. Назовем р-м сегментом производный сигнал вида Яр (!) (7(( + (р) У (!) (12. 34) причем в соответствии с (12.33) Ег(!) расположен на отрезке [О, Т0! и вырезается из исходного сигнала на отрезке [1, г„+ Т,!. Последовательность сегментов (5„), р = 1, Е, образует систему сигналов. ВФН сегментов 5„(!) и В„(!) согласно (1.18), (1.20) записывается в следующем виде: Ц (т, й) = — ) Я„(!) Е (( — т) ехр(1 й!) й, (12.35) ОЭ где Ез — энергия сегментов, а ~ — знак комплексной сопряженности. Подставляя в (12.35) выражение (12.34) и используя метод, рассмотренный в предыдущем параграфе(введениедельта-функции), получаем: Ярд (т, й) = О = р [ Ки(т + (р — Г„, х) ехр ( — !хГр) яь' (т, — х+ й) дх, (12.36) где ФН исходного и производящего сигнала ОО Йи(т, й) = — ( (7 (Г)[7(( — т) ехр(! й() й, (12.37) 2Е,! (12.38) (12.39) 236 СО 1Ь (т, й) = — ( У (() У (1 — т) ехр (! й() й, 2Ег 00 Р = ЕиДг(пЕз, а Ец, Е» — энергии этих сигналов.
Полагая Я = О, из формулы (12.36) получаем ВКФ: Ярд (т) = р ~ Рц(т + (р — (д, х) ехр ( — 1х(р) К» (т, — х) !(х. (12.40) Отметим особенности полученного выражения. Значение ВКФ при заданном т определяется интегралом от произведения частотных сечений ФН исходного и производящего сигналов (Яц и 1Ь), а также экспоненты ехр ( — ! хгр). Из-за того, что разным сегментам соответствуют различные сдвиги (р, то ВКФ зависит как от значения (р в показателе экспоненты, так и от разности г — гд в ФН Яц. Поскольку для р ~ !7 разность 7 — гд -ь О, то положения центров ФН, где Яц = 1 и 1д» = 1, не совпадают.
Более того, так как )7д»( Ф 0 лишь при )т1(Т„то если гр — 7 > Т„центр ФН 1(ц не попадает в полосу, занимаемую ФН Я». Это означает, что в подынтегральном выражении (12.40) Яц не достигает своего максимального значения, равного единице. Сегменты с 1р — (д)Т, будут не- перекрывающимися.
Причем если 1р — 7 > То, то назовем сегменты разнесенными, а с (р — (д — — Т, йримйкающими. Если гр — (д ( ( Т„то сегменты будут перекрывающимися. Из (12.40) получает, что СО (~ (р ~ (Яц(т-1-7 — 7, х)( (Я»(т, — х)!е(х, (12.41) СО т. е. определенное таким образом максимальное значение ВКФ зависит только от разности (р — (д. Следовательно, максимальные значения ВКФ сегментов с гр — (д = сопз1 зависят лишь от одной полосы ФН Лц. Корреляционные свойства неперекрывающихся сегментов. Анализ корреляционных свойств таких сегментов произведем на основе формулы (12.40), учитывая, что исходным сигналом является М-последовательность.
Сначала рассмотрим разнесенные сегменты, у которых разность задержек между соседними больше длительности сегмента, т. е. (р — 1 ) Т,. При этом центральный пик ФН М- последовательности 1дц не попадает на ФН производящего сигнала Я», т. е. ВКФ Ярд (т) при различных т определяется произведением ФН Кц в области слабой корреляции (где ()гц ~ (( 1)'и ФН 1г».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
