Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(5,4) (5.5) (5.6) (5.7) Г(р)=Сшах ехр -- р+ — Н 9 В„р+ — Н 9 =С ехр — ппп()аа — Н 9) В (1а„-Н 9) 1, т 2 в (5.8) где Н вЂ” составная матрица размера (р+ (1) х ш ранга ш: (5.9) 134 В (5.4) — (5.7) р и р„— совмещенные (р+(1)-векгора; Г(9) — составная вектор-функция; В„= К„' — матрица, обратная к ковариационной матрице К„совмещенного вектора измерений )а (5.5); С вЂ” нормирующий множитель. В случае линейных связей векторов однозначных у и неоднозначных ф измерений с вектором оцениваемых параметров 9 (см.
п. 5.1) аппроксимация (5.4) приобретает вид Глава 5 5.3. Функция правдоподобия при неоднозначных измерениях ЦО) =Свах ехр — р+ — Н 9 В„р+ — Н 9 . (5.10) Введем в рассмотрение матрицу й такую, что н =н в„н. (5.11) С учетом обозначения (5.11), показатель степени экспоненты (5.10) легко преобразуется к виду р+ — Н 9 В„р+ — Н О = О~Н~~О-О~на~на Нтв„Р+ — Р+ В„в~~на Н 9+ + р+ В„р+ т =( 9-Оь) иа ( 9 — Ок)+ ре ы р+ (5.12) где В=йнВ[р [)) 1нВн) нВ[н+[])~ е.13) В=В„-В„Н[Н'В„Н) Н'В„. (5.14) В результате функция правдоподобия ЦО) (5.10) преобразуется к виду че)-с-р[-- и [~в-в,)'к тв-в,)+ха.
ч)), 2 (5.15) где Х(р, к) — квадратичная форма аргумента к, не зависящая от 9: Если аппроксимации (5.4) и (5.8) рассматривать как функции твектора оцениваемых параметров 9, то они превращаются в функции правдоподобия этого вектора. К сожалению, конструктивное исследование свойств функции правдоподобия, соответствующей неоднозначным измерениям, возможно только в линейном случае, т.е, при использовании аппроксимации (5.8). Функцию правдоподобия для этого случая обозначим как 1.(9); Сиутииковые радиоиавигачиоииые системы )((р, к)= р+ 0 (5.1 6) Из (5.15) видим, что функция правдоподобия 1.(0) при неоднозначных измерениях представляет собою многомодаяьную функцию с максимумами мод, располагающимися в точках 0„(5.13).
Форма этих -! мод определяется матрицей (Н В„Н), а величина задается квадратичной формой;((р, !г) (5.16), которая является функцией целочисленного ц-вектора к. Следовательно, нахождение максимальной моды функции правдоподобия (5.10), (5.15) математически сводится к поиску целочисленного вектора к, минимизирующего квадратичную форму х(р, й) (5.16). Проведем дальнейшее упрощение функции правдоподобия (5.15). С этой целью разобьем матрицу 0 (5.!4) на блоки размера рхр, рхг), пхр, пхц соответственно: (5.17) Тогда, с учетом (5.5), квадратичная форма !($с) (5.16) преобразуется к виду =7 0„7 -(рр +!г )О 7+7 0 (ф+й)+(рр +й )О (Ч+к)= =7 0„7+4р О,ру+" 0~7+7 О~рр+7 0~"+рр 0~,9+" 0~4р'р +РР Оеа!гей Отй=КУР(й)-7 [Ор„ОщОрр — Орр) 7, (5.18) где (5.19) !е'=-Р О„у-н.
(5.20) Последнее слагаемое в правой части (5,18) не зависит от к . Поскольку квадратичная форма (5.16) входит в показатель степени экспоненты (5.15) под знаком ппп, последнее слагаемое можно опустить. В результате получаем, что функция правдоподобия (5.15) с точностью до постоянного множителя может быть переписана следующим образом: 136 Глава 5 цв)- „г[--;,[!в-в,) н'в,н !8-ел)+кгпв~[. (гло Итак, минимизация в целых числах квадратичной формы 2(р, й) (5.16) сведена к минимизации в целых числах квадратичной формы КЧР(й) (5.19).
