Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В работах [25, 261 показано, что однозначное определение оцениваемого вектора О возможно только при условии, что размерность р-вектора однозначных измерений 7 будет больше или равна размерности ш-вектора оцениваемых параметров О. Поэтому дальнейшее рассмотрение проведем для наиболее общего случая р > ш. т Будем полагать, что (р+и)-вектор измерений р=(у О~1 (5.5) распределен в соответствии с нормальным усеченным свернутым законом (см.
п. 5.2). Для упрощения и без потери общности истинное значение оцениваемого параметра О будем полагать равным нулю. Тогда распределение компонент вектора измерений р можно считать просто усеченным и нормальным. Область определения последних и его компонент ограничивается условиями [<р;[<0,5, 1=1, й. (5.26) Оценка максимального правдоподобия О вычисляется по формуле (5.22), в которой 1с — целочисленный п-вектор, доставляющий минимум квадратичной форме т [я, й) (5.16) (см.
пп, 5.3. и 5.4). В Приложении О показано, что квадрика (5.27) задает в (р + о)-мерном пространстве переменных р эллиптический ци- линдр с и-мерным основанием (и = р+ о — ш) и ш-мерной осью: (5.28) у=Нс- В (5.26) и (5.27) [1 — положительная константа; 1 — произвольный вектор размерности ш; Π— нулевой вектор размерности р. Произвольное изменение целочисленного о-вектора к в (5.27) порождает бесконечное множество таких цилиндров с параллельными он Спутниковые родионавнгаяионные системы тэт осями (5.28), проходящими через точки с координатами (О Наращивание 13 в (5.27) приводит к соприкосновению эллиптических цилиндров (5.27) и затем к превращению их в многогранные цилиндры, плотно заполняющие все пространство переменных р.
Будем далее говорить, что произвольный целочисленный и-вектор к задает эллиптический и многогранный цилиндры. Найдем условие, позволяющее выделять точки пространства р по их принадлежности к некоторому многогранному цилиндру, задаваемому произвольным целочисленным вектором к. Все точки, лежащие внутри многогранного цилиндра, задаваемого вектором 1с, будут, очевидно, удовлетворять бесконечной системе неравенств Х(р )с)й2(р, 1с), где Й вЂ” произвольный целочисленный вектор, отличный от к . В Приложении 1 показано, что эта система неравенств может быть переписана в виде (Лр+к) 0 (Лр+к)ь(Лрвй) 0 (Лр+й), (5.29) где Л =[0-„'0„ (5.30) Смещение произвольной точки, удовлетворяющей системе неравенств (5.29), на произвольный вектор, лежащий в плоскости (5.31), не изменяет неравенств (5.29).
Это означает, что (5.3!) определяет направление осей многогранных цилиндров. Сами оси проходят через точки тэт О -й~~, и поэтому их уравнения можно представить в виде [36) Л р- =О. (5.32) Из (5.32) видим, что оси многогранных цилиндров являются р-плоскостями, ортогональными к 9-плоскости вектор-столбцов матрицы Л . В Приложении К показано, что ЛН = О. Отсюда следует, что ш-плоскость вектор-столбцов матрицы Н, которая задает направление 142 составная матрица размера йи(р+с1); 0„, и 0„— блоки матрицы 0 при ее представлении в форме (5.17); 1, — единичная матрица размера цкц. Множество точек р, удовлетворяющих системе (5.29), лежат внутри многогранного цилиндра, задаваемого вектором к . Для определения осей этих цилиндров введем в рассмотрение р-мерную плоскость Лр=О.
(5.3 1) Глава 5 осей эллиптических цилиндров (5.28), также ортогональна и-плоскости вектор-столбцов матрицы Л . Таким образом, оси эллиптических и многогранных цилиндров параллельны друг к другу и проходят через тэт одни и те же точки ГО -«~1 л. При р=ш эти оси совпадают. Однако при р>т ш-мерные оси (5.28) эллиптических цилиндров будут подмножествами р-мерных осей многогранных цилиндров. Будем далее говорить, что при р>ш оси многогранных цилиндров получаются путем расширения осей соответствующих эллиптических цилиндров. Оси эллиптических и многогранных цилиндров, в которых лежит произвольная точка р, будем называть ближайшими к этой точке.
