Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 30
Текст из файла (страница 30)
) -.в( — (в-о в„„(в)) и'вн (в-о В .(в))), (5.49) где Г с(9) — вероятности попадания и-вектора в( в область, ограничи- ваемую неравенствами (5.48): с„,(в)=(~) (...( в(--в в в)вв. Св.вв) ( 2вяв вв вбввств(5.48) Как видно из (5.41), изменение оценки 9 в пределах области, ограничиваемой системой плоскостей ю-мерного пространства Н,Е-(й, (9)+~)=0, (5.5 1) где Ь вЂ” ю-мерный вектор с компонентами, принимающими значения х0,5, не изменяет значения 1бв (9) н, следовательно, согласно (5.48), (хв.С~ив (9)) (х+Стйв (0))ь(х+С~К) (х+С (б), Со(В)- '„, Я ..В(--'в г)В.. ( ) вв сбввстииа11 (5.52) (5.53) В [37, 38] показано, что неравенства (5.52) задают в пространстве х область в виде центрально-симметричного многогранника, объемом Ч =в(е1С =(ое1 Р ) ', числом граней, не превышающим 2(2'-1), и центром, располагающимся в точке интеграл (5.50) остается постоянным для всех 9, находящихся внутри области, ограничиваемой системой плоскостей (5.51).
Это означает, что в каждой из таких областей закон распределения вЧ'(О) (5.49) может быть описан гауссовой функцией, нормированной к постоянному для этой области значению Г,„, (9) . Сделаем замену переменных вида х =Стч, где Ст — верхнетреугльный множитель разложения Холецкого Р = С С симметрической положительно определенной матрицы Р . Тогда система неравенств (5.48) и интеграл (5.50) преобразуются к более простому виду Глава 5 (5.54) В [38) описан способ нахождения уравнений всех граней, а также вычисления интеграла (5.53). Однако зти вычисления остаются все-таки достаточно сложными, не отвечающими требованию практической ценности. Следующее существенное упрощение достигается путем замены в (5.53) области интегрирования в виде многогранника на шар, центр которого совпадает с центром многогранника (5.54), а объем равен объему этого многогранника.
Как показывают расчеты, такой прием позволяет достаточно точно оценить значение интеграла (5.53). При этом вычисление ь1-кратного интеграла сводится к однократному (см. Приложение М). Зная обьем шара Ч, нетрудно вычислить его радиус г [36): 'в'л ул ЧЧ и. ( ЧЧ" г= " при четном ц, г= „", прн нечетном ь!. (5.55) (2я)г Поскольку в (5.53) область интегрирования заменяется на шар с радиусом г, значение ь",„,(В) может быть вычислено как вероятность попадания сгмерной нормальной случайной величины с параметрами О, ! внутрь шара с радиусом г, удаяеьььього от начала координат на величину ь! =~~С йа (В)~.
Как показано в Приложении М, эта вероятность может быть вычислена при помощи однократного интеграла в+с Р(й, ь(, г) = ) Б„(й,ь), г) ехр(-К~/2) ь)К, в-г (5.56) 155 где Б,(й,ь), г) — площадь шарового сектора ь)-мерного шара с радиусом К, отсекаемого другим шаром с радиусом г, центр которого удален от центра первого шара на расстояние ь!.
Алгоритм вычисления функции Б„(й,ь),г) приведен в Приложении !Ч. Для ь! = 1 функция г (гьь(, г) выражается через интеграл вероятности. Для и =2 и о = 3 табулированпые значения г(оаь),г) приведены в [39). Как было показано ранее„закон распределения %'(В) (5.49) является многомодальным и содержит бесконечное число мод. Моды располагаются в областях, ограничиваемых плоскостями (5.5 !). Каждая мода описывается гауссовой функцией с ковариационной матрицей Соуто иковы е радоовваоого по от вы е состеввы (НтВН) и нормирующим множителем Гы,(9) (5.50).
Максимумы мод располагаются в точках С )вм,(9) . Учитывая условие нормировки, видим, что лишь небольшое число этих максимумов будет иметь значение, заметно отличающееся от нуля, и только эти максимумы представляют практический интерес. Величины максимумов %'(9) зависят от нормирующих множителей Г,а(9), которые, согласно (5.52), (5.53), будут иметь значение, заметно отличающееся от нуля лишь при условии, что для всех точек расширенной области интегрирования (5.48) величина в)~0м в) будет достаточно малой, например, меньше, чем некоторая величина я. Из (5.48) следует, что это ограничение эквивалентно ограничению на квадратичную форму с целочисленным аргументом Кя (9): (5.57) ..*в(--'(е-с в'„,(в)) в'вв (в-с во.(е))).
