Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому каждый такой этап целесообразно с точки зрения исследования характеризовать соответствующими вероятностями. В итоге исследования всех узлов диаграммы (рис. 11.2) необходимо получать условные вероятности появления того или иного значения КФ при условии, то исходные кодовые последовательности имеют число блоков, равное )с! и р, соответственно. После того, как будут получены итоговые условные вероятности, необходимо сравнить их с соответствующими вероятностями для сигналов с произвольным числом блоков.
На рис. 11.3 сплошной линией изображена плотность вероятности для полного кода. Если для последовательностей с числом блоков р, и (с„близким или равным оптимальному р, (11.1), плотность вероятности экстремальных (максимальных) значений (штриховая линия на рис. 11.3) меньше плотности вероятности для полного кода, то из этого следует, что вероятности экстремальных боковых пиков КФ будут наименьшими при р р, (11.1). Таким образом, вся задача в целом разбивается на три этапа: !) определение вероятности образования последовательности с )с блоками, если исходные содержали )ь! и рз блоков; 2) определение вероятности перехода В блоков в вес кодовой последовательности 2!5 кт; 3) определение вероятности экстремальных значений и их сравнение.
Решение этой задачи приведено в 1421. Перейдем к рассмотрению каждого этапа, начиная со второго. 14.3. Число блоков в кодовой последовательности и ее вес ~Границы веса. Пусть кодовая последовательность имеет л/ символов и р блоков. Символами являются 1 и — 1.
Все последовательности с числом блоков р можно разделить на две группы, равные по численности. К первой отнесем последовательности, которые начинаются с 1, т. е. с положительного блока. Назовем последовательности этой группы прямыми. Ко второй группе отнесем последовательности, которые начинаются с — 1, т. е. с отрицательного блока. Последовательности этой группы назовем обратными.
Будем сначала рассматривать только прямые последовательности. Учесть обратные последовательности достаточно просто. Введем ряд обозначений. Пусть !З+ — число символов 1 в кодовой последовательности, а Я число символов — 1. В соответствии с этим имеем следующие равенства для общего числа символов и для веса кодовой последовательности: (11.34) л/ = Я+ + Я, Мт"=Я+ — Я .
(11.35) Обозначим через р+ число положительных блоков, через р число отрицательных блоков, причем (11.36) Найдем границы для веса )Р", если кодовая последовательность имеет р блоков. Если имеется р+ положительных блоков, то число 1 должно быть илн равно !т+, илн быть больше р+, т. е.
должно выполняться неравенство !ь+ ( Я+. С другой стороны, если последовательность имеет р отрицательных блоков, то минимальное число — 1 равно р, а соответственнно максимальное число 1 не может превышать разности л/ — !т, т. е. должно выполняться неравенство Я+ ( л/ — р . Объединяя оба неравенства, имеем р+ ( Я+ ( й/ р- (11.37) Из (11.34), (11.35) находим Я+ = (В' + М)/2, Я = (/т' — %')/2. (11.38) Подставляя значение Я+ (11.38) в неравенство (1!.37) и преобразуя, получаем 2!ь+ — л/ ( ят я л/ — 2!ь-.
(11.39) и!в Между р+ и р имеется следующая взаимосвязь. Так как положительные и отрицательные блоки чередуются, то при четном р в соответствии с (11.36) имеем р+=р =р/2, (11.40) а при нечетном р и для прямых последовательностей р+ = р + 1, т. е. р+ = (р + 1)/2, р = (р — 1)/2. (1 !.41) Подставляя значения (11.40) в (11.39), получаем для четных рл — (й/ — р) < У < /!/ — р. (11.42) Подставляя (11.41) в (11.39), получаем для нечетных рл — (й/ — р + 1) < Я7 < й/ — р + 1.
