Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Проведение повторного вычислительного эксперимента с о„=0,2 и о„=0,05 дало следующий результат р1 =0,0302 и р2 = 0,2823. В т р е т ь е м п р и м е р е рассматривается еше более сложная задача оценивания полезной переменной х в системе линейных уравнений х+-=Уо х+ — =Ум х+ — =сРс»)сс, х+ — =сР1»)сз. У У У У 2 3 2 3 (5.65) Обозначения, условия и способ получения результата в третьем примере такие же, как и в первом. Преобразуем (5.65) методом Гаусса в новую систему, вид которой не будет зависеть от «мешасощей» переменной у. Для этого умножим в (5.65) первое и третье уравнения на 2, а второе и четвертое уравнения на 3.
После такого масштабирования вычтем второе уравнение из первого и четвертое уравнение из третьего, В результате получим следующую систему: х = 371 — 27„х = Зсрз — 2ср, + щЗ, (5.66) где щЗ = 31с, -2)сс — новое неопределенное целое. Оценки вероятностей аномальных ошибок для систем (5.65) и (5.66), полученные тем же способом, что и в первом примере, для о„=0,15 и о =0,03 равны соответственно р1=0,0019 и р2=0,3654. Проведение повторного вычислительного эксперимента с о„=0,2 и и =005 дало следующий результат: р!=0 0287 и р2 =05064. 164 Обозначения, условия и способ получения результата во втором примере такие же, как и в первом. Преобразуем (5.63) методом Гаусса в новую систему, вид которой нс будет зависеть от у. Для этого умножим в (5.63) второе и четвертое уравнения на 2 и затем вычтем полученное из первого и третьего уравнений соответственно.
В результате получим следующую систему: х = 271 — Уо х = 2сРз — сР, + п12, (5.64) Глава 5 Рассмотренные примеры демонстрируют существенный рост вероятности аномальных ошибок в случае уменьшения числа уравнений и переменных методом Гаусса. Указанный рост значительно увеличивается при использовании в методе Гаусса больших значений масштабирующих множителей.
Для выяснения причин роста вероятности аномальных ошибок при уменьшении числа уравнений и переменных методом Гаусса рассмотрим геометрическую интерпретацию процесса разрешения неоднозначности в пространстве переменных х и у. Как и ранее, для простоты, но без потери общности будем полагать, что истинные значения оцениваемых переменных х и у равны нул1о, и поэтому значения у,, у,, 1р1, ~рз в уравнениях (5.61),(5.63) и (5.65)можно рассматривать как ошибки измерений.
При такой интерпретации всю плоскость х, у можно разбить на собственные области узлов решетки. Узлы этой решетки получаются как решения систем (5.61), (5.63) и (5.65), соответствующие всем возможным сочетаниям неопределенных целых к1 и !11 при нулевых ошибках измерений у,, у,, д,, 1рз. Границы собственных областей узлов решетки определяются из условия минимизации квадратичной формы (5.! 2) при нулевых ошибках измерений. Разрешение неоднозначности при таком геометрическом построении можно представить в виде двухэтапной процедуры.
На первом этапе находится решение систем (5.61), (5.63) и (5.65) без учета целочисленных неопределенностей !г1 и )гз. На втором этапе определяется узел решетки, в собственную область которого попадает решение первого этапа. Целые !11 и 111, определяющие этот узел, являются решением задачи разрешения неоднозначности. На рис. 5,11 показаны узлы решетки н их собственные области, соответствующие первому примеру. Пары целых чисел, стоящие рядом с каждым из узлов обозначают соответствующие этому узлу неопределенные целые Е1 и !сз.
Следует отметить, что в общем случае собственные области узлов решетки на плоскости являются шестиугольниками [37, 381. Однако при статистической независимости ошибок измерений у,, у,, <р1, <рз шестиугольники переходят в ромбы. Рассмотрим теперь аналогичные геометрические построения, соответствующие системе, получаемой из (5.61) методом Гаусса. Для получения новой системы умножим слева первую и вторую половину уравнений системы (5.61) на матрицу (5.67) Са1 = которую далее, для удобства, будем называть л~атр1а!ей Гаусса.
