Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Как известно, произведение двух гауссовых функций вновь порождает гауссову функцию. Однако если максимум одной из мод в (6.17) лежит вблизи границы между модами в (6.12), то аналитическое описание произведения вблизи такой границы осложняется тем, что оно будет выражаться в виде произведения разных гауссовых функций, лежащих по разные стороны от границы, т.е, при строгом подходе, функция правдоподобия 1-го шага 1=2,3," не может быль записана в виде совокупности гауссовых мод так, как это удается сделать для первого шага. Хотя вычисление значений этой функции возможно, оно является неприемлемо сложным и поэтому непригодно для практического использования.
Осуществим аппроксимацию функции правдоподобия 1-го шага, 1= 2,3,", с целью упрощения ее аналитического описания. Отметим, что сложности описания возникают вблизи границ между модами в (6.12), т.е. там, где функция (6.12) и ее произведение с (6.17) близки к нулю. С учетом этого можно предложить следующую упрощающую аппроксимацию произведения (6.17) и (6.12). Положим, что имеется мода в (6.17), максимум которой лежит внутри собственной области одной из мод (6.12) вблизи ее границы.
Тогда функцию правдоподобия с обеих сторон от границы будем записывать в виде произведения только этих двух рассматриваемых мод. Такое упрощение позволяет записать функцию правдоподобия 1-го шага так же как совокупность гауссовых мод. Из описания способа аппроксимации функции правдоподобия Кто шага следует, что для ее вычисления необходимо в явном виде задать границы между модами в (6.12). Однако явное задание границ является очень сложным. Можно достичь того же результата без явного задания границ с помощью следующего алгоритма. Уберем временно границы между модами в (6.12) т.е.
допустим тем самым их произвольное перекрытие. Найдем отдельно произведение каждой неограниченной моды в (6.12) с (6.!7). В Приложении К показано, что такое произведение с точностью до константы, одинаковой для всех мод, можно представить в виде (6.18) о=1,Н;, где Й.„б„н, БМ„;(к;), о=1,И;, задаются соответственно выражения- ми (й.7), (й.9), (й.25). Спусипикоеые радиоввоенгов1ввгнпвнве систвиви Аналогично (6.6), выражение (6.18) задает бесконечное число мод с максимумами в точках О„и (К.9). Относительная высота каждой такой моды определяется суммой БМ„,(к;). Согласно (К.25), в состав ,,т 8М„,(К,) входит квадратичная форма (к, -к„,) ьвйй,(к, - к„,) с целочисленным аргументом к;. Выделим нскоторос число М последовательно нарастающих целочисленных минимумов этой квадратичной формы и обозначим их как й„,, п=1,19,, ш=1,М. Целочисленные векторы К„; будут задавать последовательно убывающие по высоте моды произведения (6.18).
В результате таких вычислений получим Х, списков целочисленных векторов к„, по М векторов в каждом списке. Если в разных списках присутствуют одинаковые векторы к„,, то эти векторы соответствуют одним и тем же модам функции правдоподобия (6.17), Их появление в разных списках является следствием снятия ограничений на размеры собственных областей мод в (6.12).
Поэтому каждый такой вектор необходимо оставить только в одном списке. Положим, что некоторый целочисленный вектор 1св,„, присутствуег более чем в одном списке векторов Ын,. В соответствии с (К.9), этот вектор задает моду с максимумом в точке в„.,(в„.,)=в.,+н,.(нн-н,в.,)-в;,+о(Г ", 1-н,в-„~, (,'ЬФ' йнивэ (6.1 9) п=!,Х, . Максимум й„н ~8„„„) принадлежит собственной области той моды в (6.12), для которой значение суммы (О„в;(1с„,„,)-6„,) В, (й„в,(К„,) — 0„,)н ВМ, (0„,), п=1,)Ч,, (620) будет наименьшим. Следовательно, вектор 1с„, следует оставить только в том списке, для которого значение сул1мы (6.20) будет наименьшим. Число М должно выбираться таким образом, чтобы одинаковые векторы йн, обязательно присутствовали в разных списках.