(11.43) Напомним, что вес кодовой последовательности Яу изменяется с шагом, равным двум. Неравенства (11.42), (11.43) определяют границы изменения веса, если последовательность имеет !х блоков. Число кодовых последовательностей с заданным весом. Обозначим число последовательностей с весом )!7 и числом блоков !х через /.()!г ( р). Найдем это число с помощью следующих рассуждений. Разбить кодовую последовательность на р блоков при весе Я7 означает, что символы 1 числом Я+ разбиты на р+ блоков, а символы — 1 числом Я разбиты на р блоков. Естественно, что при разбиении последовательности должны выполняться равенства (11.34), (11.35).
Разбиение последовательности на некоторое число блоков подробно рассмотрено в з 8.5. Число таких разбиений определяется формулой (8.56). Так как разбиение последовательности на р блоков состоит в разбиении Я+ на р+ блоков и в разбиении Я на р блоков, то в соответствии с комбинаторным правилом произведения и формулой (8.56) число прямых последовательностей с заданными )Р и р равно /.,()р!р) =с,',-', с, "—,'. (11. 44) Формула (11.44) справедлива только для прямых последовательностей. Можно показать, что для обратных последовательностей справедлива следующая формула: /.„(йг~ р) =с,"'-, 'с,",-,'.
(11.45) Объединяя оба результата (11.44), (11.45) и заменяя Я+ и Я согласно (11.38), окончательно получаем искомое число /, ()Р ~ р) = С,",++ '>„, С,"„н,, + + С,"„'-'н,, С,~„+-,'„,, (11.46) Для значения и = 1 вес У' =*У и /. (й//!) = /. ( — Л//1) = !. 3!7 Число последовательностей /..(14) с числом блоков р для двоичных последовательностей определяется формулой (8.58).
Очевидно, что сумма по всем весам кодовых последовательностей ~~.", /. ( аУ ! р) = /. (р) = 2Сй: !. (11.47) Относительная частота появления последовательности с весом яУ, если производится выбор из всех последовательностей с числом блоков 14, равна отношению Е(Ю'! р)/Ь (р). Назовем это отношение условной вероятностью появления веса !(У при данном р и обозначим Р(!!Чр) = /(!!7Ъ)//. (!4).
(! 1.48) Т а б л а а а 11.2 18 16 1О !8 16 1О 18 12 Сумма 70 42 !4 70 14 Из неравенств (11.42), (11.43) и табл. 11.2 следует, что чем больше р, тем меньше область возможных значений веса кодовой последовательности Ю', т. е. меньше уровень КФ Я. Следовательно, чтобы КФ обладала малыми боковыми пиками необходимо иметь ее кодовую последовательность, которую назовем производной, с максимально возможным числом блоков )4.
218 Из(11.46) следует, что Р ( — )!7 ( р) ="Р((17 ! р)."Поэтому условное среднее равно нулю. Максимум распределения (11.48) соответствует значению кУ=О при четном /У и !!У = ~ 1 при нечетном Л/. В табл. 11.2 приведены значения /. ()Р'~ 11) (11.46) для )Р') О, поскольку /.(!(У ~ р) = Ь ( — Ю'! р). Табл. 11.2 соответствует й/ = 8. Суммы (11.47) даны в нижней строке с учетом значений (11.46) для отрицательных весов (значения при !17 ) 0 удваиваются). При р = 1 /. (Щ1) = 1.
При й/)) 1 распределения вероятностей Р (ЯУ1р) можно аппроксимировать равномерными, полагая Р (ЯУ!р) = 1/л, где х — число весов с заданным р. Для а/ = 8 и х = 5 Р(ра'~р) = 0,2. В работе (541 приведено распределение вероятности Р (!(У ~р) для й/ = 16. 44А. Число блоков в производной кодовой последовательности и вероятность экстремальных пиков Допустим, что исходные кодовые последовательности имеют р и р, блоков. Определим вероятность появления р блоков в производной последовательности, которая получается при перемножении исходных символов. Рассмотрим сначала первую исходную последовательность. Она имеет р, блоков. Границы между блоками могут располагаться на У вЂ” 1 позиции (столько «стыков» между У символами имеется в сигнале).
