Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 33
Текст из файла (страница 33)
где Фьч — (шхш)-матрица перехода; %;, — случайный ш-вектор шумов модели движения с нулевым математическим ожиданием и ковариационной (шхш)-матрицей Оь, . С р-вектором (р>ш) однозначных измерений у оцениваемый вектор 9 такжесвязанлинейно: у., = Нив, .+Ви (6.2) здесь НН вЂ” (рхш)-матрица ранга ш; ЕН вЂ” случайный р-вектор шумов однозначных измерений с нулевым математическим ожиданием и коварнационной (рхр)-матрицей Кв .
В рассматриваемой задаче линейного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях (42) предполагается, что дополнительно к р-вектору однозначных измерений у имеется ц-векгор неоднозначных измерений 9, который связан с оцениваемым вектором 9 так же линейно; «т« Спутниковые радионавигационные снстены (6.3) 9;ок;=Н 9;+Е;, здесь й; — целочисленный а-вектор неоднозначности (вектор неопределенных целых чисел); НИ вЂ” (г(хш)-матрица ранга ш; Е, — случайный г)-вектор шумов неоднозначных измерений с нулевым математическим ожиданием и коваРиационной (с)хг()-матРицей Ки. В общем случае предполагается, что векторы ошибок однозначных Е и неоднозначных ЕИ измерений статистически связаны и эта связь задается ковариационной (р+с))х(рог()-матрнцей К„; (р+г()-вектора сумт чт марных ошибок измерений Е, = [Ен Ет; ) совмещенного (р+г()- т вектора измерений р; = ~у~ ~р~~ (5.6): (6.4) Предполагается также, что распределение суммарного вектора ошибок измерений Е; описывается усеченным свернутым гауссовым законом (5.8).
Векторы измерений р;, относящиеся к разным моментам времени, статистически независимы. Предполагается также отсутствие статистической связи между векторами 9, и р, . Задача линейного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях рассматривалась в 110, 11, 431, авторы которых, к сожалению, ограничили свое рассмотрение случаем, когда аномальные ошибки при разрешении неоднозначности на каждом шаге оценивания отсутствовали. В результате, решение рассматриваемой задачи в этих работах свелось к записи в рекуррентной форме выражения (5.22) для максимально правдоподобной оценки 9 и тем самым перестало быть оригинальным.
9.2. Функция правдоподобия и уравнения первого шага Фильтрации С точностью до постоянного множителя, совместное распределение векторов 9, и р,, рассматриваемое как функция оцениваемого вектора 9,, является функцией правдоподобия этого вектора. С учетом допущений, сделанных в п. 6.1, и согласно аппроксимации (5.8), для функции правдоподобия 9, имеем выражение: зтг Гамаа б врврм в(--1в, -в1 к;(в;-в)- 1 1 . т — п(ры-не,) вм(р„,-н,е,), (6.5) -! где в, =(й, 1); вм = в„,р, В Приложении () показано, что функция правдоподобия (6.5) с точностью до константы может быть преобразована к виду цвр-..р( — ' р,(1в,-в„)'.к 1в,-в„,) ° вм,рв))1, рввр где Кр, ем, БМ,(к,) задаются соответственно выражениями Я.5), (1 1.10), (1 р.!9).
Рассмотрим последовательность целочисленных векторов п=!,2,", доставляющих нарастающие значения минимумов квадратичной форме БМр(к,) (1 р.19). Алгоритм нахождения таких целочисленных минимумов при произвольных вариациях векторов ир, описан в Приложении А. Рассмотрим также пространство всех возможных значений аргумента О, функции правдоподобия (6.6) и точки в этом про- странстве, порождаемые векторами к„р, следующим образом: Е„,=Е;- С, ~' -Н,Е-,, п=1,2,", (6.7) где С, — матрица (Я.9). Точки 9„,, п=!,2,", (6.7) являются подмножеством точек О„р (Я.!О). Поэтому первый член в показателе степени экспоненты (6.6) в точках 0„,, и =1,2,"., (6.7) обращается в ноль.
Следовательно, точки ем, и =1,2,", (6.7) являются локальными минимумами показателя степени экспоненты (6.6). Значения этих минимумов равны соответствующим значениям минимумов квадратичной формы БМр(кр) Я.19). При удалении аргумента Е, от произвольного локального минимума 0„,, и = 1,2, ", (6.7), значение первого члена в показателе степени экспоненты (6.6) монотонно нарастает, в то время как значение второго члена остается неизменным. Это увеличение продолжается до тех пор, пока аргумент 9, остается в области, соответствующей одному и тому же ло- зтз Спзтииеоеые радиоиаиигаяиоииые еиеткиы кальному минимуму.
Как только аргумент О, войдет в область, соотвст- ствующую соседнему локальному минимуму, поведение показателя степени экспоненты (6.6) будет аналогичным образом определяться другим целочисленным минимумом квадратичной формы БМ, (1с, ) (().! 9). Из этого рассмотрения видно, что функция правдоподобия (6.6) состоит из бесконечного числа гауссовых мод с одинаковой ковариационной матрицей К,.
