Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 50
Текст из файла (страница 50)
11А ° с. р„,„, (штриховая линия). Так как дисперсия изменяется мало, то разница между графиками (рис. 11.4) определяется в основном средними значениями. Из графиков рис. 11.4 следует, что вероятность Р (р ) р„) того, что р больше некоторого значения р„всегда больше для р„„„,. Это мак- Р(л!Р) ада га н л ян 5 4 г 1г М Рмс. 11.5 симальное значение имеет-место тогда, когда число блоков в исходной последовательности оптимально (11.63). Как было отмечено в конце й 11.3, что чем больше )а, тем меньше область возможных значений веса Ж', тем меньше уровень КФ. Но выбор числа блоков )а, = )аз —— = 1аа (11.1) обеспечивает наибольшую вероятность получения максимальных значений )а, т.
е. наибольшую вероятность малых КФ. Поэтому вероятность экстремальных пиков минимальна. Следовательно, число блоков )са (11.1), действительно, является оптимальным. На рис. ! 1.5 изображены функции распределения боковых пиков Р (У/(а) при различном числе блоков )а для У=32 154)а. По оси абсцисс отложены значения ненормированных боковых пиков ЯУ. Чем ближе число блоков )а к оптимальному значению (11.1), тем больше вероятность малых боковых пиков и меньше вероятность больших боковых пиков.
При числе блоков )а = 16, т. е. наиболее близком к (11.1), вероятность максимальных боковых пиков минимальна. Таким образом, расчеты (54) подтверждают, что оптимальные сигналы должны иметь число блоков, близкое к (У + !)/2. а Графики на рис. 1!.о рассчитаны Г. Г. Моисеевой. Раздел !П СИСТЕМЫ СИГНАЛОВ Глава 12 СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ 1?.1. Системы Уолша Нн Нн Нзл= Ни — Нл (12.1) где Ни — матрица Адамара порядка У (число строк равно числч столбцов У), а Нзл — матрица Адамара порядка 2У. Полагая Н, = 1, нз (12.1) получаем следующие матрицы порядка 2,4, 8: (12.2) 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 ! 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 (12.3) 223 Среди различных систем дискретных сигналов наибольшее распространение получили системы дискретных фазоманипулированных сигналов. У таких сигналов огибающая постоянна и это позволяет излучать сигналы с максимальной энергией (при ограниченной пиковой мощности).
В данной главе рассмотрены системы дискретных фазоманипулированных сигналов. Наибольшее внимание уделено системам с двоичной фазовой манипуляцией, или просто системам ФМ сигналов. В меньшей степени рассмотрены системы с р ) 2, которые будем называть системами многофазных сигналов. Среди систем ФМ сигналов многие образованы на базе систем Уолша.
Поэтому данный параграф посвящен их рассмотрению. Матрицы Адамара и системы Уолша. Системам Уолша и их применению посвящено большое число работ (см., например, [49, 108, 176, 178, 192, 212)). Существуют различные и адекватные определения систем Уолша. Для исследования систем Уолша с точки зрения их корреляционных свойств целесообразно использовать матрицы Адамара (103, 121]. Матрицы Адамара определяются следующим символическим равенством: Нв= (12.4) Используя (12.1), можно найти матрицы Адамара для любого У = 2'", где и — целое число.
Матрицы Адамара известны не только порядка У = 2 , но и других значений У [103, 1211. В основном известны матрицы Адамара порядка кратного 4. В [103[ приведены матрицы Адамара для У ( 10' и кратных 4. Матрицы Адамара удовлетворяют уравнению (12.5) где Нм — транспонированная матрица Адамара; 1 — единичная т матрица [121[. В (12.5) используется обычное произведение матриц. Матрица порядка 2У может быть получена путем применения прямого (или внешнего) произведения матриц [108[. Если Нм и Нм — матрицы Адамара порядков'У и М, то прямое произведение "ыНм Д22НМ ... А1л Нм !222 НМ !222НМ ...
Л 2М НМ Н,®НМ= (12.6) Ьм~Нм )2мрНМ ... Ьнм Нм где йтр — элементы матрицы Нн. В (12.6) каждый элемент умножается на все элементы матрицу Нм по правилу умножения матрицы на скаляр. Порядок матрицы Нм ® Нм равен произведению УА4. Из (12.6) следует, что матрица Н = Н,(ЗН. (12.7) Формула (12.7) соответствует символическому равенству (12.1) ° В качестве кодовых последовательностей системы Уолша можно брать строки илн столбцы матрицы Адамара.
Число кодовых последовательностей равно порядку матрицы У. Следовательно, обьем системы Уолша равен У. Обозначать системы Уолша будем следуюшим образом: например, У-8, где цифра равна объему. Обозначим 1-ю кодовую последовательность Уолша как ([[Ут), а ее и-й символ через У!Гт (и). Уравнение (12.5) определяет ортогональность кодовых последовательностей Уолша, т.
е. выполняется равенство и — ! ~ч'„)У2(и) Жр (и)= ~ р [У при )=й, (12.8) 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 — 1 1 1 1 — 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 — ! 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 1 1 ! 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 — ! — 1 1 1 1 1 — 1 Мультнплнкатнвно-двоичное представление кодовых последовательностей Уолша. Для символов последовательностей Уолша используется следующее мультипликативно-двоичное представление (см., например, [491): /! 1~ — ~ %/ (л) =( — 1) (12.9) где Я = [она Л/ — 1, (12.10) [х1 — целая часть х, а/ (т) — двоичное представление номера последовательности /. В формуле (12.9) / = О, А/ — 1, й = О, Л! — 1. Рассмотрим пример.