Введем понятие Ъ-проекции вектора измерений ц на ось (5.28) од- ного нз эллиптических цилиндров как точку, лежащую на этои оси, та Го1 кую, что для вектора )л-Н т+~ ~, ориентированного из точки Ь- ~«~ Го1 проекции Н в -~ ~ (где в — вектор размерности ш) в точку измерений ~«1 р, выполняется условие )я — Н в+ В„Н=О.
(5. 33) Нетрудно видеть, что в случае, когда В„является единичной матрицей, Ь-проектирование превращается в обычное ортогональное проектирование. Из условия (5.33) находим ограничения на ш-мерный вектор ч коэффициентов разложения Ь-проекции вектора измерений н на ось рассматриваемого эллиптического цилиндра по базисным векторам этой оси, которые, согласно (5,28), задаются столбцами матрицы Н: =(н В н) н В [в+[ ]] (н В н) н В [[ ]].
)5.))) Сравнивая (5.34) с (5.22), видим, что элементы вектора максимально правдоподобной оценки О являются коэффициентами разложения Ь- проекции точки измерений р на ближайшую ось эллиптического цилиндра по базисным векторам этой оси. При этом каждой оси, согласно (5.28), соответствуют свои базисные вектора. Онн образуются вектор- Го) столбцами матрицы Н, начало которых помещено в точку 14Э Сиутиииоеые радиоиаенгалноииые енетнны Рассмотрим также ортогональную проекцию вектора измерений р т на ц-плоскость задаваемую вектор-столбцами матрицы -Л (ЛЛ ) Ортогональное проектирование означает, что для вектора тз р+ Л (ЛЛ ) з), ориентированного из точки проекции т' -Л (ЛЛ ) В, где ц вектор размерности ц, в точку измерений р, должно выполняется условие (р+Л (ЛЛт) з)) Л" (ЛЛ ) =О.
(5.35) Из условия (5.35) находим ограничения на сгвектор з): (5.36) а вторая ортогональная проекция В на о-плоскость, задаваемую векторт' столбцами матрицы -Л (ЛЛ~) (5.38) з)= Лр По 9-вектору ортогональной проекции ц находится целочисленный вектор К, удовлетворяющий системе неравенств (з)-й) 0„(ц-й)<(з)-й) 0 (з)-й), (5.39) где к — произвольный целочисленный вектор, отличный от к .
Система (5.39) вьпекает из (5.29) путем замены Лр на В =-Лр. Целочисленный вектор к будет определять ось многогранного цилннд- Элементы ц-вектора з)=-Лр являются коэффициентами разложения ортогональной проекции вектора измерений р по базисным векторам т' п-плоскости, определяемой столбцами матрицы -Л (ЛЛт) .
Как видно из (5.29), этот же вектор ц = -Лр определяет принадлежность вектора измерений р тому или иному многогранному цилиндру. Обобщая вышесказанное, видим, что процесс вычисления максимально правдоподобной оценки 6 (5.22) по вектору измерений р может быть следующим образом ингерпретирован геометрически. Для этого осущеспшяются две проекции (р+ц)-векюра измерений р . Первая Ь-проекция т на ш-плоскосп,, задаваемую вектор-столбцами матрицы Н: т=(Н В„Н) Н В„р, (5.37) Глана 5 ра, в котором лежит (р+о)-вектор измерений !ь Вычисляется оценка максимального правдоподобия 9 (5.22) путем смешения вектора Ь-проекции т на величину (Н В„Н) Н В„~ ~: в= ° )н'в,н)'н'в,Ц= +нв, (5.40) -! где О=(Н В„Н) Н В,, В, — матрица размера (р+0)хй, образуемая о последними столбцами матрицы В„.