Это гарантия того, что все моды функции правдоподобия 1-го шага будут учтены. Наиболее просто это условие выполняется прн М= )Ч, . 178 Глава а Исключим с помощью вышеописанного способа все повторения из списков векторов (г„п =1,(в(;, а оставшиеся векторы перепишем в единый список в порядке нарастания соответствующих им сумм БМ„,.(1с,.) (К.25). В том же порядке расположим соответствующие значения О„и (К.9) и суммы БМм((г;) (К.25). Из общего списка выделим первые Х; векторов и обозначим их как йм.
Соответствующие им значения Ввн (К.9) и суммы БМм(к;) (К.25) обозначим как бм и ЯМ, .~(г„,.). После этого функцию правдоподобия 1-го шаг» можно аналогично (6.10) также записать в виде ограниченной совокупности гауссовых мод: / т врвр- р(--~м((в,-в.,! в. (в,.-в,! вм,.(в„()(, (6.2 1) »=1,М;; (=2,3Г Из (6.2!) вытекают вычисления на последующих шагах фильтрации. По формуле (К.!8) вычисляются (в(; векторов (с„,. Для каждой т квадратичной формы (К;-к„,) 091),.~й;-(гщ), п=!,И,, вычисляется список целочисленных векторов (г„;, я =1,(Ч,, доставляющих ей последовательно нарастающие минимумы. Для каждого вектора К„,, т=1,(Ч;, вычисляется вектор О„и (К9) и сумма 8Мм(й;) (К25). Из списков целочисленных векторов К„, .выделяются совпадающие векторы й„, и для каждого из них вычисляется вектор О„н((г„;) (6.19).
Далее каждый совпадающий вектор йвря сохраняется только в том списке, для которого значение суммы (6.20) будет минимальным. После устранения совпадающих векторов (г„,, векторы 1с„„оставшиеся в списках, сортируются в единый список в порядке нарастания сумм (К.25). Сами суммы (К.25) и соответствующие им векторы б„и (К.9) располагаются в том же порядке.
Первые (в(, векторов О„в из единого списка являются наиболее правдоподобными оценками 1-го шага фильтрации. Если из каких-либо источников точно известно, что между предыдущим и последующим измерениями разрыв фазы отсутствует, то 179 Спутниковые радиоиаеигавиоииые системы обработку можно значительно упростить.
В этом случае нет необходимости вновь выполнять процедуру разрешения неоднозначности. Можно использовать список векторов неоднозначности йы, найденный в предыдущий момент времени. Очевидно, что значение Ви (т.е. первая оценка среди Вп„ п=1,)Ч; ) является оценкой максимального правдоподобия йго шага фильтрации. Надежность этой оценки будет тем выше, чем больше разность сумм ЯМ, (йн) и БМ; (йи), соответствующих наибольшей и следующей за ней моде функции правдоподобия Е(В;) (6.21). Но надежность той же оценки будет тем меньше, чем больше разность квадратичных форм Кхг"(" )=1"и ".) ВЧЧ(" ".) К~'Е(йи)=(йи-йп1) ВЧЧ,("и-йы) на величины которых прирастает каждая из сумм БМ, (йи ) и ЯМ; (йи) на 1-м шаге. С учетом этого степень надежности максимально правдоподобной оценки Ви будем определять при помощи контраспюго отношения К)п)Тй, = КАТК, (6.22) Модуль в знаменателе (6.22) необходим для того, чтобы исключить появление отрицательного результата.
Множитель К)ЧТК, необходим для того, чтобы переход от контрастного соотношения К)ЧТк, (6.1!), соот- ветствующего первому моменту времени, к контрастному соотношению КХТй; (6.22) для всех остальных моментов, был плавным. Если К)ЧТй, .к 2, то оценка Ви считается надежной, в противном случае она признается ненадежной (34). Прогнозирование функции правдоподобия (6.21) на момент времени кь1 осуществляется с помощью выражений (6.12) — (6.16). При этом прогнозируются только положения максимумов Вп, мод функции правдоподобия ЦВ,) (6.21). Соответствующие им целочисленные векторы йы не пропюзируются. Поэтому последующая обработка пе будет за- гаваи б висеть от значений целочисленных векторов йм и их возможных иска- жений нз-за разрывов фазы между моментами измерений. 6.4.