Пусть /!/ = 8 для матрицы Адамара (12.4). В табл. 12.1 приведены формулы для определения показателя степени [й'/ (и) при / = сопя[ и сами последовательности. Таблица 12.1 Пеиееетель степеив 2 Э 4 5 б 1 1 ! 1 1 1 — 1 1 1 — ! — 1 — 1 1 1 — 1 [л/21 — 1 1 1 — 1 — ! л+ [л/21 — 1 — 1 — 1 1 1 [л/41 — 1 ! — 1 1 — 1 л+ [л/4! Π— ! — 1 — 1 — 1 ! [л/21 + [л/41 — 1 1 1 л+ [л/2! + [л/4! — 1 1 В первом столбце табл. 12.1 приведены номера последовательностей / в десятичном счислении, а в трех последующих столбцах— в двоичном счислении. Номера двоичных символов т расположены в порядке возрастания разрядов слева направо так же, как в сумме показателя степени в (12.9).
В пятом столбце приведены формулы для нахождения показателя степени, который равен сумме слагаемых вида [л/2~!. Напомним определение целой части [х[:если х = е/+ + г, где е/ — целое число, 0 < г < 1, то [х1 = с/. Число слагаемых в сумме равно числу единиц в двоичном представлении числа /. Для / = 0 вся сумма равна О, для / = 1 сумма равна первому слагаемому [л/2е! = [и! = п, для / — 2 сумма равна второму слагаемому [л/2'1 = [л/21 и т, д. Вычисляя показатель степени для каждого 225 и и возводя — 1 в получаемую степень, получаем все символы %1 (и), которые приведены в последующих столбцах табл. 12.1, Сравнивая полученные кодовые последовательности (строки табл. 12.1, состоящие из 1 и — 1) с кодовыми последовательностями матрицы (12.4), замечаем, что они идентичны.
Групповые свойства. Система Уолша является группой [!08, 212]. Доказательство следует из представления (12.9). Произве. дение 3 ~~ [а71т)+а„,от1] ~ — "1 %1(п)%4(п) =( — 1) (12.11) Сумма а1 (т) + ад (и) = а, (и), где (а! (и)) — некоторая последовательность, принадлежащая тому же полному коду с ]17 = сопз[, что и последовательности (а; (и)) и (аь (и)). Следовательно, произведение %1 (и) Фь (и) = %, (и) т а б л и ц а 12.2 является последовательностью Уолша. Для примера в табл, 12.2 приведена таблица умножения для системы Уолша У-8. В табл.
12.2 1 и й — номера последовательностей Уолша, упорядоченных в соответствии с табл. 6 12.1. Произведение двух последовательностей Уолша дает новую последовательность Уолша. На- 4 пример, если !=б,А=5, то в результате умножения получается последовательность с номером 3. Из табл. 12.2 следует, что нейтраль- 2 ным элементом является последо— вательность с номером 1 = О, со- 1 стоящая из одних единиц, а обрат.
ными элементами являются сами элементы. Так как система Уолша яв- 4]5 1 2 3 О 3 2 3 О 1 2 1 О 4 7 7 4 5 б 7 1 2 4 7 б О 3 7 4 5 3 О 6 5 4 2 ! (12.12) 226 ляется подклассом полного двоичного кода с объемом Ь = 2" и в то же время она является группой, то она есть подгруппа полного кода. В результате полный двоичный код может быть разложен по системе Уолша в соответствии с (9.6). Например, пусть !У = 4. Полный код имеет объем 24 = 16. Пронумеруем все последовательности полного кода номерами от 0 до 15. Последовательности Уолша имеют номера О, 3, 5, 6.
Одно из возможных разложений полного кода имеет следующий вид: 0 3 5 6 1 2 4 7 15 12 10 9 14 13 ]1 8. В (12.!2) верхняя строка представляет собой систему Уолша, а остальные строки — смежные классы. В соответствии с классификацией систем сигналов каждая строка — подкласс полного кода. Выбор образующих определяет свойства подкласса.
Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе. Число смежных классов, включая систему Уолша, равно 2н/У. Так как А7=2", где и — целое число, то число смежных классов равно 2Я вЂ” ". Число блоков. На рис. 12.1 приведены кодовые последовательности У-8, упорядоченные по числу блоков р, а 11 = 1, й(. На рис. 12.1 справа указаны число блоков 11 и номер последовательности 1 в соответствии с табл.
12.1. Для системы Уолша «арактерио то, что число блоков в после-. довательностях изменяется от 1 до У. В соответствии с результатами гл. 11 система Уолша должна обладать плохими корреляционными свойствами, так как у большинства последовательностей число блоков далеко от оптимального (1!.!). Это подтверждается тем, что большинство АКФ и ВКФ последовательностей Уолша 6 7 имеют большие боковые пики (см., напри- 3 мер, табл. 10.3). Более подробно этот воп- 7 с рос будет рассмотрен в следующем параграфе. -"+-(:~, В 7 Спектральные свойства.
Известно (47), что спектры сигналов Уолша сдвинуты Рис. 1«1 относительно друга друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положением максимума спектральной плотности мощности, так и эффективной шириной спектра (11.8). Качественно оба метода дают один и тот же результат. Графики спектров сигналов Уолша приведены в работе !47).
Формула (11.11) определяет эффективную ширину спектров через число блоков р. Чем больше р, тем больше сдвиг спектра. Если обратиться к спектру кодовой последовательности (1.98), то можно показать, что спектр кодовой последовательности с р = 1 имеет максимум при х = О, а спектр кодовой последовательности с )ь = У имеет максимум при х = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