Для $с„„(9) вв (вв„„(9) надо полагать %'(9) =О. (5.58) Величина е в (5.57) ограничивает число учитываемых мод в законе распределения %'(9) . Ее значение необходимо выбирать таким образом, чтобы сумма нормирующих множителей Г,„,(9) (5.53) при этих максимумах была близка к единице. Алгоритм отыскания целочисленных векторов к „„(9), удовлетворяющих ограничению (5.57), описан в Приложении А. Обозначим через Км„(9) целочисленные векторы, удовлетворяющие (5.57). Заменяя в (5.49) (в„„(9) на 3с'„т (9), получаем окончательное выражение для закона распределения %'(9): Глаеа 5 5.6.
Характеристики точности оценивании при обработке неоднозначных измерений. Избыточность неоднозначных измерений Для количественной характеристики точности оценивания векторного параметра 9 при обработке однозначных измерений обычно используется ковариационная матрица (матрица вторых центральных моментов) Ке одномодального закона распределения %„ ь(х) оценки 9.
Использование матрицы Ке для количественной характеристики точности обусловлено тем, что элементы этой матрицы характеризуют степень «сосредоточенности» распределения %е„е ь(х) около его математического ожидания. Чем меньше элементы матрицы Ке, тем с меньшей вероятностью оценка 9 может уклоняться от ее математического ожидания. При обработке неоднозначных измерений закон распределения %„„ь(х) оценки 9 становится многомодальным (см. п. 5.5).
При этом меняется само понятие ковариационной матрицы К . Например, для многомодального закона %„(х) элементы г;; матрицы Ке уже нельзя определять с помощью формулы классической теории вероятностей (30, 31, 33, 40) г„= /" /(х, .— |п,)(х,.— ш.)%е„,ь(х„..,,х„) дхгайх . (5.59) Матрица Кес элементами вида (5.59), не может служить мерой степени «сосредоточенности» многомодального распределения %, (х) около его математического ожидания и, следовательно, не может использоваться в качестве количественной характеристики точности оценки 9, получаемой в результате обработки неоднозначных измерений. Понятие «сосредоточенности» многомодального закона распределения %„ ь(х) может относиться только к «сосредоточенности» его мод. Элементы гя ковариационной матрицы К , характеризующей «сосредоточенность» отдельных мод могут быть определены аналогично (5.59), при условии, что под знаком интеграла в (5.59) вместо %, (х„...,х ) будут располагаться функции, описывающие эти моды % (х).
ПРи этом, однако, знание только матРицы Ке"ь недос- таточно для количественной характеристики точности оценки 9, полу- звт Сш >ааакааыа уадаолиаигачаоаяые аистины чаемой в результате обработки неоднозначных измерений. Для полной характеристики точности 9 необходимо дополнительно знать долю объема, расположенного под главной модой закона распределения Фыь (х), из общего объема под всеми сто модами, равного !. Эту долю объема принято называть аерояаллостью или надежное~лью лрааилыюго разрешения леодлозаачносты Р„.
Чем меньше элементы матрицы Ка ь и больше Р„, тем выше точность оценки 9, получаемой при обработке неоднозначных измерений. Часто вместо Р„используется вероятность аномальных ошибок Р„„„, которая равна доле объема, расположенного под боковыми модами закона распределения ааааа(х), и, следовательно, Р„„„=1- Р„.
Помимо отличия законов распределения и ковариационных матриц оценок 9, получаемых при обработке однозначных и неоднозначных измерений, следует указать и на отличие понятия избыточности этих измерений. Однозначныс измерения называют избыточными, если их число превышает минимально необходимое для определения оценки 9. Использование в обработке избыточных однозначных измерений приводит к повышению точности оценивания.
Оценивание на основе обработки неоднозначных измерений всегда характеризуется некоторой верояпюспыо аномальной ошибки Р„„, . Число измерений, вовлекаемых в обработку, может быль достаточным для определения оценки 9, но характеризующая ее Р„„„может при этом оказаться неприемлемо высокой. Привлечение в обработку дополнительных измерений может снизить Р„„, до приемлемого уровня и в этом смысле такие дополнительные измерения нельзя считать избыточными.
При обработке избыточного числа неоднозначных измерений часто высказывается сомнение, будет ли уменьшаться Р,„при увеличении количества измерений, вовлекаемых в обработку. С одной стороны, увеличение числа измерений добавляет информацию об оцениваемом параметре, с другой, — каждое новое неоднозначное измерение характеризуется своим неопределенным целым и поэтому увеличение числа измерений приводит к росту числа переменных, которые необходимо оценивать при обработке. Для ответа на этот вопрос рассмотрим геометрическую интерпретацию простейшей задачи линейного оценивания двумерного вектора ~9,1 9 =~ '~ (ш = 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