Очевидно, что процесс вычисления оценки максимального правдоподобия 9 (5.22) можно рассматривать как Ь-проектирование точки измерений )4 на ближайшую к ней ось эллиптического цилиндра. Представим геометрическую интерпретацию задачи определения множества точек пространства измерений и, способных порождать заданное значение оценки 9. Рассмотрим несколько простых примеров. На рнс.
5.5 для простейшего случая ш = 1, р = 1, г) = 1 показана геометрическая интерпретация вычисления максимально правдоподобной оценки 0 в пространстве оцениваемого параметра 9. Поскольку размерности всех векторов равны 1, оцениваемый параметр 0, его оценка 0 и целочисленный вектор неоднозначности к становятся скалярами соответственно 9, 0 и 1с, а матрица Н вЂ” вектором с элементами Ь„ и т Ь . Как видно из рисунка, разные векторы измерений р, =[у, 1р,], т р, =[у, 1Р,], вследствие использования разных значений целого чис- Го1 ного цилиндра ()г = -1) расположено в точке ~ ~, среднего цилиндра Н' Го) Го1 ()г = 0) в точке ~ ~, и правого цилиндра ()г = 1) в точке ~ ~. Штрих- ~0~ И пунктирными линиями изображены границы, разделяюшие цилиндры.
145 ла )г, порождают одну и ту же оценку 0 (пунктир). тзт В пространстве измерений р = [у~ 9~ 1 этот же простейший случай ш = 1, р = 1, и = ! интерпретируется так, как это показано на рис. 5.6. Здесь утолщенными сплошными линиями на рис. 5.6 показаны оси эллиптических цилиндров, которые в рассматриваемом случае совпадают с многогранными цилицдрами. Начало базисного вектора оси ле- Спутникоеые радиопаеигнйиоиные сиоп~сны Рис. 5.5. Геометрическая интерпретация вычисления максимально правдоподобной оценки для случая пз = 1, р = 1,й = 1: т и — оценка 0 по вектору р, ='(у, и,] (к = О); б — оценка 0 т по вектору р,=[уз Р,] (к = 1) вная евонная реакция Т Рис.
5.6. Геометрическая интерпретация вычисления максимально правдоподобной оценки для случая пз = 1, р = 1, й = 1 тзт в пространстве измерений р =(у" 146 Глава 5 Точки О, и О, на осях среднего и правого цилиндров изображают тзт Ь-проекции точек пространства измерений р=[ут ю~1л, лежащих на жирных штриховых линиях, на ближайшие к ним оси. Проекции О, и О, одинаково удалены от начала соответствующих им осей, и, следовательно, их координаты, выраженные через базисные векторы этих осей, будут одинаковыми.
Отсюда следует, что проекции О, и О,, рассматри- ваемые в базисе осей, изображают одну и ту же оценку О. Координаты р,, р, этих же проекций в пространстве измерений р=[у ю 1 свя- Г91 заны с оценкой 9 следующим образом: р = Н9, р, = НО-~ ~ . Как видно из рис. 5.6, для заданного значения оценки О в случае тзт щ = 1, р = 1, и = 1 в пространстве измерений р=[у у л! можно выделить две области у,(0) и уз(0), такие, что лежащие в них точки будут порождать оценку О . Сами области ~г, (О) и уз (О) лежат на (р+ипз)-плоскостях (в данном случае это линии), Ъ-ортогональных к осям цилиндров и проходящих через точки О, и Оз. Плоскость ортогонального проектирования ц (в данном случае это линия) изображена на рис.
5.6 ортогональной к осям цилиндров. Показаны две проекции й,(9) и йз(0) областей соответственно у,(О) и ~в, (0) на плоскость ортогонального проектирования. В более сложном случае ш = 1, р = 1, о = 2 пространство измеретзт ний р=[у е 1 лстановится трехмерным и картина, аналогичная рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