1„(О) Ег а) Ь,(О ! 2 1 (О в) 1ч(О о, 9.4,10 Т . ° 1 4,9 4,1! 5,12 5,14 6,15 6,17 7,18 8,19 г) 2,4 ),х(О 3,7 3,8 9 . , 39[4,!О [4,!2, '513 [614! б,!6,'7,17 [ 4,9 4,11 5,12 5,14 6,15 6,17 7,!8 д) Рис. 5.4. Пример построения функции правдоподобия для скалярного параметра: а — функция правдоподобия для однозначного измерения; 6- функция правдоподобия лля первого неоднозначного измерения;в- функция правдоподобия для второго неоднозначного измерения; г — функция правдоподобия неоднозначных измерений; д — общая функция правдоподобия ТЬ7 Для лучшего понимания на рис.
5.4 показан пример построения функции правдоподобия для простейшего случая скалярного параметра О (т = 1), одномерного вектора однозначных измерений у (р = 1) и двумерного вектора неоднозначных измерений !р (и = 2) при условии Спутниковые радионавигапнонные состоим статистической независимости всех измерений.
Крестики на осях абсцисс графиков (рнс. 5.4, а — в) обозначают оценки параметра О, полученные независимо по каждому измерению. Величина О„обозначает грубую однозначную оценку параметра О. Периодическое повторение крестиков на осях абсцисс отражает неоднозначность измерений. На графиках показаны функции правдоподобия, построенные независимо для каждой компоненты вектора измерений. Функции правдоподобия !э(О), (.э(О), соответствующие неоднозначным измерениям, являются периодическими с периодами !/и,, 1/Ьэ, где и,, Ь, — элементы матрицы Н (см. п.
5.1). На рис. 5.4, в приведена общая функция правдоподобия 1. (О) неоднозначных измерений, получаемая перемножением функций, представленных на рис. 5.4, б и в. Целые числа под графиками — компоненты целочисленного вектора к, соответствующего каждой моде функции правдоподобия. Как видно из рис. 5.4, в, общая функция правдоподобия неоднозначных измерений 1. (О) является периодической и, следовательно, однозначное оценивание на основе только таких измерений невозможно.
Строгое доказательство этого утверждения приведено в (25, 26). На рис. 5.4, г показана общая функция правдоподобия всех измерений. Присутствие однозначного значения О„ делает функцию правдоподобия непериодической. Номера сверху мод на этом графике, определяются порядком, в котором нарастает соответствующее значение квадратичной формы КЧг(к) (5.18). Аргументами этой квадратичной формы являются компоненты целочисленных векторов, соответствующих каждой моде функции правдоподобия. 5.4. Линейное оценивание при неоднозначнык измерениях Запишем алгоритм вычисления линейной максимально правдоподобной оценки при неоднозначных измерениях (см.
п. 5.3) при условии, что вектора измерений у, <р, а также матрицы Н, В„заданы. Алгоритм. 1. По формуле (5.14) вычисляется матрица В, которая затем раз- ~О„(У ~ бивается на блоки 0=~ 2. По формуле (5.20) вычисляется действительный ц-вектор к". 3. Осуществляется минимизация в целых числах положительно определенной квадратичной формы КЧг(к) (5.19), в результате чего ээа Глава 5 находится целочисленный и-вектор К.