В результате получаем следу1ощую систему: 155 Сиутинииаые раднаиаангаянаииые снгтены (5.68) х= 7~ ум у=уз х =% 'Рз+ш1 у=Уз+аз. Отметим, что в новой системе (5.68) ошибки измерений у, — у,и т,, ~р, -~рз и <р, становятся статистически зависимыми. Узлы решетки и их собственные области, соответствуюшие системе (5,68), показаны на рис. 5.12. Построения здесь проведены с учетом статистической зависимости ошибок измерений в системе (5.68). Ряс. 5.11. Узлы решетки н их собственные области, соотаетствуюшие системе 5.6 ! Цифры, указанные рядом с узлами новой решетки, обозначают неопределенные целые ш! и к, в системе (5.68). Сравнивая рис.
5.! 1 и 5.12 видим, что, несмотря на то, что решетка, соответствуюшая системе (5.68), изменилась, положение узлов и их собственные области остались неизменными. Как известно, преобразования систем линейных уравнений с однозначными свободными членами методом Гаусса не приводят к изменению решения этих систем. Поэтому все решения первого этапа процедуры разрешения неоднозначности системы (5.6!) будут совпадать с решениями первого этапа процедуры разрешения неоднозначности системы (5.68). Если решение первого этапа системы (5.61) лежит в собственной области узла 0,0 на рис. 5.11, то и решение первого этапа системы (5.68) будет лежать внутри собственной области узла 0,0 на рис.
5.12 (собственные области узла 0,0 на рис. 5.11 и 5.12 заштрихованы). Это означает, что вероятность 166 Глана 5 аномальных ошибок при оценке переменных х и у при обработке систем (5.61) и (5.68) будет одинаковой. Рис. 5.12. Узлы решетки н нх собственные области, соответствующие системе 5.68 Однако ситуация резко изменяется при попытке использовать для оценки переменной х только первое и третье уравнения системы (5.68). В этом случае получаем рассмотренную ранее систему (5.62), для которой узлами решетки будут точки с целочисленными координатами, лежащие на оси х, а собственными областями — отрезки оси х, разделяемые па рис.
5.! 2 вертикальными пунктирными линиями. Из свойств метода Гаусса следует, что значение переменной х, найденное из решения первого этапа системы (5.6! ), будет совпадать со значением, найденным из решения первого этапа систем (5.62) и (5.68). Рассмотрим такое решение первого этапа систем (5.61), (5.68), которое лежит в одной из дважды заштрихованных областей на рис.
5.12. При обработке полных систем (5.61) или (5.68) такое решение на первом этапе дает правильное разрешение неоднозначности. Однако при обработке частичной системы (5.62) это же решение приводит к аномальной ошибке, поскольку значение х, соответствующее этому решению, лежит вне собственной области нулевого узла. Проведенное рассмотрение раскрывает причину увеличения вероятности аномальных ошибок при обработке частичных систем (5.62), (5.64) и (5.66), полученных методом Гаусса из исходных систем (5.61), (5,63) и (5.65). Преобразование систем линейных уравнений методом Гаусса приводит к исключению части переменных из некоторых урав- Спутниковые радноиавнгалноииые снстеиы о,-[ (5.69) Поскольку с)ею(Сяз) =2, матрица Ся, не является унимодулярной 137, 38).
Умножение слева первой и второй половины уравнений системы (5.65) на матрицу Ся, порождает систему х = Зу, — 2уы х+ — = у„х = 3<рг — 2~р, + шЗ, х+ — = ~р, + 1с,, (5.70) у У 3 3 в которой первое и третье уравнения совпадают с (5.66). Оценка вероятности аномальных ошибок для системы (5.70), полученная тем же способом, что и в рассмотренных выше примерах, для о„= 0,15 и о = 0,03 получилась равной р1 = 0,105.