Общее описание алгоритма линейного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях Из функций правдоподобия, построенных ранее, следует алгоритм фильтрации при неоднозначных фазовых измерениях. 1. Действия на первом шаге (предполагается наличие грубой оценки Е, с ковариационной матрицей (ь, . Если такая оценка отсутствует, то обработка на первом шаге сводится к вычислению )Ч, обычных наиболее правдоподобных оценок (см. п. 6) в п.
5.4): а) вычисляются матрицы й, (О.5), С, (О.9), 0<р~, (О.!4), 0<уп, (1).15), 0пр, (О.!6) и действительный вектор (с, Я.18); б) с помощью процедуры минимизации, описанной в Приложении А, находятся последовательно нарастающие целочисленные минимумы йм, . т п=1,2,", квадратичной формы ЯМ,(й,)=(й,-й',) 0<щ,(й,-й',) (О.!9) и для каждого из них вычисляется вектор Е„, (6.7). Вычисление векторов Е„, продолжается до тех пор, пока выполняется условие (6.9). Число нацденных таким образом векторов Ем и соответствующих им векторов 1с„, обозначается символом Х,; в) вычисляется контрастное отношение для первого шага ~(~н) 8М, (йп) Если К!ЧТк, ~ 2, то максимально правдоподобная оценка Еп обьявляется надежной, в противном случае она объявляется ненадежной; г) прогноз максимумов Е„...
1=2, 3,", мод и ковариационной матрицы В, функции правдоподобия предыдущего шага матрицы й,. на следующий шаг осуществляется по формулам (6.13) — (6.16). 2. Действия па втором и всех последующих шагах фильтрации происходят следующим образом: звз Спутниковые радионавигационные си от емн а) вычисляются матрицы К; (К.7), С; (К.8), Ойй;(К.14), Ойш; (К.15), Ойр, (К.16), Опии,(К.20) и Х; значений действительных век- торов к„, (К.18) и О'„, (К.21); б) с помощью процедуры минимизации, описанной в Приложении А, для каждой из Х., квадратичных форм (н, -)гм) Ойй; (н, -нм ), и =1, И;, формируется список ьекгоров й„,, ш=!,Х;, доставляющих последовательно нарастающие значения минимумов этой форме, вычисляется соответствующий им список векторов О„и (К.9) и список сумм ЯМ„;(к1) (К.25).
Поскольку процедура целочисленной минимизации квадратичных форм выполняется для каждого дискретного момента времени заново, значения векторов О„н (К.9) никак не будут зависеть от возможных разрывов фазы между моментами измерений; в) в 19, списках целочисленных векторов й„м, соответствующих разным и, выявляются совпадающие векторы Й„м и для них вычисля/ ются векторы О(к„1) (6.19).
Вектор Й„м далее сохраняется в том списке, для которого значение суммы (6.20) будет минимальным; г) векторы )г„„;, остающиеся после удаления совпадающих, сортируются в единый список в порядке нарастания сумм 8Мв(й;) (К.25), соответствующих этим векторам. В том же порядке располагаются сами суммы БМ„,.(к1) и соответствующие векторы О„н (К.9). Первые (ч, векторов О„н из единого списка и соответствующие им суммы ЯМ,,(й;) являются максимумами мод Ом и показателями высот БМ; (1гм ) этих мод на 1-м шаге фильтрации; д) вычисляется контрастное отношение для 1-го шага: 8М,.
(й, )-5М.,(йя) ' КЧЕ(йп)- КЧЕ(йн) Если КАТК; 22, то максимально правдоподобная оценка Ои объявляется надежной, в противном случае — ненадежной; е) осуществляется переход к шагу 1, г. 182 Глоаи б 6.5. Вычислительные особенности алгоритма линейного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях Вычисления на Рй момент времени в алгоритме линейного рекуррентного оценивания при неоднозначных измерениях требуют целочисленной минимизации множества из Х, квадратичных форм. К счастью, квадратичные формы, относящиеся к одному моменту времени, имеют одинаковую матрицу 099;. Это позволяет резко сократить расходы машинного времени на минимизацию Х, квадратичных форм. В Приложении А описан метод линейного целочисленного унимодулярного преобразования (ЦУМП), который очень эффективен для решения задач целочисленной минимизации положительно определенных квадратичных форм. Затраты машинного времени на минимизацию отдельной квадратичной формы этим методом на современных компьютерах в типичных случаях не превышают 10 мс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