Алгоритм минимизации положительно определенной квадратичной формы в целых числах описан в Приложении А. 4. По формуле (5.13) вычисляется оценка ш-вектора В: н-(н н,н)-'н н, [ '.]. (5.22) При отсутствии сведений о законе распределения измерений выражение (5.22) можно рассматривать как оценку наименьших квадратов, при которой достигается минимум следующей функции вектора с Г91 р+~ ~-Н 9 невязокизмерений: в(9) = ш(п р+ — Н 9 В„р+ — Н В . (5.23) 5. Из (5.22) нетрудно видеть, что после разрешения неоднозначности, которое сводится к минимизации в целых числах квадратичной формы КЧГ(к) (5.19), вычисление линейной оценки В осуществляется по той же формуле, что и в случае обычных однозначных измерений [32).
Это позволяет утверждать, что ковариационная матрица оценки (5.22) может быть вычислена по формуле [32) В,=(Н'В„Н) (5.24) катк(в) = кчр(й) ' (5.25) 139 Однако в случае неоднозначных измерений знание только ковариационной матрицы оценки не может быть признано достаточным для характеристики ее точности. Дело в том, что закон распределения оценки при неоднозначных измерениях является многомодальным (см. п. 5.5). Это означает, что для характеристики точности в случае обработки неоднозначных измерений необходимо дополнительно оценить вероятность того, что полученная оценка находится в пределах наибольшей моды ее закона распределения.
Такая задача аналогична задаче выравнивания статистических рядов [33[. Строгое ее решение в настоящее время не является первоочередным для развития теории обработки неоднозначных измерений. Поэтому ограничимся здесь рассмотрением критерия, получившего большое распространение на практике, который основан на вычислении так называемого контрастного отношения: Снутниноеисе радионавигационные еиетеиы где КЧР(!с) — значение квадратичной формы (5.18) в точке !с ее минимума; КЧР(!с,„) — значение той же квадратичной формы в точке 1с„, такой, что КЧЕ(1с,„) больше чем КЧЕ(к), но меньше чем КЧЕ(1с) для всех остальных возможных значений целочисленного вектора !с; вектор !с задает наибольшую моду функции правдоподобия, в то время как Мт задает следующую по величине моду, которая меньше наибольшей моды, но больше, чем все остальные моды функции правдоподобия.
В примере, показанном на рнс. 5.4, г, наибольшая и следусощая за ней по величине моды помечены верхними цифрами 1 и 2 соответственно. Алгоритм вычисления значений КЧЕ(К) и КЧР(!с ) описан в В„=(НтВ„Н) 'НтВ„~ ~. 1, п=ЦЧ. ~у~-1с„5 (5.26) 140 Приложении А. Вычисленное в соответствии с (5.25) контрастное отношение, сравнивают с порогом. Если порог превышен, то принимается решение о том, что максимально правдоподобная оценка й (5.22) достаточно надежна, т.е. она с достаточно высокой верояпюстью лежит в пределах главной моды закона распределения. Иными словами, вероятность правильного разрешения неоднозначности в процессе вычисления оценки 0 была высокой. В противном случае принимается решение о недостаточной надежности оценки 9.
Естественно, что величина порога должна зависеть от точности исходных измерений. Однако оценка этой точности является достаточно сложной. Поэтому на практике часто задают постоянный порог, величину которого назначают на основе опыта. Так, например, в [34] для обработки псевдофазовых измерений в СРНС рекомендуется величину порога задавать равной 2. 6. В случае недостаточной надежности оценки й (5.22), т.е. при КХТРс(6) < 2, при последующей обработке необходимо учитывать некоторое число Хо >1 наиболее правдоподобных оценок (см. гл.
6). Для определения этих оценок с помощью процедуры, описанной в Приложении А, вычисляется 1ч последовательно нарастающих целочисленных минимумов к„п =1, г! квадратичной формы КЧЕ(к) (5.19), и далее вычисляются (й наиболее правдоподобных оценок по формуле Глава 5 5.5. Закон распределения линейной максимально правдоподобной оценки при неоднозначных измерениях В п. 5.2 предложена удобная аппроксимация плотности вероятности неоднозначных измерений в виде нормального усеченного «свернутого» закона распределения. Найдем закон распределения максимально правдоподобной оценки измерений, распределенных в соответствии с этим законом [35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