Проведение повторного вычислительного эксперимента с о,=0,2 и о =0,05 дало следующий результат: р1 = 0,2315. Сравнивая эти цифры с результатами третьего примера, видим, что вероятность аномальных ошибок при обработке полной систе- 168 пений системы. Такие уравнения в пространстве переменных можно рассматривать как уравнения плоскостей, параллельных осям системы координат, вдоль которых откладываются исключенные переменные, или как уравнения проекций этих плоскостей на ортогональное пространство меньшей размерности, задаваемое осями, соответствующими остальным переменным. Таким образом, получение частичного решения системы линейных уравнений с однозначными свободными членами методом Гаусса основано на проектировании решения на пространство меньшей мерности. В случае систем линейных уравнений с неоднозначными свободными членами частичное решение будет всегда совпадать с соответствующей частью полного решения только в случае, когда проекции собственных областей узлов решетки исходной системы уравнений при проектировании не будут перекрываться.
Как показывают рассмотренные ранее примеры, в общем случае это требование не выполняется. Чем больше значения масштабирующих множителей в методе Гаусса, тем больше перекрываются проекции собственных областей узлов решетки исходной системы уравнений и, как следствие, больше рост вероятности аномальных ошибок при уменьшении числа уравнений и переменных методом Гаусса.
Отметим, что даже в случае обработки полной системы линейных уравнений с неоднозначными свободными членами, полученной из исходной системы методом Гаусса, может происходить увеличение вероятности аномальных ошибок. Такая ситуация наблюдается в случае, если матрица Гаусса не является унимодулярной. Так, например, в ранее рассмотренном третьем примере матрица Гаусса имеет вид Спу пив ковые радпоиавигалпоииые еиппвпы С учетом представлений (5.73), система (5.2) преобразуется к виду й„и+ ",.„, 9мн+Б (5.74) Применяя лемму частичного решения системы линейных уравнений к (5.74), получаем, что оценка вектора 9„„может быть получена из ре- щения системы ~„.Н::;)'"= (5.75) при условии, что ковариационная матрица К„вектора ошибок Б заме- няется на матрицу К„н = К„~ — К„~ ".
"., К„' ", '.„К„' . (5.76) 170 Отметим, что в отличие от метода Гаусса, при исключении части переменных (вектора 9в,н) с помощью леммы частичного решения не происходит уменьшения числа уравнений системы. Это означает, что объем вычислений при этом уменьшается не столь значительно, по сравнению с его уменьшением, при использовании метода Гаусса. Однако сохранение числа уравнений означает сохранение неизменным вектора целочисленных неоднозначностей й . По этой причине, вероятность правильного разрешения неоднозначности при оценивании вектора 9„н с помощью сокращенной системы линейных уравнений (5.75) совпадает с вероятностью правильного разрешения неоднозначности при оценивании этого же вектора с помощью полной системы (5.74).
Этот вывод подтверждается соответствующими вычислительными экспериментами для всех трех рассмотренных примеров. Главаб ЛИНЕЙНОЕ ДИСКРЕТНОЕ РЕКУРРЕНТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПРИ НЕОДНОЗНАЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ 6.1. Постановка задачи линейного дискретного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях Задача линейного дискретного рекуррентного оценивания на основе обработки обычных однозначных измерений у формулируется следующим образом 132).
В первый момент времени задано грубое значение 9, оцениваемого параметра 9. Распределение оценки 9, полагается нормальным с математическим ожиданием 9, и ковариа- ционпой матрицей р« . Необходимо на первый и все последующие дискретные моменты времени рекуррентно вычислять максимально правдоподобные оценки 9„ 9,....п1-вектора 9 . Значения вектора 9 в предыдущий 1-1-й и последующий 1-й моменты времени связаны линейным соотношением (6.1) 9; =Ф;,9,, «-%...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