Каждый вектор йы, п=1,2,"., из бесконечного списка целочисленных векторов, доставляющих последовательно нарастающие минимумы квадратичной форме ЗМ,(й,) (О.!9), порождает свою моду. Максимум этой моды располагается в точке Оы (6.7). Относительная высота моды определяется значением квадратичной формы БМ, (й, ) (О.19) прн й, = 1сы . Очевидно, что границы между модами оп- ределяются как множество точек, в которых значения двух соседних мод равны друг к другу. Положение максимума Оп самой высокой моды определяется абсолютным целочисленным минимумом квадратичной формы ЯМ, (й, ) (!1.! 9) и является оценкой максимального правдоподобия. Однако различие между высотой этой моды и следующими за ней по высоте модами может оказаться незначительным.
В этом случае говорят, что оценка максимального правдоподобия недостаточно надежна. Истинное значение оцениваемого вектора в такой ситуации может оказаться близким к максимуму другой, не самой высокой моды. Отсюда ясно, что для дальнейшей обработки необходимо сохранять все наиболее значительныс по высоте моды, Имеет смысл учитывать только те моды, максимумы (6.7) которых лежат в доверительной области грубой оценки О,, выбранной исходя из достаточно высокой доверительной вероятности.
Примем в качестве доверительной области эллипсоид равной плотности вероятности грубой оценки 9,, а в качестве доверительной вероятности — вероятность по- падания оценки 9, в этот эллипсоид. Очевидно, что вероятность попадания в указанный эллипсоид в зависимости от его размера описывается интегральным законом распределения т~ . Отсюда размер доверительной области для заданной доверительной вероятности может быть найден как функция, обратная к интегральному закону распределения !('. Таблицы этой функции приведены в (44). При доверительной вероятности 0,99 размер эллипсоида Х' в диапазоне размерностей аз=1, 30 представлен ниже: 174 Гливо б Принадлежность максимума моды (19) доверительной области грубой оценки О, определяется из условия т (Ом -О, ) В, (Ом -О, ) <;~ (щ) .
(6.9) Обозначим символом )Ч, число максимумов Ом (6.7), удовлетворяющих ограничению (6.9). Тогда функцию правдоподобия Е(О,) (6.6) можно переписать в виде ограниченной совокупности из М, мод: и =1,1Ч, . (6.10) Из (6.10) вытекают следующие вычисления на первом шаге фильтрации. С помощью процедуры минимизации, описанной в Приложении А, определяются последовательно нарастающие целочисленные минимумы йм, п =1,2,", квадратичной формы БМ,(1с,) Я.19).
Для каждого век- тора йм, и =1,2,"., вычисляется вектор О„, (6.7). Векторы О„, вычис- ляются до тех пор, пока выполняется условие (6.9). Число векторов О„,, удовлетворяющих условию (6.9), обозначается символом И, . Степень надежности максимально правдоподобной оценки Оп может быть оценена по величине контрастного отношения 8М (йн) К(ЧТО, = (6.1 1) Если К!ЧУ, > 2, то оценка О„считается надежной, в противном слу- чае она признается ненадежной [34). 175 т.......
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 )('(и) .. 6,64 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,47 20,09 21,67 23,21 ш....... 1! 12 13 14 15 16 16 18 19 20 2~(~п) .. 24,72 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,80 36,19 37,57 ш......... 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 т (ш) .. 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 В диапазоне размерностей ш=1, 18 зависимость 2'(щ) с достаточной для практики точностью аппроксимируется простой функцией у~(ш) =1,542857щ + 7,528571. (6.8) Сиуииигиовые (оадиоиавигациоииые сисижиы Спрогнозируем с помощью (6.1) функцию правдоподобия (6.10) на следующий момент времени, который будем далее индексировать символом 1= 2,3," .
С точностью до постоянного множителя эта функция запишется следующим образом: изе)=.,г(--ы.((8,-8.-,) в;(в,-8)+ми;(8-,)((, ( 1 и =1,(Ч (6.12) где (6.!3) (6.!4) -! (В, ) = В; = Фь,й;,Ф',, + (); „ (6.! 5) 8М.;(9-„,) =8М,, (й„з,), и = 1,(Ч;, (6.! 6) 6.3. Функция правдоподобия и уравнения последующих шагов фильтрации Функция правдоподобия 9;, построенная только по вектору измерений р; (5.5) на Рй момент с точностью до постоянного множителя, может быть представлена с помощью выражения (5.8) при условии, что символ 9 в этом выражении заменен на 9, . При этом 9; рассматривается как аргумент новой функции: Г(9,) = С ехр — — пип(рь — Н 9,) В„,(рь — Н 9;) т (6.17) С учетом того, что совмещенные векторы измерений р; (5.5) в различные моменты времени полагаются независимыми, общая функция правдоподобия на 1-й момент может быть получена перемножением (6.!2) и (6.17).
Поскольку обе функции (6.12) и (6.17) представляют со- тге Прогнозированию подвергаются только положения максимумов функции правдоподобия 1.(9,) (6.10). Соответствующие им целочисленные векторы (сы, и =11,(Ч,, при этом не прогнозируются. Следовательно, дальнейшая обработка не будет зависеть от значений целочисленных векторов Км и их возможных искажений из-за разрывов фазы между моментами измерений. Глава б бою совокупности гауссовых мод, то для каждого значения 0; необходимо перемножать только те моды, в области которых лежит б, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