Число границ равно р» — !.Обозначим границы между блоками через 1, а свободные позиции через О. В таком случае позиционная последовательность содержит р, — 1 символов 1 и У— — р, символов О. В совокупности всех последовательностей с !»» блоками символ 1 равновероятно может занимать любую У вЂ” 1 позицию. Поэтому вероятность появления символа 1 на некоторой позиции в первой позиционной последовательности равна рм = (!»» — 1)! (У вЂ” 1). (11.
49) Соответственно вероятность появления символа 0 равна Ро» = (У р») l (У 1). (11.50) Для второй позиционной последовательности имеем вероятность появления 1 Р»» = (р» — 1)/(У вЂ” 1) (11.51) и вероятность появления 0 р» (У !»»)/(У 1). (11.52) ч»010 0011 0110 (11. 53) При этом производная последовательность имеет три блока, так как р — 1 = 2. Из примера (11.53) следует, что символ 1 в производной позиционной последовательности появляется, если илн в первой последовательности имеется О, а во второй 1, или в первой имеется 1, а во второй О.
Символ 0 в производной позиционной последовательности будет тогда, когда в обеих последовательностях имеются илн О, 2!9 Производная позиционная последовательность является результатом посимвольного сложения по апой 2 исходных позиционных последовательностей. Например, если У = 5 и исходные позиционные последовательности имеют вид 0 0 1 1 и 0 1 0 1, причем р, = = р, = 3, то производная позиционная последовательность определяется так: или 1. Следовательно, вероятность появления 1 в производной позиционной 'последовательности равна Рд = РодРдг + РмРог (11.54) а вероятность появления 0 равна (11.55) Ро = РодРог + РддРдг Подставляя (11.49) — (11.52) в (11.54), (11.55), получаем (У )дд) Од 1)+(У )д ) Одд — 1) (у — !)о (У (дд) (У (до) + Одд 1) Одо 1) (у — 1)г Если р, = р„то (11.56) (11.57) (У вЂ” !од) +!!дд !) (11 561 (У вЂ” 1Р 2 (У вЂ” !дд) Одд — 1) (у — !)г Если производная кодовая последоват чьность имеет р блоков, то ее позиционная последовательность содержит р — 1 символов 1.
Найдем вероятность того, что познпчонная последовательность имеет р — 1 символов 1 и У вЂ” р символов О. Эта вероятность определяется биномиальньдм законом (см., например; (3.5)): (1! .59) Подставляя в (11.60) значения вероятностей (!1.56), получаем — 2 (У вЂ” (дд) Одд — 1) У + (11.61 па — 2 о (У вЂ” Пд) (Нд — !) !(У вЂ” Н )'+ Ь вЂ” !) ! (У вЂ” 1)о Рассмотрим сначала среднее значение (11.61). Можно что максимум р„,„, имеет место при р, = ()(1+ 1)/2 (1! .62) показать, (11.63) и равен Рмоно = (У + 1)Л. (11.64) В начале главы были отмечены интересные свойства сигналов с числом блоков, близким к оптимальному значению (11.1). Поэтому целесообразно рассмотреть случай, когда обе последовательности имеют число блоков, близкое к (11.1).
Для этого положим р, = рг. Среднее значение р и дисперсия биномиального закона (11.59) равны ! 1041: )д 1 — (Л' 1) Рд пз — (у — 1) РдРо. То, что максимум р имеет место при значении р, (11.63), совпадающим с (!!.1), имеет принципиальное значение, которое будет объяснено несколько позже. Дисперсия (11.62), как показывает анализ, слабо изменяется около значения р, (11.63) и приближенно равна а~с ~ (У вЂ” 1)/4. (11.65) м1/г) При большом У биномиаль- г ный закон (11.59) достаточно точно аппроксимируется нормальным законом [1041. На с рис. 11.4 представлены два нормальных закона с различ- Ра /'У /~ /~нссс ными средними значениями: рмакс (сплошная линия) н р < Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
